Колебательное движение

Лабораторная работа №3

«Определение коэффицента упругости пружины с помощью пружинного маятника»

УДК 531.13(07)

Рассматриваются законы колебательного движения на примере пружинного маятника. Даны методические указания к выполнению лабораторной работы по определению коэффициента жёсткости пружины динамическим методами. Дан разбор типовых задач по теме «Гармонические колебания. Сложение гармонических колебаний.

Теоретическое введение

Колебательное движение является одним из наиболее распространённых движений в природе. С ним связаны звуковые явления, переменный ток, электромагнитные волны. Колебания совершают отдельные части самых разнообразных машин и приборов, атомы и молекулы в твёрдых телах, жидкостях и газах, сердечные мышцы у человека и животных и т. п.

Колебанием называют физический процесс, характеризующийся повторяемостью во времени физических величин, связанных с этим процессом. Движение маятника или качелей, сокращения сердечной мышцы, переменный ток — всё это примеры систем, совершающих колебания.

Колебания считают периодическими, если значения физических величин повторяются через равные промежутки времени, называемые периодом Т. Число полных колебаний, совершаемых системой за единицу времени, называют частотой ν. Очевидно, что Т = 1/ν. Частота измеряется в герцах (Гц). При частоте 1 герц система совершает 1 колебание в секунду.

Простейшим видом колебательного движения являются свободные гармонические колебания. Свободными, или собственными называются колебания, происходящие в системе после того, как она была выведена из положения равновесия внешними силами, которые в дальнейшем участия в движении системы не принимают. Наличие периодически меняющихся внешних сил вызывает в системе вынужденные колебания.

Гармоническими называют свободные колебания, происходящие под действием упругой силы при отсутствии трения. Согласно закону Гука, при малых деформациях сила упругости прямо пропорциональна смещению тела х от положения равновесия и направлена к положению равновесия: F_упр. = — κх, где κ — коэффициент упругости, измеряемый в Н/м, а x — смещение тела из положения равновесия.

Силы, не упругие по своей природе, но аналогичные по виду зависимости от смещения, называют квазиупругими (лат. quasi — якобы). Такие силы также вызывают гармонические колебания. Например, квазиупругие силы действуют на электроны в колебательном контуре, вызывая гармонические электромагнитные колебания. Примером квазиупругой силы может также служить составляющая силы тяжести математического маятника при малых углах отклонения его от вертикали.

рис. 1

Уравнение гармонических колебаний. Пусть тело массой m прикреплено к концу пружины, масса которой мала по сравнению с массой тела. Колеблющееся тело называют осциллятором (лат. oscillum— колебание). Пусть осциллятор может свободно и без трения скользить вдоль горизонтальной направляющей, по которой направим ось координат ОХ (рис. 1). Начало координат поместим в точке, соответствующей равновесному положению тела (рис. 1, а). Приложим к телу горизонтальную силу F и сместим его из положения равновесия вправо в точку с координатой х. Растяжение пружины внешней силой вызывает появление в ней силу упругости F_ynp., направленной к положению равновесия (рис. 1, б). Если теперь убрать внешнюю силу F, то под действием силы упругости тело приобретает ускорение а, движется к положению равновесия, а сила упругости уменьшается, становясь равной нулю в положении равновесия. Достигнув положения равновесия, тело, однако, в нем не останавливается и движется влево за счёт своей кинетической энергии. Пружина вновь сжимается, возникает сила упругости, направленная вправо. Когда кинетическая энергия тела перейдет в потенциальную энергию сжатой пружины, груз остановится, затем начнет двигаться вправо, и процесс повторяется.

Таким образом, если при непериодическом движении каждую точку траектории тело проходит только один раз, двигаясь в одном направлении, то при колебательном движении за одно полное колебание в каждой точке траектории, кроме самых крайних, тело бывает дважды: один раз двигаясь в прямом направлении, другой раз —в обратном.

Напишем второй закон Ньютона для осциллятора: ma = F_ynp., где

F_упр = –κx (1)

Знак «–» в формуле указывает на то, что смещение и сила имеют противоположные направления, иными словами, сила, действующая на прикрепленный к пружине груз, пропорциональна смещению его из положения равновесия и направлена всегда к положению равновесия. Коэффициент пропорциональности «κ» носит название коэффициента упругости. Численно он равен силе, вызывающей деформацию пружины, при которой её длина изменяется на единицу. Иногда его называют коэффициентом жёсткости.

Так как ускорение есть вторая производная от смещения тела, то это уравнение можно переписать в виде

, или (2)

Уравнение (2) может быть записано в виде:

, (3)

где обе части уравнения разделены на массу m и введено обозначение:

(4)

Легко проверить подстановкой, что этому уравнению удовлетворяет решение:

х = А₀ cos (ω₀t + φ₀) , (5)

где А₀ — амплитуда или максимальное смещение груза от положения равновесия, ω₀ — угловая или циклическая частота, которая может быть выражена через период Т собственных колебаний формулой (см. ниже).

Величину φ = φ₀ + ω₀t (6), стоящую под знаком косинуса и измеряемую в радианах, называют фазой колебания в момент времени t, а φ₀ — начальная фаза. Фаза представляет собой число, определяющее величину и направление смещения колеблющейся точки в данный момент времени. Из (6) видно, что

. (7)

Таким образом, величина ω₀ определяет быстроту изменения фазы и называется циклической частотой. С обычной чистотой её связывает формула

ω₀=2πν (8)

Если фаза изменяется на 2π радиан, то, как известно из тригонометрии, косинус принимает исходное значение, а следовательно, исходное значение принимает и смещение х. Но гак как время при этом изменяется на один период, то получается, что

ω₀ (t + T) + φ₀ = (ω₀t + φ₀) + 2π

Раскрывая скобки и сокращая подобные члены, получим ω₀T = 2π или . Но так как из (4) , то получим: . (9)

Таким образом, период колебания тела, подвешенного на пружине, как это следует из формулы (8), не зависит от амплитуды колебаний, но зависит от массы тела и от коэффициента упругости (или жесткости) пружины.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний: ,

• Собственная круговая частота колебаний, определяемая природой и параметрами колеблющейся системы:

–  — для материальной точки массой m, колеблющейся под действием квазиупругой силы, характеризующейся коэффициентом упругости (жёсткости) k;

–  — для математического маятника, имеющего длину l;

–  — для электромагнитных колебаний в контуре с емкостью С и индуктивностью L.

ВАЖНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ

Эти формулы верны при малых отклонениях от положения равновесия.

• Скорость при гармоническом колебании:

.

• Ускорение при гармоническом колебании:

• Полная энергия гармонического колебания:

.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Задание 1

Определение зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза

1. Подвесьте к одной из пружин груз и выведите маятник из положения равновесия примерно на 1 — 2 см.

2. Предоставив грузу свободно колебаться, измерьте секундомером промежуток времени t, в течение которого маятник совершит n (n = 15 — 25) полных колебаний . Найдите период колебания маятника, разделив измеренный вами промежуток времени на число колебаний. Для большей точности проведите измерения не менее 3 раз и вычислите среднее значение периода колебания.

Примечание: Следите за тем, чтобы боковые колебания груза отсутствовали, т. е. чтобы колебания маятника были строго вертикальными.

3. Повторите измерения с другими грузами. Результаты измерений запишите в таблицу.

№ изме­рения	m (кг)	n	t (с)	T (с)	T2 (с2)

4. Постройте зависимость периода колебаний маятника от массы груза. График будет более простым (прямая линия), если на горизонтальной оси откладывать значения маcсы грузов, а на вертикальной оси — значения квадрата периода.

Задание 2

Определение коэффициента упругости пружины динамическим методом

1. Подвесьте к одной из пружин груз массой 100 г., выведите его из положения равновесия на 1 — 2 см и, измерив время 15 — 20 полных колебаний, определите период колебания маятника с выбранным грузом по формуле . Из формулы вычислите коэффициент упругости пружины.

2. Проделайте аналогичные измерения с грузами от 150 г до 800 г (в зависимости от оборудования), определите для каждого случая коэффициент упругости и подсчитайте среднее значение коэффициента упругости пружины. Результаты измерений запишите в таблицу.

Задание 3. По результатам лабораторной работы (задания 1 — 3):

– найдите значение циклической частоты маятника ω₀.

– ответьте на вопрос: зависит ли амплитуда колебаний маятника от массы груза.

Возьмите на графике, полученном при выполнении задания 1, произвольную точку и проведите из неё перпендикуляры до пересечения с осями Om и OT². Определите для этой точки значения m и T² и по формуле вычислите величину коэффициента упругости пружины.

Приложение

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

ПО СЛОЖЕНИЮ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

• Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами и амплитудами А₁ и А₂, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

где φ_{0, 1}, φ_{0, 2} — начальные фазы.

• Начальная фаза φ₀ результирующего колебания может быть найдена по формуле

tg.

• Биения, возникающие при сложении двух колебаний x₁=Acos2πν₁t, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами ν₁ и ν₂, описываются формулой

x = x₁ + x₂ + 2Acosπ(ν₁ – ν₂)t•cosπ(ν₁+ν₂)t.

• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты с амплитудами А₁ и А₂ и начальными фазами φ_0, 1 и φ_0, 2:

.

Если начальные фазы φ_0, 1 и φ_0, 2 составляющих колебаний одинаковы, то уравнение траектории принимает вид . Если же начальные фазы отличаются на π, то уравнение траектории имеет вид . Это уравнения прямых линий, проходящих через начало координат, иными словами, в этих случаях точка движется по прямой. В остальных случаях движение происходит по эллипсу. При разности фаз оси этого эллипса расположены по осям ОX и ОY и уравнение траектории принимает вид . Такие колебания называются эллиптическими. При A₁=A₂=A x₂+y₂=A₂. Это уравнение окружности, и колебания называются круговыми. При других значениях частот и разностей фаз траектории колеблющейся точки образует причудливой формы кривые, называемые фигурами Лиссажу.

РАЗБОР НЕКОТОРЫХ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

ПО УКАЗАННОЙ ТЕМЕ

Задача 1. Из графика колебаний материальной точки следует, что модуль скорости в момент времени t = 1/3 с равен...

• 9 см/с

• см/с

• 9π см/с

• 0

Решение.

Период гармонического колебания, изображенного на рисунке, равен 2 секундам. Амплитуда этого колебания 18 см. Поэтому зависимость x(t) можно записать в виде x(t) = 18sinπt. Скорость равна производной функции х(t) по времени v(t) = 18πcosπt. Подставив t = (1/3) с, получим v(1/3) = 9π (см/с).

Правильным является ответ: 9 π см/с.

Задача 2.

Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами A₀. При разности амплитуда результирующего колебания равна...

• 

• 0

• 

• 2A₀

Решение.

Решение существенно упрощается, если использовать векторный метод определения амплитуды и фазы результирующего колебания. Для этого одно из складываемых колебаний представим в виде горизонтального вектора с амплитудой А₁. Из конца этого вектора построим второй вектор с амплитудой А₂ так, чтобы он образовал угол с первым вектором. Тогда длина вектора, проведенного из начала первого вектора в конец последнего, будет равна амплитуде результирующего колебания, а угол, образуемый результирующим вектором с первым вектором, будет определять разность их фаз. Векторная диаграмма, соответствующая условию задания, приведена на рисунке. Отсюда сразу видно, что амплитуда результирующего колебания в раз больше амплитуды каждого из складываемых колебаний.

Правильным является ответ: .

Задача 3.

ТочкаМ одновременно колеблется по гармоническому закону вдоль осей координат ОХ и OY с различными амплитудами, но одинаковыми частотами. При разности фаз π/2 траектория точки М имеет вид:

• 3

• 2

• 1

• 4

Решение.

При заданной в условии разности фаз уравнением траектории является уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний (см. теоретические сведения).

Правильным является ответ: 1.

Задача 4.

Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами A₁=10 см и А₂=6 см складываются в одно колебание с амплитудой А_рез=14 см. Разность фаз складываемых колебаний равна...

• 0

• 

• 

• 

• 

В этом случае удобно воспользоваться формулой . Подставив в нее данные из условия задания, получим: .

Этому значению косинуса соответствует .

Правильным является ответ: .

Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются гармоническими? 2. Какой вид имеет график незатухающих гармонических колебаний? 3. Какими величинами характеризуется гармонический колебательный процесс? 4. Приведите примеры колебательных движений из биологии и ветеринарии. 5. Напишите уравнение гармонических колебаний. 6. Как получить выражение для периода колебательного движения пружинного маятника?

ЛИТЕРАТУРА

1. Грабовский Р. И. Курс физики. — М.: Высшая школа, 2008, ч. I, § 27—30.

2. Основы физики и биофизики. Журавлёв А. И. , Белановский А. С., Новиков В. Э., Олешкевич А. А. и др. — М., Мир, 2008, гл. 2.

3. Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов. — М.: МГАВМиБ, 2008. — гл. 18.

4. Трофимова Т. И. Физика в таблицах и формулах: Учеб. пособие для студентов вузов. — 2-е изд., испр. — М.: Дрофа, 2004. — 432 с.

8