Классификация дифференциальных уравнений.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными – уравнения следующего вида:

, где и - заданные функции, .

Эти уравнения приводятся к виду , где , при .

Общий интеграл уравнения имеет вид .

Пример. Решить дифференциальное уравнение

Разделим переменные

, ;

Проинтегрируем уравнение с последующим выражением искомой величины y из равенства:

; ;

- общее решение дифференциального уравнения.

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка – это уравнения вида:

,

где функция обладает следующим свойством: равенство выполняется для произвольного числа >0. Для решения однородного дифференциального уравнения необходимо:

1) свести его к уравнению вида ;

2) полученное уравнение свести к уравнению с разделяющимися переменными, используя новую переменную

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка – это уравнения вида:

, (*)

где , функции р(х) и f(х) непрерывны на , причём . Решаются двумя способами. 1) Метод Бернулли. Искомая функция у(х)представляется в виде у=uv, откуда, в силу , следует два уравнения для нахождения функций u(x) и v(x): . Из первого уравнения получаем . Из второго уравнения следует , откуда , и, таким образом, общее решение уравнения (*) имеет следующий вид:

.

2) Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) также состоит из двух этапов. На первом этапе решения уравнения (*) находим общее решение уравнения : , где С – произвольная постоянная. На втором этапе ищем общее решение уравнения (*) в виде , где С – функция от х. После подстановки этого соотношения в уравнение (*) приходим к уравнению , откуда следует , где А – произвольная постоянная, и - общее решение уравнения (*).

Пример. Решить дифференциальное уравнение

Воспользуемся подстановкой

(1)

Пусть , тогда уравнение (1) принимает вид системы:

Решим уравнение как уравнение с разделяющимися переменными

; ; ;

- частное решение.

Подставляем последнее равенство в и решим его относительно величины u:

; ;

;

Найдем искомую величину y, подставив значения u и v в формулу

- общее решение дифференциального уравнения.

Пример. Найти частное решение уравнения ,

если при .

Разделив все члены данного уравнения на получим уравнение (*)

которое является линейным. Положим тогда . Подставив выражения для и в уравнение (*), имеем или (**)

Для отыскания u получаем уравнение

т.е. ,

откуда

Подставляя выражения для u в уравнение (*), имеем

, или т.е.

Следовательно, общее решение данного уравнения записывается так:

Используя начальные условия , имеем откуда С=1. Таким образом, искомое частное решение имеет вид .

4. Уравнение Бернулли – это уравнение вида:

,

где (при - линейное дифференциальное уравнение, при - уравнение с разделяющимися переменными). Уравнение приводится к линейному дифференциальному уравнению с помощи подстановки (при может быть потеряно решение ). Поэтому оно решается как линейное: либо методом Бернулли, либо методом Лагранжа.

Пример. Решить дифференциальное уравнение

Введем замену z= y^1-2 , ,.

Подставим эти выражения в уравнение. Получим ,

,

Решим полученное линейное уравнение методом Лагранжа.

,

, ,

, .

5.Простейшие дифференциальные уравнения n – го порядка, допускающие понижение порядка методом интегрирования обеих частей уравнения – это уравнения вида:

_,

где , функции (х) и f(х) непрерывны на .

Пример. Решить уравнение

Уравнение является простейшим дифференциальным уравнением 2-го порядка. Понизим порядок уравнения методом интегрирования обеих частей уравнения

, = x + 3tgx + C _1, y = ∫(x + 3tgx + C ₁)dx

y = x ² – 3ln׀cosx׀ + C₁x + C₂ – общее решение дифференциального уравнения

6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами – это уравнения вида:

,

где - постоянные коэффициенты,

Метод решения. Составляют характеристическое уравнение

, которое получается из дифференциального уравнения заменой в нем производных искомой функции y соответствующими степенями r, причем сама функция у заменяется единицей.

Тогда общее решение дифференциального уравнения составляется в зависимости от дискриминанта D характеристического уравнения.

Рассмотрим следующие случаи:

а) D>0; два различных действительных корня ; тогда - общее решение дифференциального уравнения;

б) D=0; два равных действительных корня ; тогда - общее решение дифференциального уравнения;

в) D<0; два различных комплексных корня: , где ,

- действительные числа, причем >0.

Тогда - общее решение дифференциального уравнения.

Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям у(0)=0,

Данная задача с начальными условиями носит название задачи Коши. Составим характеристическое уравнение: r²-1=0. Его решениями являются Общее решение уравнения в этом случае (Д>0) находится по формуле , т.е. - общее решение.

Найдем

Подставим в уравнения начальные условия:

Решая эту систему, получаем Найденные значения постоянных с₁ и с₂ подставляем в общее решение и получаем искомое решение или