mat_analiz
.pdfЗадание2.Линейные дифференциальные уравнения и уравнения Бернулли. Найти общие решения уравнений:
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
y′ |
− |
|
|
|
= x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
y′ |
+ |
|
|
|
|
|
y = 2 ln x +1 ; |
3. |
y′− yctgx = sin x ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
4. |
xy |
′ |
= x + 2 y ; |
|
|
|
|
|
|
5. |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
6. |
y |
′ |
−2 y = −x ; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
− ytgx = cos x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
y′cos x − y sin x = sin 2x ; |
8. |
y′ |
3 |
y = |
|
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
9. |
y′ |
|
|
x |
|
|
y =1; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
x 3 |
|
|
|
|
|
1− x 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. y′cos x + y sin x =1 ; |
11. y′− |
|
|
xy |
|
|
= x ; |
|
|
|
12. y′− |
2x |
|
|
y =1+ x |
2 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 2 +1 |
|
|
|
1+ x 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
14. y′+ |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
2 x |
; |
|
|
15. y′+ y = x |
y ; |
|
|
||||||||||||||||||
13. |
|
|
. y′ = − |
|
|
|
|
y + x |
|
|
|
|
= e |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. y′+ x |
|
|
= −xy |
2 |
; |
|
|
|
|
17. 2xyy′− y |
2 |
|
+ x = 0 ; |
18. yy′+ y |
2 |
+ 4x(x +1)= 0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
19. xy′−4 y = x 2 |
|
|
y ; |
|
|
|
20. y′− ytgx + y 2 cos x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие заданным |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
начальным условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
21. |
|
|
y |
′ |
− ytgx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0)= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
= cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
|
|
y |
|
= 2 y +e − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0)= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. |
|
|
y |
+ y = cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0)= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
24. |
|
t 2 |
|
ds |
|
= 2ts −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(−1)=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
25. |
|
(2x +1)y′+ y = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0)=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
26. |
|
|
ds |
|
|
− s ctgt = sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
27. |
|
|
y′+ y cos x = sin x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0)=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
28. |
|
|
ds |
|
|
− |
2s |
= t 2 ln t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(1)= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
29. |
|
2y′− 6y + x 2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0)= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
30. |
|
|
y |
2 |
|
y |
′ |
|
+ y |
3 |
|
=1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
329
Задание3. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие заданным
начальным условиям:
1.y′′ = −6x
2.y′′ = x +1
3.y′′ = − x32
4.y′′ = sin x
5.y′′ = x63
6.y′′ = 3x 2
x
7.y′′ = e 2
8.y′′ = 6x +cos x
9.y′′ = 3x −sin x
10.y′′ = ex + x
11.y′′ = 6sin 3x
12.y′′ = e3x +1
13.y′′ = cos12 x
14.y′′ = x sin x
15.y′′ = x1
16.y′′ = sin12 x
17.(1+ x 2 )y′′−2x y′ = 0
18.x y′′ = y′
19.y′′y 3 = y′
20.yy′′+(y′)2 =1
y(0)=0 , |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y |
(0)= 0 |
|
|
|
|
|
|||||
y(1)= |
|
|
|
|
′ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1, y |
(1)= 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
y(1)= |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|||
2, y |
|
(1)=1 |
|
|
|
|
|
||||||
y(0)= |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1, y |
(0)= 2 |
|
|
|
|
||||||||
y(1)= |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, y |
|
(1)=1 |
|
|
|
|
|
||||||
y (0)= 2, y ′(0)= 1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
y(0)= −1, y (0)=1 |
|
|
|||||||||||
y(0)= |
2, y |
′′ |
|
|
|
|
|
||||||
|
(0)=1 |
|
|
|
|||||||||
y(0)= |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1, y |
(0)= 3 |
|
|
|
|
||||||||
y(0)= |
2, y |
′ |
|
|
|
|
|
||||||
|
(0)= 0 |
|
|
|
|||||||||
y(0)= |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1, y |
(0)= 2 |
|
|
|
|
||||||||
y(0)= |
1 |
|
|
|
|
′ |
|
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
9 , y (0)= 3 |
|
|
|
|||||||||
π |
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
π |
|
|
|
||
y |
= |
|
|
|
|
, y′ |
|
|
=1 |
||||
|
|
2 |
|
4 |
|||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(0)= |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1, y |
(0)= 2 |
|
|
|
|
||||||||
y(1)= |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1, y |
(1)= 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
π |
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
π |
|
|
|
||
y |
= |
|
|
|
|
, y′ |
|
|
=1 |
||||
|
|
2 |
|
4 |
|||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(0)= |
0, y |
′ |
|
|
|
|
|
||||||
|
(0)= 3 |
|
|
|
|||||||||
y(0) = 0, |
y |
′ |
|
|
|
|
|
||||||
(0)= 0 |
|
|
|
||||||||||
y(0,5) |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
=1, y (0,5)=1 |
|
||||||||||||
y(0)= |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1, y |
(0)=1 |
|
|
|
|
|
330
21. y′′ = |
y |
′ |
+ln |
y |
′ |
||
|
|
1 |
|
|
|
||
x |
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
22.y′′(1+ln x )+ x1 y′ = 2 +ln x
23.y′′− (y′)2 + y′(y −1)= 0
24.y 2 + (y′)2 − 2yy′′ = 0
Найти общие решения уравнений:
y(1)= |
1 |
′ |
|
|
|||
2 , y |
(1)=1 |
||
y(1)= |
1 |
′ |
|
|
|||
2 , y |
(1)=1 |
||
|
|
′ |
|
y(0)= 2, y (0)= 2 |
|||
|
|
′ |
|
y(0)=1, y |
(0)=1 |
25. y′′ |
|
|
1 |
|
|
|
26. t |
d 2 s |
|
ds |
||||
= |
|
|
|
|
+ |
|
+ t = 0 |
|||||||
|
1 + x2 |
|
|
dt 2 |
dt |
|||||||||
27. x2 y′′+ xy′ =1 |
|
28. (x +1)y′′− (x + 2)y′+ x + 2 = 0 |
||||||||||||
29. yy |
′′ |
|
|
′ |
2 |
|
|
|
′′ 2 |
=1 |
|
|||
|
= (y ) |
|
|
|
30. y y |
|
||||||||
|
Задание 4. Неоднородные ЛДУ второго порядка со специальной |
|||||||||||||
правой частью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Найти общие решения уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
y′′+ y′− 2 y = 6x3 |
2. y′′− 4 y = 8x3 |
|
|
|
|||||||||
3. |
y′′+ 2 y′+ y = 8e x |
4. y′′+ 2 y′+ 5 y = 4e−x |
||||||||||||
5. |
y′′+ 6 y′+8y =10sin x |
6. |
y′′−9 y = cos 3x |
|||||||||||
7. |
y′′+ 3y′+ 2 y = e x |
8. |
y′′−5 y′+ 6 y =13sin 3x |
|||||||||||
9. |
y′′+ 2 y′ = 2x +1 |
10. y′′+ y = 2x3 − x + 2 |
||||||||||||
11. |
y′′+ 4 y′+ 4 y = 2e x |
12. y′′−5 y′+ 6 y = 2 cos x |
||||||||||||
13. |
y′′+ 2 y′−5y = 4e−x |
14. y′′+ 2 y′−8 y = 3sin x |
||||||||||||
15. |
y′′− 6 y′+8 y = cos 2x |
16. y′′− 4 y′+5 y = 2e3x |
||||||||||||
17. |
y′′− 4 y′+ 3y = 3e2 x |
18. y′′− 4 y′+ 4 y = −x2 + 3x |
||||||||||||
19. |
y′′+ 2 y′+10 y = 2x2 −1 |
20. y′′+ y′− 6 y = x2 −1 |
||||||||||||
21. |
y′′+ 6 y′+13y = 3e−x |
22. y′′− 4 y′+ 5 y = 2x2 e x |
||||||||||||
23. |
y′′+ 4 y′ = e−2 x |
24. y′′+ y′ = 2 cos x |
||||||||||||
25. |
y′′+ 5 y′+ 6 y =12 cos 2x −8sin 2x |
26. y′′− 4 y′+ 4 y = e2 x |
||||||||||||
27. |
y′′− 4 y = 2x3 −3x +1 |
28. y′′+ 2 y′+ 5 y = 2e−3 x |
||||||||||||
29. |
y′′− y′ = 3e3x |
30. y′′− 4 y′−5 y = 5x − 4 |
331
Приложение 1
Полярные координаты
Для определения положения точки на плоскости, кроме прямоугольной декартовой системы координат, часто применяется полярная система координат.
Пусть на плоскости даны некоторая точка O (полюс) и проходящая через нее ось OP (полярная ось) , а также указана единица масштаба (см. рис. 1)
ρ |
М |
ϕ |
|
0 1 |
р |
|
Рис. 1 |
Положение произвольной точки M на плоскости определяется расстоя-
нием ρ от точки M до точки O и углом ϕ , который вектор OM образует с по-
лярной осью (см. рис. 1). Величина ρ называется полярным радиусом , а
угол ϕ - полярным углом . Полярный радиус и полярный угол называются полярными координатами точки M , при этом записывают M (ρ;ϕ).
Задание ρ и ϕ однозначно определяет положение точки M , причем величина ρ неотрицательна, а ϕ может быть любым числом из интервала
(− ∞;+∞).
Если совместить прямоугольную декартову и полярную системы координат так , чтобы полюс совпал с началом координат, а полярная ось с положительной полуосью Ox , то легко устанавливается связь между декартовыми и полярными координатами одной и той же точки.
Если обозначить через x и y декартовы координаты произвольной точ-
ки M 0 , через ρ и ϕ - ее полярные координаты, то можно показать справед-
ливость формул:
x = ρ cosϕ,y = ρsin ϕ.
332
Наряду с уравнениями линий в декартовых координатах, можно говорить и об уравнениях линий в полярных координатах. Всякое уравнение, содержащее ρ и ϕ (или только одну из этих величин), является, вообще говоря,
уравнением некоторой линии. Эту линию можно приближенно построить по некоторым точкам.
333
Приложение 2
Применение дифференциального и интегрального исчисления при решении некоторых задач естественнонаучного цикла
Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной (также как и функции нескольких действительных переменных) помогает находить наибольшее или наименьшее значения различных величин (см. тему: «Наибольшее и наименьшее значение функции»).
Задача 1. В условиях практической необратимости (в определенном диапазоне температур) скорость1 химической реакции 2NО+О2=2NО2 выражается формулой v=кх2у, где х - концентрация оксида азота (II) в любой момент времени, у – концентрация кислорода, к – константа скорости реакции, не зависящая от концентрации реагирующих компонентов и зависящая только от температуры, к>0. При каком процентном содержании кислорода в газовой смеси оксид азота (II) окисляется с максимальной скоростью?
Решение. По условию х+у=100%, тогда у=100-х и v=кх2(100-х)=к(100х2-х3).Найдем значение х, при котором функция v принимает максимальное значение и сделаем вывод по условию задачи.
Найдем первую производную этой функции:
v′=к(200х-3х2). Решая уравнение v′=0, т.е. к(200х-3х2)=0, где к≠0, имеем
200х-3х2=0, х(200-3х)=0, х1=0, х2= 2003 .
Используем второе достаточное условие экстремума. Найдем вторую производную функции v:
v″=к(200-6х).
Найдем значения v″ при х=0 и х= 2003 :
1 Математическую формулу, связывающую скорость реакции с концентрациями, называют уравнением скорости реакции или кинетическим уравнением. В общем случае по стехиометрическому уравнению реакции вид кинетического уравнения задать нельзя. Но по основному закону химической кинетики, который можно сформулировать так: скорость реакции в каждый момент времени пропорциональна произведению концентраций реагирующих компонентов, возведенных в некоторую степень, можно найти определенную зависимость скорости от концентраций.
334
v″(0)=200к>0, v″( 2003 )=к(200-400)=-200к<0, т.к. к>0.
Итак, при х=0 скорость окисления минимальна (это соответствует и физическому смыслу задачи) и при х= 2003 =66 23 % скорость окисления мак-
симальна. Так как х - концентрация оксида азота (II), то концентрация кисло-
рода, при которой скорость окисления максимальна, у=100-66 23 =33 13 %. (Из-
за того, что в процессе реакции содержания, в которых вещества количественно соединяются, сохраняются (стехиометрическое соотношение), то при содержании в исходной смеси 33,3 % кислорода скорость реакции будет относительно максимальной в течение всего процесса. Этот вывод справедлив для реакции окисления при любой температуре, при которой реакция является практически необратимой, так как полученный результат не зависит от величины к).
Ответ: 33 13 %.
Аналогично решается задача в случае, когда в газовой смеси, помимо оксида азота и кислорода, содержатся посторонние компоненты, не принимающие участия в химической реакции.
Задача 2. При автокаталитической реакции2 скорость образования некоторого вещества пропорциональна произведению концентраций исходного вещества А и продукта реакции В. При каком количестве исходного вещества А скорость образования продукта реакции начинает убывать?
Решение. Пусть а и b концентрации веществ А и В, х – прирост вещества В и, очевидно, он равен убыли вещества А, т.е. а=а0-х и b=b0+х, где а0 и b0 – начальные концентрации веществ А и В. По условию скорость образования вещества В можно записать по формуле: v=каb или v=к(а0-х)( b0+х), где к>0 – константа скорости реакции.
2 Реакция, на которую оказывает каталитическое действие какой-либо из ее продуктов, называется автокаталитической. Для нее характерно, что процесс идет при переменной возрастающей концентрации катализатора. Скорость автокаталитической реакции в начале процесса возрастает, а затем в результате падения концентрации исходного вещества начинает убывать.
335
Найдем максимум функции v(х)=к(а0-х)( b0+х):
v′ = - к(b0+х)+к(а0-х)= - 2кх+ка0-кb0.
Решая уравнение v′=0, имеем - 2кх+ка0-кb0=0, то есть х= а0 2−b0 - един-
ственная критическая точка. Для определения вида экстремума найдем v″: v″ = - 2к<0 для любого значения х. Значит, х0= а0 2−b0 -точка максимума
функции v и при всех значениях х>х0 скорость образования продукта реакции начинает убывать.3
Ответ: при х> |
а0 −b0 |
скорость образования продукта реакции начина- |
|
2 |
|||
|
|
||
ет убывать. |
|
|
О задачах, приводящих к дифференциальным уравнениям
Задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям, содержащим производные или дифференциалы неизвестных функций, достаточно разнообразны. В таких задачах ищется функция или зависимость между переменными факторами какого-либо процесса.
В начале решения по условию задачи составляется дифференциальное уравнение. В зависимости от условия задачи дифференциальное уравнение получается либо как соотношение между дифференциалами переменных величин, либо как соотношение, содержащее производные неизвестной функции. При составлении дифференциального уравнения задачи в виде соотношения между дифференциалами переменных можно делать различные допущения, упрощающие задачу и, вместе с тем, не отражающиеся на результатах. Например, небольшой участок кривой можно считать прямолинейным; небольшой участок поверхности – плоским; в течение малого промежутка времени переменное движение можно рассматривать как равномерное; физический, химический или другой процесс как протекающий с неизменной скоростью. При составлении дифференциального уравнения задачи в виде соот-
3 b0(начальная затравка) как правило мала по сравнению с а0, поэтому скорость образования продукта достигает максимума в тот момент времени, когда примерно половина исходного вещества А превращена в продукт реакции.
336
ношения между производными используется геометрический, физический или механический смысл производной. Кроме того, при составлении дифференциального уравнения задачи, в зависимости от ее условия, используются известные законы физики, химии, кинетики и других наук и различные математические формулы.
Задача 3. В сосуде находится 60 л раствора, содержащего 5 моль4 растворенной соли. В каждую минуту в него вливается 3 л воды и вытекает 2 л раствора, причем концентрация соли поддерживается постоянной. Какое количество соли остается в сосуде через 40 минут?
Решение. Пусть х моль – количество соли в некоторый момент времени t (мин). В малый промежуток времени dt количество соли в сосуде уменьшится на dх. К моменту t в сосуд поступило 3t л воды и вышло 2t л раствора. Таким образом, увеличение раствора составляет t л. Значит, общее количество жидкости достигло 60+t (л) и в ней растворилось х моль соли. За время dt уходит dх моль соли и 2dt л раствора. Считая концентрацию соли
постоянной, имеем количество соли в 1л 60х+ t моль. Значит, за короткий промежуток времени dt количество соли уменьшится на 60х+ t 2dt. Уравнение
движения жидкости имеет вид: -dх= |
х |
|
|
2dt, т.к. dх <0. |
||||||||||||||||||||
60 + t |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Разделим |
переменные: |
dx |
|
= − |
|
2dt |
, |
|
интегрируем ln |
|
x |
|
= −2(ln(60 +t )+ ln c) |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
60 + t |
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
. Имеем начальные условия при t=0 х=5: |
||||||||||||||||||||||||
или х= |
|
|
||||||||||||||||||||||
(60 +t)2 c2 |
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5= |
|
, откуда с = |
|
|
. Значит, |
искомая зависимость количества соли в |
||||||||||||||||||
602 с2 |
18000 |
|||||||||||||||||||||||
растворе от времени имеет вид: х= |
18000 |
. |
||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(60 +t)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Через 40 мин имеем: х= |
|
18000 |
|
|
=1,8(моль). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(60 + 40)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 Моль вещества – это число граммов вещества, равное его молекулярному весу. Например, 1 моль кислорода равен 16г, 1 моль воды 18г.
337
Ответ: 1,8 моль.
Задача 4. Сосуд емкостью 1 л снабжен 2 трубками и заполнен воздухом, содержащим 21% кислорода по объему. Через одну трубку в сосуд медленно поступает чистый кислород, через другую вытекает смесь воздуха с кислородом. Сколько процентов кислорода будет содержать сосуд после пропуска 10 л газа?
Решение. В начальный момент времени в сосуде |
|
21 |
л кислорода. |
|
100 |
||||
|
|
Так как смесь кислорода с воздухом вытекает, то в некоторый момент време-
ни, когда через сосуд прошло х л газа, в сосуде содержится 100а л кислорода.
Когда через сосуд проходит dх л газа, это означает, что в сосуд входит dх л
кислорода и выходит 100а dх л кислорода. Тогда в сосуде будет
а |
+(dх- |
|
а |
dх)= |
а + (100 − а)dx |
л кислорода. Значит, процент кислорода уве- |
|
100 |
100 |
100 |
|||||
|
|
|
личился на величину (100-а)dх, т.е. dа=(100-а)dх. Это дифференциальное уравнение процесса. Разделим переменные:
da |
= dx . Интегрируем: |
− ln |
|
100 − a |
|
|
= x − ln c , |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
100 − a |
||||||||||||||||||
|
ln |
|
100 − a |
|
− ln c = −x , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
|
100 − a |
|
|
= −x , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
100 − а |
= e−x , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
100 − a = ce−x или a =100 − ce−x .
Имеем начальные условия при х=0 а=21:
21= 100-се0, отсюда с = 79. Значит, зависимость процентного содержания кислорода от времени задается формулой а=100-79е-х.
При х=10 имеем а= 100-79е-10 ≈ 99,996, т.е.99,996% кислорода будет содержаться в сосуде при прохождении 10 л газа.
Ответ: 99,996%.
338