Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mat_analiz

.pdf

Скачиваний:

170

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

2.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3624 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

В общем случае число простейших дробей, соответствующих множи-

телю (x − a)k , стоящему в знаменателе, равно k.

Пример 18. Запишем формулу разложения на простейшие дроби следующих правильных рациональных дробей:

а)	7x 2 − 21x +8			2x 2 + 3			x −1
		;	б)		;	в)		.
	(x − 2)2 (x +1)			x (x −1)(x 2 + 2)			(x 2 +1)(x 2 + x + 2)

а)

б)

в)

Решение. Имеем

7x 2 − 21x +8

(x − 2)2 (x +1)

x − 2

(x − 2)2

x +1

2x 2 + 3

Mx + N

x (x −1)(x 2 + 2)

x −1

x 2 + 2

x −1

Mx + N

Cx + D

(x 2 +1)(x 2 + x + 2)

x 2 +1

x 2 + x + 2

Остается рассмотреть вопрос: каким образом находятся коэффициенты в разложении правильной дроби на простейшие?

Одним из методов определения коэффициентов является так называемый «способ сравнения коэффициентов». Поясним сущность метода на примере.

Пример 19. Разложить дробь							x 2 + 3x −1
									на простейшие.
							(x −1)2 (x 2 + x +1)
Решение. Имеем
x 2 + 3x −1		A		B		Mx + N
	=		+		+			.
(x −1)2 (x 2 + x +1)		x −1		(x −1)2		x 2 + x +1

Умножая обе части данного равенства на знаменатель левой части, получим x 2 +3x −1 = A(x −1)(x 2 + x +1)+ B(x 2 + x +1)+ (Mx + N )(x −1)2 .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

x 3	0 = A +M ,
x 2	1 = B + N − 2M ,
x	3 = B +M − 2N ,
1	−1 = −A + B − N .

227

Получили систему линейных уравнений, решая которую, находим

A =	2	;	B =1; M = −	2	;	N = −	4	.
	3			3			3

Итак, имеем следующее разложение данной дроби на простейшие:


x 2 + 3x −1			2		1		−	2	x −	4
	3							3		3	.
	=			+		+
(x −1)2 (x 2 + x +1)		x −1			(x −1)2		x 2 + x +1

Вернемся к задаче интегрирования правильной рациональной дроби. Раскладывая эту дробь в сумму простейших дробей, мы приходим к задаче интегрирования простейших дробей. Ограничимся рассмотрением интегралов от простейших дробей I – III типов.

Интегрирование простейших дробей

Простейшие дроби I и II типов интегрируются без труда:

I.∫x A− a dx = A ln x − a +C .

II.

∫

dx = A∫(x − a)−m d(x − a)= A

(x − a)−m +1

+C =

+C .

− a)

(1 − m)(x − a)

m−1

− m +1

Остановимся на интегралах вида ∫

+ N

, , где p2 − 4q < 0 .

+ px + q

Выделим в числителе производную знаменателя. Получим

Mx + N

(2x + p)+ N

−

∫

dx = ∫

+ px + q

2x + p

∫

dx + N −

∫

+ px + q

Тогда первый интеграл вычисляется по формуле (14) из §4 , а для вычисления второго интеграла преобразуем квадратный трехчлен, стоящий в знаменателе, выделяя полный квадрат. Имеем

2	2	p p2				p2		p 2		p2
x + px + q = x + 2 x			+		+ q −		= x +

		2		4		4		2	+ q −	4	.

228

Следовательно,

Mx + N

+C .

∫

dx =

+ px + q

+ N −

∫

+ px + q

x +

q −

Поскольку p2 − 4q < 0 , имеем q −

> 0 , тогда для вычисления последне-

го интеграла можно использовать формулу 15 таблицы интегралов. Окончательно получаем

Mx + N

d x +

∫

dx =

+ px + q

+ N −

∫

2 =

+ px + q

q −

ln x 2 + px + q + 2N −Mp arctg

2x + p

+C .

4q − p2

Пример 19. Найти интеграл ∫

x 2

+ 3x −1

dx .

(x −1)2 (x 2

+ x +1)

Решение. В рассмотренном выше примере рациональная дробь, находящаяся под знаком интеграла, была разложена на простейшие. А именно

																																						2															2										4
																			x 2 + 3x −1																												1								−					x −
																			x 2 + 3x −1												=							3						+			1					+			−		3			x −				3				.
																(x −1)2 (x 2 + x +1)															=				x −1									+				(x −1)2				+			x 2 + x +1													.
Тогда
∫				x 2 + 3x −1								dx =						2		∫		dx		+ ∫					dx								−					1			∫				2x + 4					dx				=			2		ln			x −1					−			1		−
				x 2 + 3x −1														2				dx							dx													1							2x + 4												2													1
	(x −1)2 (x 2 + x +1)																	3			x −1							(x −1)2														3					x 2 + x +1															3											x −1
	(x −1)2 (x 2 + x +1)																	3			x −1							(x −1)2														3					x 2 + x +1															3											x −1
−		1	∫	(2x +1)+ 3						dx +C =									2	ln		x −1				−			1			−				1			∫							2x +1				dx − ∫													dx							+C =
		1		(2x +1)+ 3															2										1							1										2x +1																	dx
	3			x		2	+ x +1												3								x −			1						3							x		2		+ x +1												x		2		+ x +						1
						2																																							2																2

																																									1
		2							1					1															d x							+															2																1					1
																													d x							+					2
=			ln		x −1			−			−				ln		x		2	+ x +1					− ∫																								+C =				ln			x			−1				−								−			ln	x	2	+ x +1	−
																			2																																																									2
	3								x −1				3																					1						2						3				3															x −1							3
	3								x −1				3																					1												3				3															x −1							3
																													x +													+
																													x +													+				4
																																		2												4
										1
	2							x +					2		+C = 1 ln									(x −1)2																1						− 2 arctg 2x +1
								x +					2
−				arctg						2																							−																														+C .
			3							3										3			x 2 + x +1														x −1										3											3

229

Задания для самостоятельной работы

Разложением на простейшие дроби вычислить следующие интегралы

а) ∫

x +1

dx ;

б) ∫

x + 2

dx ;

(x − 2)(x + 3)

x 3 + 2x 2 + 2x

в) ∫

x 2 + 2

dx ;

г) ∫

x 4

dx .

+ x

(x +1) (x − 2)

Ответ: а)

x − 2

x +

+C ;

б)

+C ;

x 2

+ 2x + 2

в)

x − 2

; г)

x 2

+C .

−

+ ln

x +1

(x +1)2

3(x +1)

x 2 +1

§7. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

1.Интегралы вида

∫R(sin x ) cos xdx ,

(17)

где R – рациональная функция, вычисляются с помощью подстановки

sin x = t,

cos xdx

= dt .

Интегралы вида

∫R(cos x ) sin xdx

(18)

– аналогично, с помощью замены

cos x = t,

−sin xdx

= dt .

Пример 20. Вычислить интеграл

cos x

∫

dx .

3 + sin 2 x

Решение. Положим sin x = t . Тогда

∫

cos x

dx = ∫

2 =

arctg

+C =

arctg

sin x

+C .

+ sin

Пусть рассматривается интеграл

∫sin m x cosn xdx ,

(19)

где m и n – целые и, по крайней мере, одно из них – нечетное. Допустим, для определенности, что n – нечетное, то есть n = 2k +1. Тогда

∫sin m x cosn xdx = ∫sin m x cos2k x cos xdx = ∫sin m x (1 −sin 2 x )k cos xdx .

230

Таким образом, рассматриваемый интеграл приведен к виду (17).

В случае, когда m – нечетное, аналогичным образом данный интеграл преобразуется к виду (18).

Пример 21. Найти

∫sin 3 x cos4 xdx .

Решение. Имеем

∫sin 3 x cos4 xdx = ∫sin 2 x sin x cos4 xdx .

Обозначая cos x = t, −sin xdx = dt , получим

∫sin 3 x cos4 xdx = −∫(1 −t 2 )t 4 dt = −∫(t 4 −t 6 )dt = −	t 5	+	t 7	+C = −	cos5 x	+	cos7 x	+C .

5		7		5		7
4. Рассмотрим интеграл
∫sin m x cosn xdx ,								(20)

где m и n – неотрицательные и четные.

Для вычисления интегралов вида (20) используют известные из тригонометрии формулы понижения степени

sin 2 x =

1 − cos 2x

;

cos2 x

1 + cos 2x

;

sin x cos x =

sin 2x

Пример 22. Вычислить интеграл

∫cos4 xdx .

Решение.

1 + cos 2x

∫(1 + cos 2x )

∫(1

2x )dx =

∫cos

xdx

= ∫

dx =

+ 2 cos 2x + cos

∫dx +

∫cos 2xdx +

∫

1 + cos 4x

dx =

x +

sin 2x +

∫(1 + cos 4x )dx +C =

sin 2x

sin 4x

+C =

sin 2x

sin 4x

+C .

Если вычисляется интеграл

∫sin m x cosn xdx ,

(21)

где показатели степеней m и n – оба четные, причем хотя бы один из них отрицателен, то следует сделать замену

231

tgx = t, dx = 1 +dtt 2 .

6. Рассмотрим интеграл вида

∫R(sin x; cos x )dx .

(22)

С помощью замены переменной t = tg x2 , которая называется универсальной

тригонометрической подстановкой, данный интеграл всегда сводится к интегралу от рациональной функции. При такой замене имеем

t = tg

;

sin x =

; cos x =

1 −t 2

;

dx =

2dt

+t 2

1 +t 2

Тогда

1 −t

2dt

∫R(sin x; cos x )dx = ∫R

;

1 +t

Пример 23. Вычислить

∫sindxx .

Решение. Произведем универсальную подстановку. Получим

∫

= ∫

1 +t 2

2dt

= ∫

= ln

+C = ln

+C .

sin x

1 +t

Задания для самостоятельной работы

Вычислить интегралы:

а)

∫(3sin x −5)2 cos xdx ;

б)

∫

sin x

dx ;

в) ∫sin 5 xdx ;

+ cos x

г)

∫cos2 x sin 2 xdx ;

д)

∫

+3cos x

Ответ: а)

3sin 3 x −15sin 2 x + 25sin x +C ;

б)

+C ;

+ cos x

в)

− cos x +

2 cos3 x

−

cos5 x

+C ;

г)

x −

sin 4x +C ;

2 +tg

д)

+C .

2 −tg

232

§8. Интегрирование некоторых иррациональных функций

1.Рассмотрим интеграл вида

		ax + b	m1			ax + b	mk
	n	ax + b		; K;	n	ax + b			(23)
∫R x;	1			; K;		k		dx ,	(23)
		cx + d				cx + d

где a, b, c, d – действительные, n1 , K, nk , m1 , K, mk - натуральные числа.

Применяя подстановку

ax + b = t N , cx + d

где N – наименьшее общее кратное чисел n1 , K, nk , мы всегда сможем привес-

ти все подынтегральное выражение к рациональному виду (все корни, входящие в интеграл, «извлекутся»).

Пример 24. Вычислить

∫

xx+ 3 dx .

Решение. Полагая x + 3 = t 2 ,

x = t 2 −3, dx = 2tdt , находим

∫

x +3

dx =

∫

2tdt = ∫

2t 2

dt = 2∫

−3

dt =

= 2∫dt +

6∫

=2t + 3 ln

3 −t

+C .

−3

3 +t

Значит,

∫

x + 3

= 2 x + 3 + 3 ln

3 − x + 3

+C .

3 + x + 3

Пример 25. Вычислить

∫3

xx dx+1 .

Решение. Подынтегральная функция содержит квадратный и кубический корни из х. Наименьшим общим кратным чисел 2 и 3 будет число 6. Полагаем x = t 6 , dx = 6t 5 dt (тогда извлекутся оба корня). Имеем

∫3	x dx	= ∫	t 3	6t 5 dt		= ∫	6t 8 dt			.
	x +1		t	2	+1		t	2	+1

233

Получили интеграл от неправильной рациональной дроби. Выделяя целую часть, находим

∫

= 6∫ t

−t

−1 +

dt = 6

x )7

−

x )5

−

	t 5		t 3
−		+			+C =

	5		3	−t + arctgt
	5		3

arctg6 x +C .

2. Интегралы вида

∫R (x; a2 − x 2 )dx

(24)

вычисляются с помощью замены x = a sin t . 3. Интегралы

∫R (x; a2 + x 2 )dx

(25)

– с помощью подстановки x = atg t . 4. Для интегралов

∫R (x; x 2 − a2 )dx

(26)

рекомендуется замена x = a sect (то есть x = cosa t ).

Замечание 8. Замены, рекомендуемые для интегралов (24) – (26), называются тригонометрическими подстановками.

Приведем пример использования тригонометрической подстановки. Пример 26. Вычислить

											∫	9 − x 2 dx .
		Решение. Положим x = 3sin t . Тогда dx = 3costdt ,														t = arcsin		x	.
		Решение. Положим x = 3sin t . Тогда dx = 3costdt ,														t = arcsin			.
																	3
Получим
∫ 9 − x 2 dx = ∫					9 −9 sin 2 t 3costdt = 9∫cos2 tdt = 9∫1 + cos 2t										dt =	9	∫(1 + cos 2t )dt =
														2		2
	9		1			9		x		9			x
=		t +		sin 2t	+C =		arcsin		+		sin 2 arcsin			+C .
=	2	t +	2	sin 2t	+C =	2	arcsin	3	+	4	sin 2 arcsin		3	+C .
	2		2			2		3		4			3

234

Выражение

можно свести к алгебраическому,

используя

sin 2 arcsin

известные формулы тригонометрии. Имеем

2 arcsin

= 2

1 −

x 2

2x 9

− x 2

9 − x

sin

= 2sin arcsin

cos arcsin

Тогда

∫	9 − x 2 dx =	2 arcsin x		+	1 x 9 − x 2	+C .
		9	3		2

Задания для самостоятельной работы

Вычислить интегралы

а) ∫

;

б) ∫3

;

2x +1

x +

в) ∫

3 ;

г) ∫

2 .

(4 − x 2 )

9 + x

Ответ: а)

2x +1

−1

+C ;

б)

x +33 x + 6 x −6 ln(6 x +1)+C ;

2x +1

в)

+C ;

г) −

9 + x 2

+C .

4 − x 2

235

ГЛАВА IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к понятию определенного инте-

грала.

1. Задача о массе стержня

Пусть стержень длины l имеет массу m.

Средней плотностью стержня называют отношение массы этого стержня к его длине

ρср. = ml .

Плотностью стержня в данной его точке называется предел средней плотности бесконечно малого участка стержня, стягивающегося в эту точку.

Если стержень однородный, то есть равные по длине участки стержня имеют равные массы, то плотность будет одинаковой во всех точках, и будет равна средней плотности этого стержня.

У неоднородного стержня плотность меняется от точки к точке. Пусть стержень лежит на числовой оси, а его левый конец расположен в начале отсчета. Обозначим через ρ(x ) функцию, определяющую плотность стержня в точке х (см. рис.1).


0	x	ℓ
	Рис. 1
Будем считать, что функция ρ(x ) непрерывна.
Задача. Зная длину стержня	l и его плотность ρ(x ) для любого x,

x [0;l], найти его массу m.

Решение. Если стержень однородный, то есть ρ(x )= ρср = const , то m = ρср l.

Пусть стержень неоднородный, тогда ρ(x )≠ const .

Выполним следующие действия:

236

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3624 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.2016530.94 Кб99latina.doc
#
24.04.20192.01 Mб61Leblanc_Lupin_M.doc
#
20.04.2019154.82 Кб82Lektsii_po_gos_upravleniyu_i_politike.docx
#
20.09.2019390.14 Кб276lexicologie.doc
#
10.02.20154.22 Mб679Lysikova_O_V_Muzei_mira_Uchebnoe_posobie_-_M.pdf
#
10.02.20152.98 Mб170mat_analiz.pdf
#
25.09.20191.02 Mб57mat_logika.doc
#
01.04.2025103.94 Кб0Metodi4eskie_rekomendacii.doc
#
10.02.2015273.41 Кб65METODIChESKIE_REKOMENDATsII_Yudenko.doc
#
14.11.2019274.43 Кб53METODIChESKIE_REKOMENDATsII_Yudenko.doc
#
01.05.2025114.47 Кб0METODIChKA_PO_KURSOVOJ_DLYa_tms.docx