Оптимальные решения в условиях риска
1. Постановка проблемы
Задача принятия решения при риске отличается от задачи принятия решения при неопределенности тем, что в первом случае лицо, принимающее решение (ЛПР) имеет определенную информацию о вероятностях различных состояний среды. Поскольку риском называется оцененная любым способом вероятность, то ситуации принятия решения с вероятностными оценками – это ситуации принятия решения в условиях риска.
Информированность ЛПР о вероятностях состояния среды может быть различна. Например, ЛПР знает только, что один состояния более вероятны, чем другие, или ЛПР знает, что вероятность какого-то состояния меньше 50%. Максимально информированный ЛПР знает вероятности различных состояний среды.
Предположим, что ЛПР стремится максимизировать некую целевую функцию, которую мы обозначим X. Например, прибыль, доход и т. д.
Предположим, что ЛПР может выбрать одну из альтернатив: А1, А2, А3,…Аn. Каждой альтернативе при этом соответствует определенное управленческое решение.
Пусть значение целевой функции X зависит как от выбора альтернативы Аi, так и от случайных факторов, зависящих от состояния окружающей среды.
При этих допущениях целевая функция X будет определяться как набор случайных величин X1, X2, X3,…, Xn, где
X1 – случайная величина, характеризующаяся распределением вероятностей при выборе альтернативы А1
X2 – случайная величина, характеризующаяся распределением вероятностей при выборе альтернативы А2
…
Xn – случайная величина, характеризующаяся распределением вероятностей при выборе альтернативы Аn
Пример:
У человека есть 100 рублей. Он стоит перед выбором: купить лотерейный билет с выигрышем 1000 рублей с вероятностью 0,4, купить лотерейный билет с выигрышем 500 рублей с вероятностью 0,7, либо оставить 100 рублей в располагаемый доход.
Решение:
Представим ситуации виде задачи принятия решения с рисками.
А1, А2, А3 – решения-альтернативы
X – доход
X = выигрыш – 100 (при А1 и А2)
X = 100 (при А3)
Если ЛПР выберет А1, то
X1 = 1000–100=900
Если ЛПР выберет А2, то
X2 = 500–100=400
Если ЛПР выберет А3, то
X3 = 100
Выигрыши и вероятности представим в виде таблицы:
|
|
А1 |
А2 |
А3 | ||
|
Вероятность (р) |
0,4 |
0,6 |
0,7 |
0,3 |
1 |
|
Выигрыш (X) |
900 |
-100 |
400 |
-100 |
100 |
2. Математическое ожидание – оценка доходности
Каждая случайная величина Xi с известным законом распределения вероятностей характеризуется определенным набором констант, называющихся числовыми характеристиками.
Первая такая характеристика – математическое ожидание М(X)
Для дискретных случайных величин математическое ожидание равно:
(1)
Математическое ожидание определяет среднее, взвешенное по вероятностям, значение случайной величины X:
(2)
Для нашего примера рассчитаем математические ожидания:
М(X1)=0,4*900+0,6*(-100)=300 рублей
М(X2)=0,7*400+0,3*(-100)=250 рублей
М(X3)=100 рублей
С точки зрения ожидаемого дохода альтернатива А1 лучше альтернативы А2, которая в свою очередь лучше, чем альтернатива А3.
Но при этом не учитывался риск.
Для учета риска применяются такие характеристики как дисперсия и среднее квадратичное отклонение.