Пример
Функция
y = x −3
является бесконечно малой при x → 3.
В других точках эта функция бесконечно малой не является!
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
11
Связь б.м. с пределом функции
Теорема. Если функция f (x) при x → a имеет предел, равный А, то ее можно представить в виде суммы предела A и бесконечно малой α (x) при x → a:
f (x) = A +α(x)
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
12
Доказательство
Сопоставим два определения:
|
|
|
( ε > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< ε) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
δ(ε) > 0: 0 < |
x −a |
<δ |
|
f (x) − A |
||||||||||
A = lim f (x) |
|||||||||||||||||
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
α(x) = 0 ( ε > 0 δ(ε) > 0: 0 < |
|
x −a |
|
|
|
|
|
α(x) |
|
< ε) |
||||||
limx→a |
|
|
<δ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
Отсюда: |
f (x) − A =α(x) |
|
|
|
f (x) = A +α(x) |
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
13
Свойства бесконечно малых
Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно
малая величина.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой на ограниченную
функцию (в том числе на постоянную, на другую бесконечно
малую функцию) есть бесконечно малая.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
14
Доказательство теоремы 1
Для двух б.м. α(x) и β(x) запишем по определению:
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
limα(x) = 0 |
|
|
> 0 δ1 > 0: 0 < |
|
x −a |
|
|
|
<δ1 |
|
α(x) |
< |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→a |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim β(x) = 0 |
|
|
|
> 0 δ2 > 0: 0 < |
|
x −a |
|
<δ2 |
|
β(x) |
< |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→a |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Выберем минимальное из чисел δ = min(δ1; δ2) и сложим неравенства:
( ε > 0 δ > 0: 0 < x −a <δ α(x) +β(x) <ε)
|
|
|
|
|
|
limx→a(α(x) +β(x)) = 0 |
||
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
15
Бесконечно большие величины
Функция f (x) называется бесконечно большой величиной при x → a (или при x → ∞), если для любого, даже сколь угодно большого числа M > 0 найдется δ (зависящее от M), что для всех
x таких, что 0 < | x – a |< δ, выполнено неравенство: | f (x)| > M.
lim f (x)
x→a
|
|
( M > 0 δ( M ) > 0: 0 < |
|
|
|
|
|
|
|
> M ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
limx→a |
f (x) = ∞ |
|
x −a |
|
<δ |
|
f (x) |
|
||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
16
Связь между б.м. и б.б.
Теорема 1. Если α (x) – бесконечно малая, то 1/α(x) бесконечно
большая.
Теорема 2. Если β (x) – бесконечно большая, то 1/β(x)
бесконечно малая.
Доказательство можно найти в учебниках.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
17
Таблица эквивалентности
Если предел отношения двух бесконечно малых равен единице:
α(x) lim β =1
x→a (x)
то их называют эквивалентными при x → a (или при x → ∞):
α(x) ≈ β(x)
Например, |
sinα(x) ≈α(x) |
|
В приложении приведена таблица эквивалентности некоторых
бесконечно малых величин.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
18
4-3.
Теоремы о пределах
Единственность предела
Предел суммы, произведения, частного
Признаки существования предела
Единственность предела
Теорема. Функция не может иметь больше одного предела.
Доказательство. Пусть одновременно: lim f (x) = A |
||
|
|
x→a |
|
|
lim f (x) = B |
|
|
x→a |
Нам известно, что |
f (x) = A +α(x) = B +β(x) |
|
Поэтому |
A − B =α(x) −β(x) |
|
Это означает, что |
A = B |
|
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
20