Вопрос 14. Методы векторной оптимизации. Метод ведущего критерия.

Этот метод является частным случаем метода последовательных уступок. В методе веду­щего критерия все критерии, кроме самого важного, заносятся в систему огра­ничений. Умножив все критерии минимизации функций на () и обозначив черезнижние границы соответствующих критериев, математиче­скую модель задачи можно записать в виде

(14.1)

(14.2)

, (14.3)

(14.4)

Вопрос 11. Методы векторной оптимизации. Метод равных и наименьших отклонений

Пусть необходимо найти компромиссное решение задачи по к' критериям методом равных и наименьших относительных отклонений, т.е.

(14.5)

при ограничениях

Запишем условие равенства относительных отклонений значений крите­риев от их экстремальных значений для к' критериев:

(14.6)

В выражении (14.6) — экстремальное значение критерияРассмотрим четыре первых критерия (к' > 4).

Пусь в условии задачи критерии имаксимизируются, аимини­мизируются.

Осуществим анализ числителей относительных отклонений первых двух критериев. Оба числителя положительны при< 0 и отрицательны при> 0 (k = 1, 2). Поэтому в равенстве относительных отклонений этих кри­териев скобки абсолютных величин можно опустить, т.е. для первых двух кри­териев справедливо выражение

=или(14.7)

Обозначив =d_k (k =1,2) и подставив в (14.7), получим

или (14.8)

Если рассмотреть третий и четвертый критерии, то для них получим точно такое же уравнение, так как направления их оптимизации совпадают:

Возьмем теперь критерии ,с разными направлениями оптимизации.

Для них при

а при .

Из проведенного анализа видно, что знаки выражений в скобках абсолют­ных величин всегда противоположны, поэтому, опуская скобки абсолютных величин, перед одним из выражений нужно поставить знак минус:

,

или с учетом обозначения =d_k (k =1,3) имеем

Итак, равенство относительных отклонений для любых двух максимизи­руемых (минимизируемых) критериев имеет вид (14.8), а для любых двух крите­риев с противоположными направлениями оптимизации — вид (14.9).

Таким образом, для нахождения компромиссного решения методом рав­ных и наименьших относительных отклонений необходимо оптимизируемые критерии включить в число неизвестных задачи и дополнить систему ограниче­ний исходной задачи следующими ограничениями:

В качестве целевой функции можно взять любую из функций .

При этом следует иметь в виду, что относительное отклонение максимизируе­мого критерия будет наименьшим тогда, когда f_k приблизится к максимально­му значению , а для минимизируемого критерия относительное отклонение станет минимальным, еслиf_k будет приближаться к наименьшему значению т.е.

Отметим, что дополнительных ограничений расширенной задачи вида (14.11) на одно меньше числа критериев.

Если необходимо улучшить значения каких-то критериев, то улучшение оценивается количественно и в условие (14.2) вводятся весовые коэффициенты а₂,а₃,..., а_к. (а₁ = 1). Условие равенства относительных отклонений в этом слу­чае будет иметь вид