mat_analiz

Задача 5. Рассматривается реакция инверсии сахара5. Известно, что количество сахара, инвертирующегося в единицу времени, пропорционально его количеству. Найти закон инверсии сахара и по известному начальному количеству найти количество сахара в растворе по истечении времени t.

Решение. Пусть а – начальное количество сахара в растворе, х – количество сахара, которое инвертируется к моменту времени t. Представим сформулированное свойство инверсии сахара в дифференциальной форме.

Зафиксируем некоторый момент времени t и дадим ему приращение ∆t. За это время инвертируется ∆х сахара. Тогда по свойству инверсии сахара, имеем: ∆x=k(a-x)∆t (k– константа скорости реакции) или

dx=k(a-x)dt. (1)

Это выражение – искомый дифференциальный закон инверсии сахара. Решая дифференциальное уравнение (1), разделим переменные

Значит, зависимость количества инвертируемого сахара от времени имеет вид:

х=а – ае-kt или х=а(1- е-kt).

5 Инверсия сахара – это гидролиз сахарозы, сопровождающийся изменением направления вращения плоскости поляризованного луча света под воздействием раствора сахара.

339

Ответ: dx=k(a-x)dt; х=а(1- е-kt).

Рассмотренная задача инверсии сахара – это пример реакции первого порядка. Порядок химической реакции равен сумме степеней концентраций, входящих в кинетическое уравнение. Скорость такой реакции – это скорость, с которой изменяются концентрации веществ, участвующих в реакции. Концентрация или действующая масса реагирующего вещества – это количество моль этого вещества в единице объема. По закону действующих масс скорость реакции пропорциональна действующим массам в данный момент.

Если а – начальная концентрация вещества А, х – количество моль на литр, прореагировавших за время t от начала реакции, то скорость реак-

цииdxdt , а действующая масса к этому моменту а-х.

Закон действующих масс выразится дифференциальным уравнением реакции первого порядка:

dxdt =к(а-х), где к – константа скорости (коэффициент пропорциональности),

зависящий от рода и условий химического процесса. Возможно найти решение этого уравнения и коэффициент пропорциональности к.

Найдем общее решение этого уравнения:

dx =kdt, a − x

∫adx− x =k ∫dt ,

–ln|a – x| = kt-ln с или ln с – ln|а-х|=кt,

а −с х =еkt,

а-х=с е-kt, х=а- с е-kt.

Имеем начальные условия: при t=0 х=0:

0=а-се0, отсюда с=а.

340

Подставим это значение в решение уравнения (2): ln а −а х =кt,

к= 1t ln а −а х .

Аналогично можно составить и решить в общем виде дифференциальные уравнения химических реакций второго и третьего порядка.

Задача 6. Скорость распада радия пропорциональна его наличному количеству. Половина его первоначального количества распадается в течение 1600 лет. Какой процент данного количества а радия распадается в течение

100 лет?

Решение. Имеет место реакция первого порядка. Дифференциальное уравнение реакции:

dxdt =к(а-х).

Его решение: х=а(1- е-kt) (при условии х=0, t=0).

Дополнительные условия: х= а2 , t=1600:

Значит, х=а(1- е-0,0004t). При t=100: х=а(1- е-0,04)≈а(1-0,961)=0,039а, т.е. через

100лет распадется только 4% радия. Ответ: 4%.

Задача 7. В реакции омыления уксусноэтилового эфира гидроксидом натра первоначальные концентрации уксусноэтилового эфира и гидроксида натра равны соответственно а=0,01 и b=0,002. Спустя 23мин концентрация уксусноэтилового эфира уменьшилась на 10%. В какое время она уменьшится на 15%?

Решение. Реакции омыления уксусноэтилового эфира гидроксидом натра - реакция второго порядка. Пусть х моль уксусноэтилового эфира прореагировало к моменту t (мин). Значит, и гидроксида натра прореагировало

341

столько же моль (каждая моль первого вещества соединяется с моль второго вещества и поэтому число прореагировавших моль обоих веществ одинако-

во). В момент t скорость реакции равна dxdt . Концентрация реагирующих ве-

ществ (действующая масса) равна а-х и b-х соответственно. По закону действующих масс дифференциальное уравнение химической реакции второго порядка имеет вид:

dxdt =k(а-х)(b-х).

Разделим переменные:

dt = dx . k(a − x)(b − x)

Для решения применим метод интегрирования рациональных функций:

Для нахождения величины С используем начальные условия: при t=0 х=0.

Подставляя найденное значение С в общее решение (3), получим частное ре-

Константу скорости реакции k найдем из дополнительных условий: при t=23мин x = 0,1 a = 0,1 0,01 = 0,001.

Подставим числовые значения в решение (4): x = 0,15 a = 0,15 0,01 = 0,0015

342

Примерно через 48 мин количество уксусноэтилового эфира уменьшится на 15%.

Решение: 48мин.

Рассмотрим дифференциальное уравнение изменения численности популяции. Пусть n(t) – число индивидуумов популяции в момент t. Для исследования функции n(t) допустима ее замена непрерывной дифференцируемой функцией у(t), имеющей в каждый момент времени t ту же целую часть, что и разрывная функция n(t). В простейшем случае предполагается, что скорость

ddtу изменения численности популяции пропорциональна ее наличному коли-

честву. Тогда дифференциальное уравнение изменения численности популя-

ции имеет вид: ddtу = (к1 − к2 ) у , где к1 – коэффициент, характеризующий рож-

даемость (к1>0), к2 – коэффициент смертности индивидуумов популяции(к2>0).

Решим полученное уравнение при начальной численности популяции

Исследуем полученное решение (модель Мальтуса). При к1>к2 популяция растет неограниченно, так как e(к1 −к2 )t → + ∞ при t → + ∞. При к1=к2 получаем неустойчивое равновесное состояние у=у0. При к1 <к2 численность популяции стремится к нулю.

Задача 8. Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий, а в течение 3ч их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени. Во сколько раз увеличится количество бактерий в течение 9 ч?

343

Решение. Пусть х – количество бактерий, имеющихся в данный мо-

мент. Скорость их размножения: dxdt . По условию дифференциальное уравне-

ние задачи:

dxdt =кх, где к – коэффициент пропорциональности (константа скорости) меж-

Начальные условия: при t=0 х=100

100=се0, с=100. Значит, х=100екt. Найдем коэффициент к. По условию задачи

времени. Чтобы найти во сколько раз увеличилось количество бактерий в течение 9ч, найдем значение х при t=0 и t=9:

х(0)=100·20=100, х(9)=100·23=800.

Значит, в течение 9ч количество бактерий увеличилось в 8 раз.

t

Ответ: х= 100· 23 , в 8 раз.

Задания для самостоятельной работы

1.Найти величину центрального угла кругового сектора, чтобы из него можно было изготовить конусообразный фильтр с максимальным объемом.

2.Реакция второго порядка по веществу В и первого порядка по веществу А, происходит со скоростью равной v=к(а0-х)(b0+х)2, где а0 и b0 начальные концентрации веществ А и В соответственно, к – константа скорости, зависящая от условий реакции. Найти значение х, когда скорость реакции максимальна.

344

3.Пусть в реакции окисления оксида азота(II) кислородом содержатся компоненты, не принимающие участия в химической реакции. Найти отношение концентрации кислорода к концентрации оксида азота(II), когда скорость окисления максимальна.

4.Составить уравнение кинетики для автокаталитической реакции при условии, что реакция по исходному веществу А второго порядка, а по продукту реакции В(катализатора) – первого. Найти условие, при котором скорость образования вещества В будет максимальной.

5.Две стадии последовательной реакции А→В→С, каждая из которых первого порядка с одинаковыми константами к, имеют кинетические уравне-

ния dxdt =-кх и ddtу =-к(х-у), где х(0)=1,у(0)=0. Найти максимальную концен-

трацию промежуточного вещества В и момент времени, когда эта концентрация будет максимальной.

6.В сосуд, наполненный 5л раствора, содержащего 1,5кг растворенного сахара, в каждый час поступает 1л воды. Также из сосуда в каждый час вытекает 0,5л раствора (концентрация сахара поддерживается постоянной). Найти массу сахара, которая будет содержаться в сосуде через 12часов.

7.Резервуар наполнен 75 л воды, содержащей 3кг растворенного вещества. Приток воды в резервуар составляет 4л в минуту, а расход смеси из резервуара 2л в минуту. Концентрация поддерживается постоянной посредством перемешивания. Найти массу вещества, которая будет содержаться в резервуаре через 25 мин.

8.Скорость растворения вещества пропорциональна наличной концентрации х нерастворенного вещества и разности концентрации насыщенного раствора и концентрации раствора в данный момент6. Подвергая 10 моль соли действию 90л воды, обнаружили, что в течение часа растворилась половина этого количества. Считая концентрацию насыщенного раствора

6 Концентрацией раствора в данный момент называется отношение количества растворенного вещества к объему V растворителя.

345

соли равной 13 , найти количество растворенной соли в течение часа, если за это время было влито 180л воды.

9.Сосуд объемом 40л содержит воздух (80% азота и 20% кислорода). В сосуд втекает каждую секунду 0,2л азота, который непрерывно размешивается, и вытекает такое же количество смеси. Через какое время в сосуде

будет 99% азота?

10.В резервуар, содержащий 10кг соли на 100л смеси, каждую минуту поступает 30л воды и вытекает 20л смеси. Определить, какая масса соли останется в резервуаре через t мин, если смесь мгновенно перемешивается.

11.Сосуд емкостью 100л наполнен раствором, содержащим 10кг растворенной соли. В одну минуту в него втекает 3л воды и столько же смеси перекачивается в другой сосуд той же емкости, первоначально наполненный водой, из которой избыток жидкости выливается. В какой момент времени количество соли в обоих сосудах будет одинаково?

12.Через сосуд емкостью а л, наполненный водным раствором некоторой соли, непрерывно протекает жидкость. В единицу времени втекает b л воды и вытекает такое же количество раствора. Найти закон изменения содержания соли в сосуде в зависимости от времени протекания жидкости через сосуд.

13.Колония микроорганизмов обитает в идеально (или искусственно созданных) условиях, располагает неограниченными ресурсами питания и не подавляется никаким другим видом. В силу естественных процессов размножения (путем самооплодотворения) и гибели число живых организмов колонии меняется с течением времени: прирост пропорционален количеству взрослых членов. Найти закон изменения общего количества живых организмов в колонии.

14.По известному закону инверсии сахара и его начальному количеству а и коэффициенту скорости процесса к найти время, за которое количество сахара уменьшится вдвое.

346

15.В воде растворяется бензойная кислота. Спустя 10мин после начала растворения концентрация раствора составляет 6%. Найти концентрацию раствора спустя 30мин, считая скорость растворения пропорциональной разности концентраций насыщенного и существующего в данный момент растворов.

16.В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна наличному его количеству х. Первоначальное количество фермента а в течение часа удвоилось. Во сколько раз оно увеличится через 3ч?

17.При разложении с постоянной скоростью 1кг СаСО3(мел) его масса стала 0,4кг через 20 мин. Через какое время масса СаСО3 станет равной 0,1кг?

18.В воде с температурой 20° в течение 10мин тело охлаждается от 100° до 60°. Во сколько времени тело охладится до 30°, если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и охлаждающей среды?

19.Если при постоянной температуре скорость растворения твердого тела М в жидкости пропорциональна количеству этого вещества, еще могущего раствориться до полного насыщения жидкости, то какова зависимость количества х растворившегося вещества от времени t?

20.Радиоактивный элемент А распадается наполовину, образуя радиоактивный элемент В, в течение 26,7мин. Найти время распада 0,2 первоначального количества А.

21.Некоторое количество радиоактивного вещества распадается по закону распада с константой к. Найти время, в течение которого количество вещества уменьшится вдвое и среднюю продолжительность существования атома этого вещества.

22.Вещество А превращается в вещество В. Спустя 1ч после начала реакции осталось 44,8г вещества А, а после 3ч вещества А осталось 11,2г. Опреде-

347

лить первоначальную массу вещества А и время, когда останется 641 часть

этого вещества.

23.Под действием постоянного излучения в газовой среде происходит процесс ионизации, при котором за 1сек образуется q положительных и q отрицательных ионов в данном объеме газа. Положительные и отрицательные ионы снова соединяются между собой и количество их убывает. Из общего количества п положительных ионов в каждую секунду соединяется часть, пропорциональная квадрату их количества. Коэффициент пропорциональности k зависит от природы и состояния газа. Найти зависимость количества ионов от времени t.

24.Скорость увеличения площади молодого листа виктории-регии, имеющего форму круга, пропорциональна окружности листа и количеству солнечного света, падающего на него. Последнее пропорционально площади листа и косинусу угла между направлением лучей и вертикалью к листу. Найти зависимость между площадью листа и временем t, если в 6 часов утра эта площадь равнялась 1600см2, а в 18 часов того же дня – 2500см2. Принять, что угол между направлением луча Солнца и вертикалью в 6 часов утра и в 18 часов равен 90°, а в полдень - 0°.

25.Определить константу скорости реакции второго порядка при различных концентрациях а и b веществ А и В.

26.Определить константу скорости реакции второго порядка при равных концентрациях веществ А и В.

27.Определить константу скорости реакции третьего порядка при разных концентрациях а, b, c веществ А, B, C.

28.Определить константу скорости реакции третьего порядка при двух равных концентрациях а≠ b, а=с веществ А, В, С.

29.Определить константу скорости реакции третьего порядка при равных концентрациях а=b=c веществ А, B, C.

348