Выводы

М. Борн.

Формула Резерфорда для рассеяния α-частиц

Согласно Резерфорду, ядро атома (несущее заряд Ze) и α -частица (имеющая заряд Е и массу М) отталкиваются с кулоновской силой ZeE/r2. Если считать тяжелое ядро покоящимся, то траектория α -частицы будет ветвью гиперболы, один из фокусов которой совпадает с ядром K (рис.). Пусть b — расстояние ядра от асимптоты гиперболы. В отсутствие отталкивания эта асимптота и была бы траекторией α -частицы. Далее, обозначим расстояние ядра K от вершины гиперболы через q , тогда

q =ε(1+cosθ) ,

где ε — линейный эксцентриситет (т. е. расстояние от центра О до фокуса K ), θ —угол между асимптотой и осью координат. Из рис. легко усмотреть, что

ε = sinbθ

и поэтому

q = b(1+cosθ) =bctgθ , sinθ 2

b , очевидно, равно длине меньшей полуоси гиперболы.

Рис. Гиперболическая траектория рассеяния α -частицы на ядре.

a и b — полуоси гиперболы, ε — расстояние между ее фокусом и центром рассеяния. Угол отклонения ϕ =π −2θ .

Найдем сначала связь между «прицельным параметром удара» b и углом отклонения ϕ, который, как видно из

чертежа, равен π −2θ . Для этого рассмотрим законы движения α -частицы. Прежде всего, воспользуемся законом сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна. Пусть v — скорость α -частицы на очень больших расстояниях от ядра, где полная энергия состоит только из кинетической. Приравняв эту энергию к полной энергии α -частицы в момент прохождения через вершину гиперболы, мы получим

12 Mv2 = 12 Mv02 + ZeEq ;

разделив это равенство на Mv2 / 2 и положив для краткости

= ZeE

k Mv2 ,

запишем его в виде

Далее, из закона сохранения момента следует, что

Mvb =Mv0q ,

или

vv0 = bq =1+sincosθθ ,

Подставив эти величины в предыдущее уравнение, получим после небольших преобразований bk = cossinθθ =tgθ ,

или, так как ϕ =π −2θ ,

b =k ctgϕ2 .

Это уравнение связывает отклонение α -частицы с величиной b — расстоянием от прямой, касательной к траектории α -частицы в бесконечности (асимптоты) до ядра.

Поскольку заряд и масса α -частиц известны (это ионы Не2+; для них M =4MH , E =2e ), а их скорости можно

определить из опытов по отклонению в полях, то формулу Резерфорда можно использовать для определения зарядов ядер Z. При этом требуется знать лишь количество рассеивающих атомов в единице объема и подсчитать число α -частиц в пучке до рассеивающего слоя и за ним. Например, точные опыты Чэдвика дают следующие

в то время как из периодической таблицы следовали бы числа

78 47 29.

Превосходное согласие между двумя столбцами цифр подтверждает фундаментальное предположение об идентичности заряда ядра и атомного номера.