Приложения
определенного
интеграла
1. Вычисление объемов с помощью определенного интеграла
а) Если площадь S(x) сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, является непрерывной на отрезке [a;b]
функцией, то объем тела вычисляется по |
||
формуле |
b |
|
V S(x)dx. |
||
|
||
|
a |
|
б) Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой
у = f(x), х [а;b], вращается вокруг оси Ох, то
объем тела вращения bвычисляется2 по формуле
Vx f (x)dx.
a
в) Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой, заданной в параметрической форме уравнениями x = φ(t),
y = ψ(t), t [t1,t2], |
|
(φ(t1) = a,φ(t2) = b, a < b), |
||
прямыми x = a, |
|
|
|
|
x = b и осью Ox, вращается вокруг оси Ox, то |
||||
|
t2 |
|
2 |
|
x |
|
|||
|
||||
объем тела вращенияV |
равен(t) '(t)dt. |
|||
|
t1 |
|
|
|
г) Если криволинейный сектор, ограниченный
кривой |
2 |
|
=3α, φ = β, вращается |
|
|
|
|||
r = r(φ) и лучами φ |
||||
|
V r |
( ) sin d . |
||
вокруг полярной оси, то объем тела вращения |
||
равен |
3 |
|
|
||
|
|
|
Задача. Найти объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линией х = α cos3 t, y = α sin3 t вокруг оси Ох.
Решение. Тело получается в результате |
||||
|
|
|
астроиды вокруг оси Ох. |
|
|
|
|
Искомый объем Vx равен |
|
|
|
|
удвоенному объему тела, |
|
|
|
|
полученного при вращении t π |
|
|
|
|
вокруг оси Ох кривой АВ. Точке |
|
|
|
|
A(0;а) соответствует значение2 |
|
|
|
|
параметра |
, точке B(а;0) |
|
Vx 2 |
0 |
отвечает значение t = 0. |
|
|
|
a2 sin 6 t3a cos2 t( sin t)dt |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
6 a3 sin 7 t cos2 tdt 6 a3 (1 cos2 t)3 cos2 td (cos t)
0 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 a3 (cos2 t 3cos4 t 3cos6 t cos8 t)d (cos t) |
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 a3 (1 cos3 t |
3 cos5 t |
3 cos7 t |
1 cos9 t)| |
|
|
32 |
|
a3. |
||||
|
|
|
||||||||||
2 |
||||||||||||
|
||||||||||||
3 |
5 |
7 |
9 |
0 |
105 |
|
||||||
2. Вычисление площади поверхности вращения
а) Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой y = f(x), х
[а;b], вычисляетсяb по формуле
Qx 2 f (x)
1 [ f '(x)]2 dx.
a
б) Если дуга задана параметрическими уравнениями
x = φ(t), y = ψ(t), t [t1,t2], то площадь
поверхности, образованнойt2 вращением дуги вокруг осиQx Ох2 , равн(t)а [ '(t)]2 [ '(t)]2 dt.
t1
в) Если дуга задана в полярных координатах
уравнением |
|
|
|
|
r = r(φ), φ [α; β], то и плошадь поверхности, |
||||
Q 2 r( ) sin r |
2 |
2 |
d . |
|
|
( ) [r'( )] |
|||
образованной вращением дуги вокруг полярной оси, выражается интегралом
Задача. Найти площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды x = a(t − sin t), y = а(1 − cos t) вокруг оси Ох.
Решение. Одна арка циклоиды образуется
при изменении |
. Вычислим |
x'(t) и y'(t): |
|
