3. Вычисление координат центра тяжести плоской кривой
Будем считать, что масса равномерно распределена по кривой и плотность равна единице.
а) Если дуга кривой задана уравнением y =
f(x), хb [а;b], то координатыb центра тяжести |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
формулам |
|
|
|
|
|
|
|||||
вычисляются по |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
f (x) |
|
||||||||||
|
|
|
x 1 [ f '(x)] dx |
|
|
|
1 [ f '(x)] dx |
|||||||||
|
x |
|
a |
, |
y |
|
a |
|
|
|
. |
|||||
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 [ f '(x)]2 dx |
|
|
|
|
1 [ f '(x)]2 dx |
||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||
б) Если дуга задана параметрическими уравнениями
x = φ(t), y = ψ(t), t [t1,t2], то координаты центра тяжестиt2 кривой находятся по формулам
|
|
|
(t) |
[ '(t)]2 [ '(t)]2 dt |
|||
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
t1 |
|
|
|
, |
|
|
t2 |
|
|
|
|||
|
|
|
[ '(t)]2 [ '(t)]2 dt |
||||
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
t2
(t)
[ '(t)]2 [ '(t)]2 dt
|
|
t1 |
|
|
|
. |
y |
|
|
|
|||
|
t2 |
|
|
|||
|
|
|
[ '(t)]2 [ '(t)]2 dt |
|
||
t1
в) Если дуга задана в полярных координатах уравнением r = r(φ), φ [α; β], то координаты центра тяжести кривой определяются по формулам
r( ) cos 
r2 ( ) [r'( )]2 d
x |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 ( ) [r'( )]2 d
r( ) sin 
r 2 ( ) [r'( )]2 d
y |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 ( ) [r'( )]2 d
4. Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры
Будем считать, что масса равномерно распределена по плоской фигуре и плотность равна единице.
а) Если криволинейная трапеция ограничена
линиями |
y = f(x), x = a, x = b и осью Ох, то |
||||||||
координаты центра тяжести находятся по |
|||||||||
формулам x f (x)dx |
|
|
|
12 f 2 |
(x)dx |
||||
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
a |
, |
|
|
a |
|
. |
|
x |
y |
|||||||
|
|
|
|||||||
|
b |
||||||||
|
b |
|
|||||||
|
|
|
f (x)dx |
|
|
|
f (x)dx |
||
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
б) Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями x = φ(t),
y = ψ(t), t [t1,t2], (φ(t1) = a,φ(t2) = b, a < b),
прямыми х = а, х = b и осью Ох, то координаты центра тяжести этой фигуры определяются по
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
формулам |
|
1 |
2 |
(t) '(t)dt |
|||||||
|
|
|
|
(t) (t) '(t)dt |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
t1 |
|
, |
y |
|
t1 |
|
. |
||
|
t2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t2 |
|
|||||||
|
|
|
(t) '(t)dt |
|
|
|
|
(t) '(t)dt |
|||
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
в) Если криволинейный сектор ограничен кривой, заданной в полярных координатах уравнением r = r(φ) и лучами φ = α, φ = β, то координаты центра тяжести сектора вычисляются по формулам
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|||
|
|
13 r3 ( ) cos d |
r3 ( ) sin d |
|
||||||
x |
|
|
|
, |
y |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
12 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
r 2 ( ) d |
|
|
|
|
r2 ( ) d |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
