Расчет корреляционных функций.
Для сигналов с ограниченной энергией.
Для сигналов с конечной средней мощностью.
Для периодических сигналов .
Для дискретных сигналов .
Bu,v ( ) u( t )v* ( t )dt .
|
|
|
|
1 |
|
T 2 |
|
|||
B |
( ) lim |
|
|
|
|
u( t )v* ( t )dt. |
||||
|
|
|
||||||||
u,v |
|
T T |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
T 2 |
|
|
|
||
B |
|
( ) |
T |
|
|
u( t )v* ( t )dt . |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
u,v |
|
|
|
T |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bu,v ( n t ) Bn U k V k n. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТС |
Лекция #3 |
11 |
Автокорреляционная функция вещественного сигнала (АКФ).
Это корреляционная функция двух одинаковых сигналов - самого сигнала s(t) и его
копии, задержанной во времени s(t-τ), рассматриваемая как функция времени задержки
τ.
|
|
|
||||||||||
Rs ( ) s( t )s* ( t )dt s( t )s* ( t )dt . |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||
Свойства АКФ вещественного сигнала R(τ). |
||||||||||||
Из неравенства Коши-Буняковского |
|
u( t ),v* ( t ) |
|
|
|
u( t ) |
|
|
|
v* ( t ) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АКФ определяет взаимную энергию сигнала и его копии, задержанной во времени и измеряется в Джоулях.
АКФ действительная и четная функция сдвига во времени τ : |
R(τ )=R(- τ ) . |
График АКФ симметричен . |
|
АКФ достигает максимума при τ=0 и максимальное значение АКФ равно ЭНЕРГИИ
сигнала Еs. Поэтому R(0)=Es>R(τ )
ОТС |
Лекция #3 |
12 |
Связь АКФ сигнала R(τ) с его энергетическим спектром W(ω).
|
* |
( ) |
|
|
|
2 |
W ( ) |
|
|
||||||
АКФ R(τ ) и энергетический спектр сигнала S( )S |
|
S( ) |
|
|
|||
ОДНОЗНАЧНО связаны парой преобразований Фурье. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
R( ) |
|
|
W ( )ej d |
ОПФ |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W ( ) R( )e j d |
ППФ |
|||
|
|
|
||
Однозначно восстановить сигнал s(t ) по его АКФ R(τ ) невозможно, так как
энергетический спектр W(ω), а значит и АКФ не содержат информацию о фазовом спектре сигнала.
ОТС |
Лекция #3 |
13 |
АКФ периодического вещественного сигнала s(t+kT).
Это действительная периодическая корреляционная функция , измеряемая единицами средней мощности за период повторения на сопротивлении R=1[Ом] - [B2 ] =[ВАТТ],
четная по аргументу τ , максимумы повторяются через период повторения T.
|
|
|
T |
|
T |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
Rs ( ) |
|
|
s( t )s( t )dt s( t )s( t )dt . |
||
T |
|
||||
|
|
T |
|
T |
|
|
|
2 |
2 |
||
|
|
|
|
||
АКФ периодического сигнала связана с его линейчатым спектром через ряд Фурье:
|
|
|
2 |
|
j |
2 |
k |
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
2 |
|
2 |
|
|||||
Rs ( ) |
Ck |
|
|
e |
|
|
|
|
2 |
Ak |
cos( |
T |
k k ). |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
Примеры: прямоугольный видеоимпульс (самостоятельно) Расчет АКФ дискретного сигнала с кодом Баркера (на ПЗ графически и
самостоятельно)
ОТС |
Лекция #3 |
14 |
Вопрос 3. Свертка сигналов
Сигнал на выходе линейной системы
|
ННУ |
ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА |
δ(t) |
|
g(t) |
ЛС |
||
s(t) |
(фильтр) |
y(t)=s(t) g(t) СВЕРТКА |
|
||
|
Частотная характеристика линейной системы
Sy ( j ) Ss ( j ) K( j )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K( j ) g( t )e j t dt |
|
K( j ) |
|
e j arg[ K ( |
j )] |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K( j ) |
|
|
Re2 [ K( j )] Im2 [ K( j )] |
|
||||
|
|
|
|||||||
arg[ K( j )] ( ) arctg Im[ K( j )] |
|
||||||||
|
|
|
|
ОТС |
|
Re[ K( j )] |
15 |
||
|
|
|
|
|
Лекция #3 |
|
|||
Свертка двух сигналов во временной и частотной области
Под сверткой понимается математическая операция , которая выполняется в соответствии со следующим алгоритмом:
1.Второй сигнал отображается зеркально симметрично.
2.Второй сигнал задерживается по времени τ от – ∞ до +∞ .
3.Для каждого времени задержки τ находится произведение сигналов.
4.Результаты произведений , полученные при каждом времени задержки τ
суммируются.
ys ,g ( t ) s( )g( t )d s( t ) g( t ).
ОТС |
Лекция #3 |
16 |
Свойства свертки
коммутативность
s( t ) g( t ) g( t ) s( t ).
ys ,g ( t ) s( )g( t )d yg ,s ( t ) g( )s( t )d .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дистрибутивность |
|
|
|
s( t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
g( t ) u( t ) s( t ) g( t ) s( t ) u( t ). |
||||||
|
|
|
|
ассоциативность |
|
|
|
s( t ) |
|
|
u( t ). |
||||
|
g( t ) u( t ) |
s( t ) g( t ) |
|
||||
ОТС |
Лекция #3 |
17 |
Выполнение свертки в частотной области
Согласно свойства преобразования Фурье свертке во временной области соответствует перемножение спектров двух сигналов в частотной области.
ys ,g ( t ) s( t ) g( t ) |
Ys ,g ( j ) S( j ) G( j ). |
|
s(t) |
S(jω) |
|
ППФ |
|
y(t) |
|
X |
|
|
ОПФ |
|
ППФ |
G(jω) |
|
g(t) |
|
|
Связь свертки и корреляции
Если второй сигнал является зеркальной комплексно-сопряженной копией первого сигнала , то результатом свертки таких сигналов является АКФ сигнала.
Это свойство свертки используется в «оптимальных» приемниках когерентных сигналов.
ОТС |
Лекция #3 |
18 |
|
|
Динамическая демонстрация выполнение свертки в частотной области
Линейная Дискретная свертка (свертка дискретных сигналов) Длина первого N отсчетов, длина второго M отсчетов
Круговая (циклическая )Дискретная свертка
Обе последовательности имеют одинаковую длину N отсчетов
Чтобы выровнять длину последовательностей их дополняют нулями до длины M+N-1.
ОТС |
Лекция #3 |
19 |
Линейная свертка
Циклическая свертка
ОТС |
Лекция #3 |
20 |