Билет 34
Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы
Определение: |
Граф называется произвольно вычерчиваемым из вершины (англ. Arbitrarily traceable graph), если любая цепь с началом в вершине может быть продолжена до эйлерового цикла графа . |
Утверждение: |
Любой произвольно вычерчиваемый из вершины граф является эйлеровым графом. |
Теорема: |
Эйлеров
граф
,
содержащий хотя бы одно ребро, является
произвольно вычерчиваемым из вершины
принадлежит всем циклам графа . |
Доказательство: |
|
Пусть
в
Рассмотрим
степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно
вернуть цикл , то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины больше нет не посещенных ребер не свободно вычерчиваемый из .
Пусть дан эйлеров граф , вершина принадлежит всем его циклам.
Рассмотрим
произвольный путь
Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам . В единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий (смотри рисунок). Значит в единственная компонента связности содержащая ребра,
причем
либо полуэйлеров, либо эйлеров
в
эйлерова цепь
графе . |
вершина
цикл
.
(здесь и далее это означает удаление
только ребер, не трогая вершины). При
удалении цикла все
— эйлеров.
Тогда в
эйлеров цикл. Если начать обход по
эйлерову циклу из
,
то и закончится он в
.
Если теперь
.
Пусть
.
Возможны 2 случая:
,
то
— цикл, значит степени всех вершин
в
остались четными
— эйлеров.
,
то так как
эйлеров граф
эйлеров путь
.
эйлеров цикл в
Билет 35
Описание алгоритма
Поступим
следующим образом: заведем очередь и
положим в нее все вершины нашего графа
(не важно в каком порядке). Пусть
.
Тогда
раз будем делать следующую операцию:
Пусть
— это голова очереди,
— следующая за ней вершина и так далее.
Если между первой и второй вершиной в
очереди есть ребро в графе
,
то перемещаем первую вершину в конец
очереди и переходим к следующей итерации.Если между первой и второй вершиной в очереди ребра нет, то найдем вершину
,
где
,
такую что, ребра
(так как у нас для графа выполнена либо
теорема
Оре,
либо теорема
Дирака,
то такая вершина обязательно найдется;
чуть позже докажем это явно). После чего
поменяем в очереди местами вершины
и
,
и
,
и
,
и так далее, пока
(то есть
пробегает все значения от
до значения заданного неравенством).
Теперь у нас появилось ребро между
первой и второй вершинами в очереди
(теперь вторая вершина, это та, которая
была до разворота на
-й
позиции), а также, гарантированно
существует ребро между
-й
и
-й
вершинами очереди. После этого, так же
как и в первом случае, оправляем первую
вершину в конец очереди.
Таким образом после итераций, мы получаем последовательность (вершины лежащие в очереди), где любые 2 соседние вершины соединены ребром, все вершины графа находятся в этой последовательности, и более того, каждая ровно один раз, а также существует ребро между последней и первой вершинами очереди, а это и значит, что мы решили поставленную задачу.