mat_analiz
.pdfy |
|
|
|
|
|
|
|
y=f(x) |
B |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
dx . |
(16) |
|
A |
l = ∫ |
′ |
2 |
||
|
1 + (f (x )) |
|
||||
|
|
a |
|
|
|
|
0 |
a |
b x |
|
|
|
|
Рис. 23
б) Если уравнение кривой задано в параметрической форме:
x =ϕ(t ),y =ψ(t ),
причем для дуги АВ: α ≤t ≤ β , а ϕ(t ) и ψ(t ) - непрерывно дифференцируемы на отрезке [α; β], то длина дуги вычисляется по формуле
|
|
β |
(ϕ′(t ))2 +(ψ′(t ))2 dt . |
|
|
|
(17) |
|||
|
|
l = ∫ |
|
|
|
|||||
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Если кривая задана в полярных координатах: |
ρ = ρ(ϕ), причем для |
|||||||||
дуги АВ: ϕ1 ≤ϕ ≤ϕ2 , а функция ρ(ϕ) непрерывно дифференцируема, то длина |
||||||||||
дуги АВ выражается формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ϕ2 |
(ρ′(ϕ))2 +(ρ(ϕ))2 dϕ . |
|
|
|
(18) |
|||
|
|
l = ∫ |
|
|
|
|||||
|
|
ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 15. Найти длину дуги полукубической параболы y 2 = x 3 |
от точ- |
|||||||||
ки (0;0) до точки (4;8). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
Полукубическая парабола |
y 2 = x 3 |
симметрична |
относи- |
||||||
тельно оси Ох (см. рис. 24). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
Точки (0;0) и (4;8) лежат на верхней ветви |
|||||||
8 |
|
|
||||||||
y=x3/2 |
параболы, которая описывается уравнением |
|||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
||
|
|
|
|
|
y = x |
2 |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
0 |
4 |
x |
Тогда y′ = 3 x |
|
, и по формуле (16) получаем |
|||||
2 |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l = ∫4 |
1+ 9 x dx . |
|
|||
|
y=–x3/2 |
|
|
0 |
4 |
|
||||
–8 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 24
258