7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами – это уравнения вида:

_,

где - постоянные коэффициенты,

Решение данного типа дифференциальных уравнений основано на следующей теореме:

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения выражается суммой его частного решения и общего решения соответственного линейного уравнения , т.е.

Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-ого порядка может быть получено или методом неопределенных коэффициентов, или методом вариации произвольных постоянных.

Структура частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1	где -многочлен (или одночлен) n-ой степени от х.	1.Если число не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения ,то частное решение следует принимать в форме , где -многочлен n-ой степени неопределенными коэффициентами. 2.Если (-корень кратности m), то .
2	где М и N-заданные постоянные числа.	1.Если мнимое число не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения:(j=1,2,…n),то частное решение следует принимать в форме:, где А и В - неопределенные коэффициенты. 2.Если(- корень кратности m), то
3	где P(x) и Q(x)-многочлены (или одночлены)в общем случае различных степеней.	1.Если комплексное число не совпадает ни с одним из корней: (j=1,2,3,…n),то частное решение следует принимать в виде ,где -многочлены n-ой степени (равной наивысшей степени одного из многочленов Р(х) или Q(х)),но с неопределенными коэффициентами . 2.Если ( - корень кратности m), то

Пример. Решить дифференциальное уравнение :

- характеристическое уравнение,

Т.к. имеем два равных действительных корня, то формула решения уравнения имеет вид .

Подставив значение r₀=2, имеем - общее решение однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Тогда - общее решение данного дифференциального уравнения, где – частное его решение. Найдем _, зная, что

,при ,

причем - многочлены степени, равной наивысшей степени одного из многочленов P(x) или Q(x), коэффициент m – кратность, с которой число является корнем характеристического уравнения. Т.к. числа - не являются корнями характеристического уравнения, то m=0. Т.к. Q(x)=3 – многочлен нулевой степени, то и - многочлены нулевой степени, т.е. константы.

Имеем,

;

Найдем коэффициенты A, B подстановкой в данное дифференциальное уравнение:

;

Получаем равенство:

.

Сравнивая почленно правую и левую части равенства, получаем систему равенств:

.

Значит, = и соответственно:

- общее решение дифференциального уравнения.