Самостоятельная работа студентов.

1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

Пример 1. Действия с матрицами

Вычислим матрицу 2A-BA, где и.

Вычислим матрицу D=BA размерности 3 x 2:

Вычислим матрицу 2A-BA размерности 3 x 2, равную матрице C-D:

Пример 1. Пусть  и. Тогда и

***

Пример 2. Матричное уравнение определяет систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными: Коэффициенты при неизвестных пронумерованы двумя индексами, первый из которых можно интерпретировать как номер уравнения, а второй – как номер соответствующей переменной.

Пример 3.

Вычислим произведения AB и BA матрицы-строки и матрицы-столбца:

Пример 4. Пусть  A,  B  и  C  – квадратные матрицы одного и того же порядка. Если существуют обратные матрицы  A –1,  B –1  и  C –1, то существует и обратная матрица для произведения  ABC, причем (ABC)–1 = C –1 B –1 A –1. Действительно, Аналогично,

***

Пример 5. Пусть  . Проверить прямым вычислением, что матрица является обратной матрицей. Решение Вычислим произведение  A –1A : Такой же результат справедлив для произведения  AA –1 :

Пример 6.

Найти ранг матрицы

Решение.  Непосредственным вычислением проверяется, что  det A = 0. Следовательно,  rank A < 4. Однако существует минор третьего порядка, отличный от нуля. Таким минором является, например, определитель, составленный из элементов первой, второй, третьей строк и второго, третьего, четвертого столбцов. Следовательно,  rank A = 3.

Примеры 7-10.

1.  Решить систему уравнений методом Гаусса. Решение.  Рассмотрим расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду, выполняя операции над строками: Полученная матрица описывает систему уравнений эквивалентную исходной системе. Решение находится элементарно: Убедимся в том, что полученный набор обращает каждое уравнение данной системы в тождество:

***

2.  Решить систему уравнений методом Гаусса. Решение.  Преобразуем расширенную матрицу, производя элементарные  операции над строками: Третья строка этой матрицы соответствует уравнению не имеющему решений и, следовательно, система является несовместной.

***

3.  Решить систему уравнений методом Гаусса. Решение.  Производя элементарные преобразования над строками, приведем расширенную матрицу к ступенчатой форме: Выпишем соответствующую систему уравнений: Последнее уравнение содержит две переменных, одну из которых нужно рассматривать в качестве свободного параметра. Назначим этому параметру произвольное значение и выразим остальные переменные черезc: Таким образом, общее решение системы имеет вид Если подставить вместо c произвольное число, например нуль, то мы получим частное решение: . Подставляя  c = 2, получаем другое частное решение:  . Таким образом, данная система имеет бесконечное множество решений. Проверка:  Подставим ив каждое уравнение системы: Уравнения обратились в тождества.

Решить методом Крамера систему линейных уравнений:

Решение.  Вычислим определители, выполняя предварительно элементарные преобразования над их строками и затем разлагая полученные определители по элементам их первых столбцов.

Пример 11.Найти равнодействующую двух сил и, модули которых равныF₁ = 5, F₂ = 7, угол между ними θ = 60^°. Определить также углы α и β, образуемые равнодействующей с силами и.

Решение.

По формуле

находим

Пример 12.

При каких значениях α и β вектор перпендикулярен вектору , если ?

Решение.

Так как , то; откудаβ = ±2. Векторы иперпендикулярны, тогда, когда, т. е. 3·2 + (-1)·β + α·1 = 0; откуда α = β - 6.

При β = 2, имеем α = 2 - 6 = -4; при β = -2, имеем α = -2 - 6 = -8.

Пример 13.

Векторы лежат в одной плоскости и образуют попарно друг с другом углы 2π/3. Разложить вектор по векторами, если.

Решение.

Найдем единичные векторы, направленные, как и векторы и(см. рисунок):или. Тогдаи.

Следовательно, вектор - единичный.

Так как , то угол между векторамииравен 180°, т. е. эти векторы противоположно направлены; поэтому.

Пример 14.

Определить координаты точки C - середины вектора по известным радиусам-векторам его концовA и B.

Решение.

Пусть радиусы-векторы точек A и B соответственно равны и. Середина отрезкаAB будет находиться на пересечении диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и, и тогда точкаC определится радиусом-вектором , который равен полусумме векторови, т. е.

(1)

Координаты точки A обозначим через x₁, y₁ и z₁, координаты точки B - через x₂, y₂ и z₂, а координаты точки C - через x, y и z.

Спроектируем векторное равенство (1) на оси координат по формулам (9). Так как векторы ,иявляются радиусами-векторами точекC, A и B, то их проекции на координатные оси будут равны

r_x = x; r_y = y; r_z = z; r_1x = x₁; r_1y = y₁; r_1z = z₁;

r_2x = x₂; r_2y = y₂; r_2z = z₂.

Тогда векторное равенство (1) заменится такими тремя скалярными равенствами, определяющими координаты середины отрезка по известным координатам его концов,

(2)

Даны два вектора: и. Найти проекции на координатные оси суммы и разности этих векторов.

Решение.

Составим сумму и разность этих векторов:

Ответ: ;

Пример 15.

Дан треугольник ABC. Прямая l пересекает прямые BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁. Доказать, что векторы коллинеарны.

Решение.

Обозначим (см. рисунок) (1)  или, откуда(2).

Выразим вектор через векторыи. Имеем. Но из (2) следует, что, а из (1) - что.

Следовательно, или(3).

Таким образом,

(4)

Аналогично, используя (1) - (3), находим

(5)

Для доказательства коллинеарности векторов и, установим, что отношения коэффициентов приив (4) и (5) равны. Для этого проведем прямую, которая пересечетC₁B₁ в точке D.

Тогда ΔC₁A₁B ~ ΔA₁CD₁, а ΔAC₁B₁ ~ ΔCDB₁, откуда

(6)

и

(7)

Так как из (1) следует, что . Далее находим(см. (7)). Значит,mnp = -1  (8).

Теперь найдем отношения коэффициентов при ив (4) и (5):

(9)   и   (10).

Из (8) следует, что ; подставляя это значение в (10), получим, что указанное отношение равно, т. е. совпадает с (9).

Таким образом доказали, что . Аналогично доказывается, что. Что и требовалось доказать.

Пример 16.

Дан вектор . Найти его проекциюa_L на ось L, составляющую с координатными осями равные острые углы.

Решение.

По условию направляющие косинусы оси проекций между собой равны:

Но сумма квадратов направляющих косинусов какого-либо направления равна 1, а потому

и так как в этой сумме все слагаемые между собой равны, то

тогда

(знак плюс перед корнем взят потому, что по условию углы ,и- острые, а значит, косинусы их положительны). Так как по условиюa_x = 2; a_y = 5; a_z = 1, то по формуле

получаем

Пример 17.

Найти углы, которые прямая составляет с координатными осями.

Решение.

По формулам (2), полагая в них m = 2, n = 3, p = 6, будем иметь

, или ;

Проверьте, что .

Острые углы, составляемые прямой с координатными осями, равны: (эти значения определены по таблицам тригонометрических функций).

Пример 18.

Общие уравнения прямой           (*)           преобразовать к каноническому виду(1).

Решение.

Из системы (*) исключим сначала y и выразим z через x, потом исключим x и выразим z уже через y.

1) Для того, чтобы из системы (*) исключить y, умножим второе из уравнений системы (*) на 3 и сложим его почленно с первым. Получим, что 7x - z - 7 = 0, откуда z = 7x - 7,

2) Умножая первое уравнение из (*) на -2 и складывая почленно со вторым, получим, исключая x из системы (*),

-7y + 9z - 14 = 0,

откуда

9z = 7y + 14;

или

Сравнивая найденные значения z, получаем уравнения прямой в каноническом виде

, или .

Умножая теперь все знаменатели на 7, окончательно получим

Приведем второй способ решения.

Если общие уравнения прямой записываются в виде

(A)

то уравнения прямой с направляющими коэффициентами имеют вид

(B)

где x₀, y₀ и z₀ - координаты одной из точек, через которую проходит прямая (А).

Из уравнений (B) усматриваем, что направляющие коэффициенты прямой m, n и p определяются по формулам

(C)

в которых можно положить t = 1.

Решим нашу задачу по этому способу. Определим одну из точек, через которую проходит данная прямая (*). Дадим координате z значение нуль (z = 0). Для определения абсциссы x и ординаты y этой точки получим систему уравнений

или

из которой x = 1; y = -2. Итак, одна из точек, через которую проходит прямая, известна. Ее координаты (1, -2, 0). Чтобы определить направляющие коэффициенты прямой по формулам (С), в которых взято t = 1, составляем матрицу из коэффициентов уравнений системы (*):

и получаем

m = -1; n = -9; p = -7.

Уравнения прямой (*) в каноническом виде с учетом того, что прямая проходит через точку (1, -2, 0), примут вид

Умножая все знаменатели на -1, получим окончательно

Пример 19.

Уравнения прямой           преобразовать к каноническому виду и определить углы, образуемые этой прямой с координатными осями.

Решение.

Определим одну из точек, принадлежащую данной прямой. Положим z = 0 и определим координаты x и y, получим систему уравнений

Отсюда находим x = -3; y = -1.

Итак, определена точка (-3, -1, 0), через которую проходит прямая.

Воспользовавшись для определения m, n и p формулами

при t = 1, получим

m = -19; n = 9; p = 11.

Искомое уравнение в виде (1) запишется так:

(A)

Углы, образованные этой прямой с координатными осями, определяем по формулам (2), в которых m, n и p имеют только что найденные значения:

Контроль. . По известным косинусам углов находим углы(при определении углов из двух возможных знаков у косинусов выбран верхний знак).

Уравнения прямой получились бы в другом виде, если бы вместо точки (-3, -1, 0) на прямой взяли бы какую-либо другую точку. Числители дробей в (А) изменились бы, но знаменатели остались теми же. Если же решать эту задачу по первому способу задачи, то в знаменателях могли бы получиться числа, пропорциональные тем, которые стоят в знаменателях дробей (А).

Пример 20.

Найти уравнения плоскостей, проектирующих прямую           (1)           на координатные плоскости.

Решение.

Чтобы найти уравнение плоскости, проектирующей прямую (1) на плоскость xOy, надо из системы (1) исключить координату z. Умножая первое уравнение этой системы на -3, а второе на 5 и складывая полученные уравнения, будем иметь -4x + 22y + 34 = 0, а сокращая на -2, получим искомое уравнение в виде 2x - 11y - 17 = 0.

Уравнение плоскости, проектирующей прямую (1) на плоскость xOz, получим, исключая из системы (1) координату y. Умножая второе уравнение в системе (1) на 2 и складывая с первым, получим искомое уравнение в виде

5x + 11z + 29 = 0.

Уравнение плоскости, проектирующей прямую (1) на плоскость yOz, получим, исключая из системы (1) координату x. Умножая второе уравнение в системе (1) на -3 и складывая с первым, получим искомое уравнение в виде

5y + 2z + 13 = 0.

Пример 21.

Написать уравнение окружности с центром в точке C(2, -3) и радиусом, равным 6.

Решение.

По уравнению

(x - a)² + (y - b)² = r²,

полагая в нем a = 2, b = -3, r = 6, сразу имеем (x - 2)² + (y + 3)² = 36, или x² + y² - 4x + 6y - 23 = 0.

Пример 22.

Показать, что x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0 есть уравнение окружности. Найти ее центр и радиус.

Решение.

Заданное уравнение преобразуем к виду

(x - a)² + (y - b)² = r².   (1)

Выпишем члены, содержащие только x, и члены, содержащие только y. Легко проверить, что

x² + 4x = (x + 2)² - 4,

y² - 6y = (y - 3)² - 9.

Левая часть уравнения запишется теперь так:

или отсюда

(x + 2)² + (y - 3)² = 16.   (2)

Сравнивая уравнение (2) с (1), заключаем, что уравнение определяет окружность, центр которой имеет координаты C(-2, 3), r² = 16, а r = 4.

Пример 23.

Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что: а) его полуоси a = 6, b = 4; б) расстояние между фокусами 2c = 10, а большая полуось 2a = 16; в) большая полуось a = 12, а эксцентриситет e = 0,5; г) малая полуось b = 8, а эксцентриситет e = 0,6; д) сумма полуосей a + b = 12, а расстояние между фокусами .

Решение.

а) Простейшее уравнение эллипса имеет вид . Подставляя сюдаa = 6, b = 4, получим

б) Имеем 2c = 10; c = 5; 2a = 16; a = 8.

Чтобы написать уравнение эллипса, следует найти малую полуось b. Между величинами a, b и c у эллипса существует зависимость a² - b² = c², или b² = a² - c². В нашем случае b² = 64 - 25 = 39, и уравнение эллипса будет иметь вид

в) a = 12; e = 0,5; известно, что ; в этой формуле неизвестноc. Для его определения получаем уравнение

отсюда c = 6.

Теперь, зная, что a = 12, c = 6, пользуясь отношением a² - c² = b², найдем, что b² = 144 - 36 = 108; a² = 144.

Уравнение будет .

г) b = 8; e = 0,6; , отсюда. Напишем соотношениеa² - c² = b² и подставим в него c = 0,6a; b = 8. Получим a² = 0,36a² = 64; 0,64a² = 64; a² = 100.

Уравнение эллипса будет иметь вид

д) a + b = 12, .

Для определения уравнения эллипса надо знать a и b. Нам известно, что ;c² = 18; a² - b² = c².

Поэтому (a + b)(a - b) = 18. Подставляя сюда a + b = 12, найдем, что a - b = 1,5.

Решая систему уравнений

получим, что a = 6,75, b = 5,25. Уравнение эллипса запишется в виде

Пример 24.

Найти точки пересечения окружности (x - 1)² + (y - 2)² = 4 и прямой y = 2x.

Решение.

Координаты точек пересечения должны удовлетворять обоим указанным уравнениям, так как эти точки находятся как на одной, так и на другой линии. Решим систему уравнений

Подставляя в первое уравнение 2x вместо y и раскрывая скобки, получим

x² - 2x + 1 + 4x² - 8x + 4 = 4,

или

5x² - 10x + 1 = 0,

а отсюда

Подставляя эти значения во второе уравнение y = 2x, получим

Искомыми точками пересечения будут A(x₁, y₁), B(x₂, y₂):

и .

Номер варианта определяется последней цифрой порядкового номера (а не чисел, обозначающих факультет, специальность или длительность обучения) зачетки (студенческого билета). Если последняя цифра 0, то вариант 10.

Вариант № 1

1.Найти косинус угла между векторами AB и АС

А(2, –2, 3), В(1, – 1, 2), С(4, –4, 5)

2.Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей

3.Решить систему уравнений по правилу Крамера

4.Найти матрицу С^–1 , обратную матрице С=

5.Написать разложение вектора по векторам,,

={-2, 0, 9} ={0,-1,2}={1, 0, -1}={-1, 2, 4}

6. Написать уравнение окружности с центром в точке C(3, -5) и радиусом, равным 6.

Вариант № 2

1.Найти косинус угла между векторами AB и АС

А(0, –2, 6), В(–12, – 2, –3), С(–9, –2, –6)

2.Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей

3.Решить систему уравнений по правилу Крамера

4.Найти матрицу С^–1 , обратную матрице С=

5.Написать разложение вектора по векторам,,

={5, -12, -1} ={1,-3,0}={1, -1, 1}={0, -1, 2}

6. Показать, что x² + y² + 2x - 6y - 3 = 0 есть уравнение окружности. Найти ее центр и радиус.

Вариант № 3

1.Найти косинус угла между векторами AB и АС

А(2, 3, –1), В(4, 5, –2), С(3, 1, 1)

2.Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей

3.Решить систему уравнений по правилу Крамера

4.Найти матрицу С^–1 , обратную матрице С=

5.Написать разложение вектора по векторам,,

={0, 2, 4} ={3, 1, -1}={0, -3, 1}={1, 1, 1}

6. Найти координаты центра и радиус окружности x² + y² - x + 4y - 1 = 0.

Вариант № 4

1.Найти косинус угла между векторами AB и АС

А(1, 2, –2), В(3, 4, –5), С(1, 1, 0)

2.Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей

3.Решить систему уравнений по правилу Крамера

4.Найти матрицу С^–1 , обратную матрице С=

5.Написать разложение вектора по векторам,,

={–1, 5, 5} ={2, 1, 1}={–2, 0, –3}={–1, 2, 1}

6. Дана окружность x² + y² = 9. Составить уравнение прямой l, параллельной оси абсцисс и пересекающей окружность в таких точках M и N, что MN = 1.

Вариант № 5

1.Найти косинус угла между векторами AB и АС

А(–2, –2, 0), В(1, – 2, 4), С(5, –2, 1)

2.Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей

3.Решить систему уравнений по правилу Крамера

4.Найти матрицу С^–1 , обратную матрице С=

5.Написать разложение вектора по векторам,,

={–1, –2, 3} ={2, 0, 1}={ 1, 2, –1}={0, 4 –1}

6. Найти точки пересечения окружности (x -2)² + (y - 4)² =16 и прямой y = 2x.

Вариант № 6

1.Найти косинус угла между векторами AB и АС

А(3, 3, –1), В(3, 2, 0), С(4, 4, –1)

2.Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей

3.Решить систему уравнений по правилу Крамера

4.Найти матрицу С^–1 , обратную матрице С=

5.Написать разложение вектора по векторам,,

={–5, 2, –1} ={–1, 1, 0}={ 2, –1, 3}={ 1, 0, 1}

6. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что: а) его полуоси a = 6, b = 2; б) расстояние между фокусами 2c = 10, а большая полуось 2a = 18; в) большая полуось a = 10, а эксцентриситет e = 0,5.

Вариант № 7

1.Найти косинус угла между векторами AB и АС

А(–1, –7, –4), В(2, – 1, –1), С(4,3, 1)

2.Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей

3.Решить систему уравнений по правилу Крамера

4.Найти матрицу С^–1 , обратную матрице С=

5.Написать разложение вектора по векторам,,

={ 1, –5, 7} ={ 0, –1, 1}={ 2, 0, 1}={ 3, –1, 0}

6. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 2x² + 9y² = 144.

Вариант № 8

1.Найти косинус угла между векторами AB и АС

А(2, –2, 6), В(0, 0, 4), С(6, –6, 10)

2.Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей

3.Решить систему уравнений по правилу Крамера

4.Найти матрицу С^–1 , обратную матрице С=

5.Написать разложение вектора по векторам,,

={ 5, 1, 4} ={ 2, 0, 2}={ 0, –1, 1}={ 3, –1, 4}

6. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что: а) его полуоси a = 6, b = 4; б) расстояние между фокусами 2c = 10, а большая полуось 2a = 16; в) сумма полуосей a + b = 12, а расстояние между фокусами 2c=6*2^1/2.

Вариант № 9

1.Найти косинус угла между векторами AB и АС

А(0, 1, 0), В( 3, 1, 4), С(4, 1, 3)

2.Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей

3.Решить систему уравнений по правилу Крамера

4.Найти матрицу С^–1 , обратную матрице С=

5.Написать разложение вектора по векторам,,

={ 1, 1, –1} ={ 1, 1, 0}={ –1, 0, 1}={ –1, 0, 2}

6. Составить уравнение окружности, проходящей через точку A (4; 1) и касающейся осей координат.

Вариант № 10

1.Найти косинус угла между векторами AB и АС

А( 3, 2, 0), В(1, 4, – 1), С(4, 0, 2)

2.Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей

3.Решить систему уравнений по правилу Крамера

4.Найти матрицу С^–1 , обратную матрице С=

5.Написать разложение вектора по векторам,,

={ –3, 7, 4} ={ –2, 2, 1}={ 2, 0, 1}={ 1, 1, 1}

6. Найти точки пересечения окружности (x - 1)² + (y - 2)² = 4 и прямой y = 2x.

II.Элементы функционального и комплексного анализа.

Понятие множества.

1. В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский язык и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?

Решение задачи:

Обозначим: U – универсальное множество, т.е. множество всех туристов,

А – множество туристов, знающих английский язык,

B – множество туристов, знающих французский язык.

Проиллюстрируем:

Необходимо найти количество туристов, не знающих ни одного языка, т.е. количество элементов множества D = U \ (AB)(на рисунке заштриховано).

Дано(по условию):m(U) = 100 (чел.)

m(A) = 70 (чел.)

m(B) = 45 (чел.)

m(AB) = 23 (чел.)

Найти: ` m(D) = m(U) – m(AB) - ?

Решение: Используя формулу, находим количество туристов, знающих хотя бы один язык:

m(AB) = m(A) + m(B) – m(AB) = 70 + 45 - 23 = 92, 

количество туристов, не знающих ни одного языка:

m(D) = m(U) - m(AB) = 100 – 92 = 8 (чел.)

Ответ: 8 чел.

Аналогично решить задачи № 2, 3, 4.

2. Из 40 предложений 30 содержат предлог «в», 27 предлог «на», в пяти предложениях нет ни того, ни другого. Сколько предложений содержат оба предлога?

3. 20 мальчиков поехали на пикник. При этом 5 из них обгорели, 8 были сильно покусаны комарами, а 10 остались всем довольны. Сколько обгоревших мальчиков не было покусано комарами? Сколько покусанных комарами мальчиков также и обгорели? (Сформулируйте эту задачу как: 1) лингвистическую, например: анализ наличия 2 морфем в словах; 2) в общем виде, используя понятия: множество, подмножества и их элементы).

4. В штучном отделе магазина посетители обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет, В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт, и коробку конфет?

5. В олимпиаде по иностранному языку принимало участие 40 студентов, им было предложено ответить на один вопрос по лексикологии, один по страноведению и один по стилистике. Результаты проверки ответов представлены в таблице:

Получены правильные ответы на вопросы	Колич-во ответивших
по лексикологии	20
по страноведению	18
по стилистике	18
по лексикологии и страноведению	7
по лексикологии и стилистике	8
по страноведению и стилистике	9

Известно также, что трое не дали правильных ответов ни на один вопрос. Сколько студентов правильно ответили на все три вопроса? Сколько студентов правильно ответили ровно на два вопроса?

Решение задачи:

Обозначим:

U – универсальное множество, т.е. множество всех студентов,

A – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по лексикологии,

B – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по страноведению,

С – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по стилистике,

D - множество студентов, не давших ни одного правильного ответа.

Проиллюстрируем:

Дано (по условию): m(U) = 40 (чел.) m(D) = 3 (чел.)

m(A) = 20 (чел.) m(AB) = 7 (чел.)

m(B) = 18 (чел.) m(AC) = 8 (чел.)

m(C) = 18 (чел.) m(BC) = 9 (чел.)

Найти: 1) m(ABC) - ? 2) сколько студентов ответили ровно на 2 вопроса?

Решение:

1) Пересечение трех множеств разбивает универсальное множество на классы, т.е. на попарно непересекающиеся непустые подмножества. Обозначим число элементов в каждом классе маленькими латинскими буквами (см. рисунок). Можно проверить (и доказать!), что

m(ABC) = m(A) + m(B) + m(C) – m(AB) – m(AC) – m(BC) + m(ABC)

Очевидно, что m(ABC) = m(U) – m(D) = 40 – 3 = 37

Подставив в формулу известные данные, получим:

37 = 20 + 18 + 18 – 7 – 8 – 9 + m(ABC)  m(ABC) = 5

Итак, на три вопроса ответили 5 студентов

2) Чтобы найти количество студентов, правильно ответивших ровно на два вопроса, необходимо найти и сложить d, e, f:

d + e + f = (8 – m(ABC)) + (7 – m(ABC)) + (9 – m(ABC)) = 3 + 2 + 4 = 9

Ответ: 1) 5; 2) 9

Теорема о количестве подмножеств конечного множества.

 

Рассмотрим множество А = {1, 2, 3 }, где |A| = 3, и множество В = {5, 6, 7, 8}, где |B| = 4.

Составим всевозможные подмножества множества А:

А, , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Всего получили 8 подмножеств.

Составим всевозможные подмножества множества В:

В, , {5}, {6}, {7}, {8}, {5,6}, {5,7}, {5,8}, {6,7}, {6,8}, {7,8}, {5,6,7}, {5,7,8}, {6,7,8}, {5,6,8}.

Получили 16 подмножеств.

Используя результаты рассмотренных примеров, можно предположить справедливость следующего равенства: n = 2^m, где n – количество подмножеств данного конечного множества, m – мощность множества.

Справедливость предположения подтверждает теорема, которую мы примем без доказательства.

Теорема: Если для конечного множества А его мощность равна т, то количество всех подмножеств данного множества, обозначаемое Р(А), равно 2^т.

Пример: Вычислить количество подмножеств множества М – делителей числа 20.

Составим множество М и найдем его мощность :

М = {1,2,4,5,10,20}. Мощность |M| = 6, тогда количество подмножеств равно Р(М) = 2⁶ = 64.