Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам
Крамера.
Определители
Правила вычисления
det A a11a12 a11 a22 a12 a21 a21a22
Квадратной матрицеa aА порядкаa n можно
11 12 13
сопоставить число det A, называемое ее
det A a21a22a23 a11a22a33 a12a23a31
определителем, следующим образом: a a a
1. n = 1. А = (a1); det31A32= a331
a13a21a32 a31a22a13 a32a23a11 a33a21a12
2. n = 2.
# |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|||
D |
3 |
4 |
3 |
|
|
11 |
17 |
12 |
|
2 4( 12) 11( 1)( 3) 3 17 1
(11 4 1 3( 1)( 12) 2 17( 3)) 5
Ответ:5
Определитель n-го порядка.
Записывается в виде квадратной таблицы, содержащей n2 элементов вида a ik , расположенных в n строках
и n столбцах:
a11a12...a1n D a21a22...a2n
................
an1an2 ...ann
Минор элемента аik
•Минором некоторого элемента aik определителя n-го порядка называется определитель n-1 –го, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент и обозначается Мik.
|
3 |
2 |
5 |
1 |
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
# |
7 |
3 |
4 |
2 |
a23=4 |
|
|
60 20 0 250 0 42 13 |
|||
|
|
||||||||||
|
0 |
5 |
6 |
2 |
M23= |
|
0 |
5 |
2 |
|
|
|
5 |
7 |
9 |
4 |
|
5 |
7 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M31=5 M14=11
Алгебраическое дополнение Aik
• Алгебраическим дополнением элемента aik данного D называется Мik , взятый со знаком «+», если (i+k)- четное число, и со знаком «-», если (i+k)- нечетное число.
Для предыдущего примера:
А23=-М23=-13 А31=М31=5
А14=-М14=-11
Формула Лапласа.
Теорема: Определитель равен сумме произведений элементов всякой его строки (столбца) на их
алгебраические дополнения.
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 4 3 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
17 |
12 |
|
|
|
17 |
12 |
|
|
17 |
12 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
11 |
|
1 |
1 |
|
|
2( 48 51) |
2(12 17) 11(3 |
4) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
6 10 11 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
4 |
1 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
4 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
5 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
4 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
3 1 |
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
3 |
0 |
1 |
|
|
2 |
3 1 |
2 3 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
5 |
0 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2(5 10 |
5 ( 14)) 2(50 70) 2 120 240 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Свойства определителей.
1. Транспонирование определителя , т.е. замена строк столбцами и наоборот, не меняет его значения.
3 |
5 |
6 |
|
|
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|||||||
4 |
2 |
1 |
|
|
|
5 |
2 |
3 |
|
5 |
3 |
2 |
|
|
|
6 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Перестановка любых двух строк (столбцов) , меняет только знак D.
D’=-D
3. Общий множитель всех элементов одной строки (столбца) м.б. вынесен за знак D.
ma11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|||||||
ma21 |
a22 |
a23 |
|
m |
|
a21 |
a22 |
a23 |
ma31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
4. Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) равны или пропорциональны, то определитель равен 0.