ШПОРЫ ЭММ и М

10. Игра - упрощенная модель конфлик. ситуации. Суть игры в том, что кажд. из ее участников принимает такие реш-я, кот. могут обеспечить ему наилучший рез-т. Исход игры – это знач-е некот. ф-ии, наз. ф-ией выигрыша. Эта ф-ия задается либо таблицей, либо аналит. выражением. Если сумма выигрышей игроков =0, то игру наз. игрой с нулевой суммой. Игры, в кот. оба участника, действуя в строгом соотв. с правилами, в равной мере сознательно стремятся добиться наилуч. для себя рез-та, наз. стратегическими. Смешан. стратегией игрока наз. вектор q^→=(q₁, …, q_n), где q_j>=0 (j=1,n‾), ∑ⁿ_j=1q_j=1, p_i и q_j,– вероятности, с кот. игроки и выбирают свои чистые стратегии в ходе игры. При исп-ии смешан. стратегий игра приобрет. случайный хар-р, случайной становиться и величина выигрыша игрока А (проигрыша игрока В). Эта величина явл. ф-ией смеш. стратегий и опред. по формуле f(p‾,q‾)=∑^m_i=1∑ⁿ_j=1a_ijp_iq_j. Ф-ию f(p‾,q‾) наз. ф-ией выигрыша или платежной ф-ией. Смеш. стратегии p‾* и q‾* наз. оптимальными, если они образ. седловую (.) для платеж. ф-ии f(p‾,q‾), т.е. если они удовлет. неравенству f(p‾,q‾*)<= f(p‾*,q‾*)<= f(p‾*,q‾). Пользуются и др. опред-ем оптимал. смеш. стратегий: стратегии p‾* и q‾* наз. оптимальными, если min_q‾ max_p‾ f(p‾,q‾)=max_p‾ min_q‾ f(p‾,q‾)= f(p‾*,q‾*). Величину f(p‾*,q‾*)=ν наз. ценой игры. Пусть игра задана платеж. матрицей.

. Оптимал. смеш. стратегии p‾*=(p^*₁, …, p^*_i, …, p^*_m) и q‾^*=(q^*₁, …, q^*_t, …, q^*_n) игроков А и В м.б. найдены в рез-те реш-я пары двойственных задач линей. прогр-я.

11. Игра - упрощенная модель конфлик. ситуации. Суть игры в том, что кажд. из ее участников принимает такие реш-я, кот. могут обеспечить ему наилучший рез-т. Исход игры – это знач-е некот. ф-ии, наз. ф-ией выигрыша. Эта ф-ия задается либо таблицей, либо аналит. выражением. Если сумма выигрышей игроков =0, то игру наз. игрой с нулевой суммой. Игры, в кот. оба участника, действуя в строгом соотв. с правилами, в равной мере сознательно стремятся добиться наилуч. для себя рез-та, наз. стратегическими. Реш-е матрич. игры графич. методом.

При поиске оптимал. стратегий в матрич. играх размерностей, целесообразно исп. графич. метод реш-я задач линей. прогр-я и св-ва оптимал. планов пары двойств. задач: если в оптимал. плане задачи перемен. положительна, то соотв. огр-е двойств. задачи ее оптимал. планом обращается в равенство; если оптимал. планом задачи огр-е обращается в строгое неравенство, то в оптимал. плане двойств. задачи соотв. переменная =0. Приближен. метод реш-я матрич. игр. Если точное реш-е матрич. игры оказывается громоздким, можно ограничиться приближен. реш-ем. В частности, когда ниж. чистая цена игры α мало отлич. от верх. чистой цены β, иногда польз. чистыми максиминной и минимаксной стратегиями, принимая их за оптимальные. В против. случае целесообразно исп. метод итераций. В основе этого метода лежит предположение, что игра сос-ит из больш. колич. партий и игроки выбирают свои чистые стратегии в очередной партии. Используя ЭВМ, вычислит. процедуру можно значит. ускорить и получить реш-е игры с любой точностью даже при матрицах больших размерностей. Итеративный метод можно рекомендовать для получ-я приближен. плана больших по размеру задач линей. прогр-я, с тем чтобы этот план преобразовать затем в оптимал. с пом. более громоздкой симплек. процедуры.

12. Имеется n отраслей произ-ва. Согласно статист. данным известно, сколько прод-ии кажд. отрасли исп. в др. отраслях в кач. исходных мат-лов или комплектующих, а также, сколько этой прод-ии остается для конеч. исп-я. Все эти данные запис. в виде табл., в кот.: – кажд. строка табл. соотв. одной из отраслей, выступающей как производитель опред. вида прод-ии. Для простоты предполаг., что кажд. отрасль производит только 1 вид прод-ии; – первые n столбцов табл. соотв. тем же отраслям, кот. теперь уже выступают в роли потр-лей прод-ии др. отраслей, исп. для орг-ии своего произ-ва; – в предпоследнем столбце табл. содержится инф-ия о той части прод-ии отрасли, кот. осталась для конеч. исп-я; – в последнем столбце табл. запис. общий V всей произведенной отраслью прод-ии, равный сумме промежут. и конеч. потр-я. Обозначим через П матрицу промежут. потр-я, состоящю из первых n столбцов табл., Y – столбец конеч. исп-я, X – столбец валового выпуска. Тогда: X_i – валовой выпуск в i-й отрасли; Y_i – V конеч. потр-я в i-й отрасли; П_ij – V прод-ии i-й отрасли, использованной в j-й отрасли.

. Базисным в теории межотрасл. баланса явл. след. предположение: величина A_ij=П_ij/X_j, (1.1) = V прод-ии i-й отрасли, кот. исп. в j-й отрасли для произ-ва ед. прод-ии, не зависит от V произ-ва X_i, а обусловлен технологич. особ-стями. Др. словами, промежут. потр-е П_i в j-й отрасли линейно зависит от валового выпуска X_i в этой отрасли: П_j=AX_j (1.2). При этом матрица A наз. матрицей прямых производ. затрат. Исп. операции над матрицами и введенные обозн-я, можно записать осн. балансовое равенство, сост. в том, что валовой V = сумме промежут. и конеч. потр-я: X=AX+Y, или Y=X-AX=(E-A)X (1.3). Полученное равенство позволяет решать задачи планир-я след. хар-ра: известно, что в след. году стр-ра конеч. спроса Y изменится. Предполагая, что технологии произ-ва останутся прежними, необход. найти план валового выпуска по отраслям. С т.з. алгебры эта задача решается просто, если известно, что у матрицы (E-A) сущ. обратная: B=(E-A)^-1. В этом случае реш-е поставлен. задачи находится по формуле: X=(E-A)^-1∙Y=BY (1.4). Матрица B наз. матрицей полных затрат. Ее эл-ты B_ij показывают, какое потребуется изм-е V валового выпуска прод-ии в i-й отрасли, обесп-я увелич-я конеч. спроса j-й отрасли на единицу. Матрицей полных производ. затрат наз. матрицу B_полн=B-E. Из (1.4) получаем B_полнY=BY-Y=X-Y=AX. Таким образом, эл-ты B_{полн i,j} матрицы B_полн показ., какие необходимы затраты прод-ии i-й отрасли для обесп-я единич. конеч. спроса в j-й отрасли. Из тождества (E-A²)B=(E+A)(E-A)^-1=(E+A) получаем равенство B=E+A+A²B=E+A+A²(E-A)^-1, откуда B_полн=B-E=A+A²B=A+A²(E-A)^-1 (1.5). Матрица A²(E-A)^-1 наз. матрицей косвенных производ. затрат. Таким образом, согласно (1.5), полные производ. затраты = сумме прямых и косвенных затрат. Поэтому баланс, запис. в табл., наз. балансом в натур. форме.

13. В кажд. отрасли кроме сырья и исход. мат-лов для орг-ии произ-ва расходуются и др. рес-сы: изнашивается обор-е, оплачивается труд раб-ков, делаются налог. отчисления. Все эти и некот. др. расходы образ. добавленную стоимость, кот. обычно выраж. в общих для всех отраслей денеж. единицах. Причину отнесения прибыли к расходам можно прокоммент. след. образом. По известной формуле Прибыль=Доходы-Расходы получаем, что Доходы=Расходы+Прибыль.

След-но, наше предпол-е о том, что прибыль входит одним из слагаемых в расходы не нарушает осню баланса.

. Добав. стоимость компенсируется произ-лям путем оплаты потр-лями стоимости прод-ии по опред. ценам. Поскольку здесь имеется в виду только конеч. спрос, то суммарную добав. стоимость L запис. не в последний столбец, а в столбец конеч. спроса. Зная величину L_j добав. стоимости в j-й отрасли, определим L_j=l_jx_j – добав. стоимость ед. прод-ии. Обозначим через p_i стоимость прод-ии в i-й отрасли. Умножив данные в i-й строке на соотв. стоимость p_i, получим баланс в стоимост. форме. Оказ., если добав. стоимость во всех отраслях известна, то величины p_i опред. однозначно. Действительно, сумма доходов i-й отрасли, полученных от промежут. и конеч. исп-я ее прод-ии, = p_iX_i. Расходы этой же отрасли можно вычислить, найдя сумму по j-му столбцу табл. 15.1. Приравняем найден. величины. Получим: ∑_kp_kA_kiX_i+l_iX_i, или ∑_kp_kA_ki+l_i=p_i для всех i=1,n‾.

. В матрич. виде эти равенства можно записать в виде: A^Tp+l=p (1.1). Если вектор l считается известным, вектор стоимостей p можно найти по формуле: p=(E-A^T)^-1∙l (1.2). Матрица (E-A^T) получ. из матрицы (E-A) транспонированием, поэтому обрат. матрицы для них сущ. одновременно и если B=(E-A)^-1, то (E-A^T)^-1=B^T. Из формулы (1.1) получим, что l=p-A^Tp, откуда l^T=p^T-p^TA, след-но, L=∑L_i=∑l_iX_i=l^T∙X= (p^T-p^TA)X =p^T(X-AX)=p^TY=∑p_iY_i.Таким обр., совокупная добав. стоимость = совокуп. конеч. спросу в стоимост. форме. Для табл. 15.1 это означ., что L явл. не только суммой всех чисел в строке добав. стоимости, но и суммой всех чисел в столбце конеч. спроса. Формально баланс в стоимост. форме отлич. от баланса в натур. выражении только тем, что в первом случае все дан. в балансе выражаются в одних и тех же ед. изм-я, тогда как во втором случае в кажд. строке баланса может быть своя ед. изм-я колич. прод-ии. Поэтому над данными баланса в стоимост. форме мы можем совершать те же операции, что и над данными баланса в натур. форме. Пусть X^*_i=p_iX_i – валовый выпуск в i-й отрасли в стоимост. форме; Y^*_i=p_iY_i – V конеч. потр-я в i -й отрасли в стоимост. форме; П^*_ij=p_iП_ij – V прод-ии i -й отрасли, исп-ной в j –й отрасли, в стоимост. форме.

Тогда эл-ты матрицы прямых производ. затрат в стоимост. форме будут вычисляться по формуле: A^*_ij=П^*_ij/X^*_i=p_iП_ij/p_iX_i=p_iA_ij/p_j (1.3). Определим l^*_i=L_i/X^*_i=l_i/p_i – добавленную стоимость ед. прод-ии j-й отрасли. Аналогично формуле (1.1) получаем: ∑_kp_kA^*_kiX^*_i+l^*_iX^*_i=X^*_i, или ∑_kp_kA^*_ki+l^*_i=1 для всех i=1,n‾. В частности, если предположить, что во всех отраслях есть дополнит. расходы, т.е. все l^*_i>0, то получаем, что 0<∑_kA^*_ki<1 для всех i=1,n‾ (1.4). Рассмот. модель межотрас. баланса носит название модели Леонтьева.

14. Опр-е (1.1). Если все эл-ты матрицы A (вектора B) неотрицат., то матрицу A (вектор B) будем наз. неотрицат. (неотрицат.) и обозн. этот факт так: A>=0 (B>=0). Вектор B назовем положит., если все его координаты положительны. В модели межотрас. баланса матрица A прямых производ. затрат по своему эк. смыслу м.б. только неотрицат. Опр-е (1.2). Неотрицат. матрицу A назовем продуктивной, если для любого неотрицат. вектора Y найдется неотрицат. вектор X, для кот. справедливо равенство X-AX=Y. Для модели межотрас. баланса с матрицей A прямых производ. затрат это означ., что любой неотрицат. конеч. спрос м.б. удовлетворен. След. теорема показ., что продуктивность матрицы A непосредственно связана с обратимостью матрицы (E-A). Теорема (1.1). (критерий продуктивности) Неотрицат. матрица A продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E-A) обратима, причем обратная матрица B=(E-A)^-1неотрицательна. Следствие 1.1. Если матрица A продуктивна, то сис-ма неравенств X-AX>=0 имеет только неотрицат. реш-я. След. теорема играет важн. роль в мат. эк-ке. В частности, она оказ. полезной и при иссл-нии продуктивности матриц. Теорема (1.2). (Фробениус, Перрон) Пусть A – произвольная неотрицат. матрица. Тогда сущ. собств. знач-е λ_A матрицы A, такое, что для всех собств. значений λ матрицы A выполняется неравенство |λ|<=λ_A. Кроме того, сущ. неотрицат. собств. вектор x_A матрицы A, соотв. знач-ю λ_A. Замечание 1.1. Известно, что набор собств. значений у матриц A и A^T одинаков, к тому же условие A>=0 равносильно условию A^T>=0. След-но, λ_A^T=λ_A. Соотве. вектор x_A^T обознач. через l_A. Опр-е (1.3). Число λ_A наз. числом Фробениуса матрицы A. Векторы x_A и l_A наз., соотв-но, правым и левым вектором Фробениуса матрицы A. Понятие числа Фробениуса позволяет кратко сформулир. условие продуктивности матрицы МОБ. Теорема (1.3). Модель Леонтьева с матрицей A продуктивна тогда и только тогда, когда λ_A<1. Следствие 1.2. Если у положит. матрицы сумма по кажд. столбцу меньше 1, то эта матрица – продуктивная.