Предел суммы
Теорема. Предел суммы двух функций равен сумме пределов
этих функций: |
lim f (x) + g(x) |
] |
= A + B |
|
|
x→a[ |
|
|
|
Доказательство. Нам известно, что |
|
lim f (x) = A |
||
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
lim g(x) = B |
|
f (x) = A +α(x) |
|
|
x→a |
Это означает: |
|
|
|
|
|
g(x) = B +β(x) |
|
|
|
Сумма: |
f (x) + g(x) = A + B +α(x) +β(x) |
|||
|
предел |
б.м. |
||
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
21
Пределы произведения и частного
Теорема. Предел произведения двух функций равен
произведению пределов этих функций:
lim[f (x) g(x)]= A B
x→a
Теорема. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций:
lim |
f (x) |
= |
A |
B ≠ 0 |
|
|
|||
x→a g(x) B |
|
|||
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
22
3-5.
Замечательные пределы
Первый замечательный предел Второй замечательный предел
Первый замечательный предел
lim sin x =1
x→0 x
Синус малого угла есть бесконечно малая того же порядка, что и
сам угол.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
24
Доказательство
|
|
Сравниваем три площади: |
|
|
|
|||||
|
С |
S∆AOB < Sсектор AOB < S∆AOC |
|
|
||||||
|
|
1 |
AO OB sin x < |
1 |
R2 |
x < |
1 |
AO AC |
||
|
В |
2 |
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
R2 sin x < |
1 R2 |
x < |
1 R2 |
tg x |
|
|||
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
sin x |
|
|
О |
А |
1 |
< sin x < cos x |
|
cos x < |
x |
<1 |
|||
|
|
Обе функции стремятся к единице |
||||||||
|
|
при x → 0. Значит, и средняя тоже. |
|
|||||||
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
25
Второй замечательный предел
Числом e (вторым замечательным пределом) называется
предел числовой последовательности:
|
1 |
n |
|
lim 1+ |
|
|
= e |
|
|||
n→∞ |
n |
|
|
Это пример последовательности, которая монотонная и ограничена.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
26
Число е
Число е (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в
математическом анализе.
Примерно равно 2,718..
Логарифмы по основанию е
называются натуральными: ln x.
График функции y = e x получил название экспоненты.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
27
Приложение
Типы задач на пределы функции Правило Лопиталя
Таблица эквивалентности для б.м.
Вычисление пределов
Непосредственное вычисление предела
Раскрытие неопределенностей вида 0/0 Раскрытие неопределенностей вида ∞/∞ Раскрытие неопределенностей вида ∞ – ∞ и 0 ∞
Раскрытие неопределенностей вида 1∞, ∞0 и 00
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
29
Важное дополнение о нахождении пределов
Правило Лопиталя-Бернулли. Предел отношения двух
бесконечно малых или бесконечно больших функций равен
пределу отношения их производных (конечному или
бесконечному), если последний существует в указанном
смысле. |
f (x) |
|
f ′(x) |
|
lim |
= lim |
|||
|
|
|||
g(x) |
g′(x) |
|||
x→a |
x→a |
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
30