Lektsii_Matanaliz
.pdfуказанных x0 è x00; получаем jf(x0) ¡ f(x00)j · jf(x0) ¡ bj + jf(x00) ¡ bj < ²:
Достаточность. Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть выполнено условие Коши. Рассмотрим произвольную последователь-
ность xn ! a; xn =6 a; тогда для ±² > 0 9N±² такое, что 8n > N±² выполняется неравенство jxn ¡ aj < ±² и соответственно 8p 2 N выполняется неравенство jxn+p ¡ aj < ±²: Отсюда для числовой последовательности ff(xn)g получаем jf(xn) ¡ f(xn+p)j < ²; ò.å. ff(xn)g - фундаментальная последовательность и
значит существует предел lim f(xn) = b:
n!1
Покажем, что этот предел не зависит от выбора последовательности xn ! a; xn 6= a: Пусть yn ! a; yn 6= a другая такая последовательность, тогда новая последовательность fx1; y1; x2; y2; x3; y3; : : :g ! a и для этой последовательности соответствующая последовательность значений
ff(x1); f(y1); f(x2); f(y2); f(x3); f(y3); : : :g
является фундаментальной, а значит сходящейся, поэтому ее подпоследовательности ff(xn)g è ff(yn)g имеют одинаковые пределы.
Теорема доказана.
Теорема (критерий Коши). Для того чтобы функция y = f(x) имела
конечный предел lim f(x) = b, необходимо и достаточно, чтобы 8² >
x!+1
0 9C² > 0 такое, что 8x0; x00 таких что x0 > C² è x00 > C² выполнялось бы неравенство jf(x0) ¡ f(x00)j < ² (условие Коши).
3.4 Замечательные пределы.
Теорема. Справедливы следующие соотношения |
||||||
á) |
|
!1³ |
x´ |
x |
= e; |
|
à) |
lim |
1 + 1 |
||||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
lim(1 + x) |
= e; |
||||
|
|
|||||
|
x!0 |
|
|
|
|
|
â) lim ln(1+x) |
= 1; |
|||||
|
x!0 |
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
ã) lim e |
x¡1 = 1; |
|
||||
|
x!0 |
|
|
|
|
|
ä) lim sin x = 1: |
|
|
||||
|
x!0 |
x |
|
|
|
41
Доказательство. а) Рассмотрим случай x ! +1; тогда [x] · x < [x] + 1
è |
|
|
|
|
|
³1 + [x] + 1 |
´ |
[x] |
|
< ³1 + x´ |
x |
|
< ³1 + [x] |
´ |
|
: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
[x]+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
³ |
|
´ |
n = e; тогда |
|
|
|
|
|
|
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
n |
|
|
|
|
|
|
³ |
|
|
|
´ |
n+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Íî |
lim 1 + 1 |
|
|
lim 1 + |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= lim |
|
1 + |
1 |
= e; поэтому |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
такое, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
8² > 0 9N1 |
|
8n > N1 |
выполняется неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e ¡ ² < |
|
³1 + n + 1 |
´ |
|
< e + ² |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
è 9N2 такое, что 8n > N2 выполняется неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e ¡ ² < |
³1 + n |
´ |
n+1 |
|
< e + ²: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть N = maxfN1; N2g; тогда 8n > N выполняется неравенство |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e ¡ ² < ³1 + n + 1 |
´ |
|
|
< ³1 + n |
´ |
n+1 |
< e + ²: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если теперь x > N; òî [x] ¸ N и значит при 8x > N + 1 имеем |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
e ¡ ² < |
|
³1 + [x] + 1 |
´ |
|
|
|
|
< ³1 + x´ |
|
|
|
|
< ³1 + [x] |
´ |
|
|
< e + ²; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
[x] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
[x]+1 |
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть ³ |
1 + 1 |
´ |
x = e: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ò.å. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x!+1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
теперь |
|
x ! ¡1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y!+1³y ¡ 1´ |
|
|
= y!+1³1 ¡ y |
´ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= y!+1³1 + y ¡ 1´ |
|
|
|
|
¡y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
e |
|
lim |
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||
Положим³ |
|
1 |
¡y |
|
|
|
|
|
|
ïðè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поэтому по |
|||||||||||
ò.å. |
f(y) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 ¡ y |
|
|
! e ïðè y ! +1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y = g(x) = ¡x; |
|
|
|
|
x ! ¡1 y = g(x) ! +1; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
теореме о пределе сложной функции (см. Ÿ2.3) |
|
lim |
|
f(g(x)) = e; íî |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
x) |
x!¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(g(x)) =y³1 ¡ |
|
|
´¡ |
¡ |
|
|
|
= |
³1 + |
|
´ |
|
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡x |
|
|
|
x |
|
|
|
´ |
y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ |
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
³ |
|
|
|
|
|||||||||||
б) Поскольку ylim |
1 + y1 |
|
|
|
|
= e; то полагаем f(y) = |
1 + y1 ! e ïðè |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y ! 1 |
и введем новую переменную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïðè |
x ! 0 y ! 1 |
è |
||||||||||||||||||||||||||
|
y = g(x) = x; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
по теореме о пределе сложной функции lim f(g(x)) = e; íî |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
³ |
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
´ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(g(x)) = 1 + |
1 |
|
|
x = 1 + x x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
в) Поскольку lim ln y = 1; то полагаем f(y) = ln y |
! |
1 ïðè y |
! |
e: Введем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
! |
e |
|
|
|
|
|
) = ³1+ |
|
´ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
новую переменную y |
= |
g |
x |
x |
x |
! |
e ïðè x |
! 0 |
; тогда lim f(g(x)) = 1; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
íî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 + x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(g(x)) = ln |
1 + x |
|
x |
|
|
|
|
|
= |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
г) Поскольку lim |
|
ln(1+y) |
|
|
|
|
|
³ |
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1+y) |
|
|
|
1 ïðè y |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
= 1; то полагаем f(y) = |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
! |
! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
! |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0: Введем новую переменную y |
= g(x) = ex ¡ 1 ! 0 ïðè x |
! 0; тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim f(g(x)) = 1; íî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 + ex ¡ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(g(x)) = |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex ¡ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex ¡ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ä) Ïðè 0 < x < ¼2 |
0 < sin x < x < tg x; ïðè ¡¼2 |
|
< x < 0 tg x < |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x < sin x < 0; отсюда при 0 < jxj |
< ¼2 |
|
|
|
|
1 < |
|
x |
|
< |
1 |
: По теореме о двух |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin x |
cos x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ограничивающих функциях (см. Ÿ3.2) lim |
|
|
x |
|
|
= 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Следствие. Справедливы следующие соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
à) lim tg x |
|
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x!0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
á) lim arcsin x |
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x!0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
arctg x |
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
â) lim |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x!0 cos x |
|
1 |
|
= |
|
|
|
|
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ã) lim |
x |
2¡ |
|
|
¡2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
! |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Доказательство. à) lim |
|
|
|
|
= 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
¢ cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin y |
x!0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïðè |
|
|
|
|
|
|
Введем |
||||||||||||||
б) Поскольку lim |
|
|
|
= 1;³òî |
полагаем |
|
f(y) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
y |
|
|
|
0: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
y |
|
! |
|
|
|
! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
новую переменную y = g(x) = arcsin x |
! |
|
0 ïðè x |
! |
|
0; поэтому lim f(g(x)) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1; íî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
! |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(arcsin x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(g(x)) = |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
в) Поскольку lim tg y |
= 1 |
; то полагаем f |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
tg y |
|
! 1 |
ïðè y |
! 0 |
: Введем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y!0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
новую переменную y = g(x) = arctg x |
|
! |
0 ïðè x |
! |
0; поэтому lim f(g(x)) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1; íî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
! |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg(arctg x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(g(x)) = |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ã) |
|
|
|
cos x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡2 sin2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
sin x2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
lim |
x2¡ |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
2 |
³ |
|
|
|
|
´ |
|
|
= |
¡ |
2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x!0 |
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
¡ x!0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие доказано.
43
3.5Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Сравнение функций. O¡символика. Эквивалентные функции.
Определение. Функция y = f(x) называется бесконечно большой (бес-
конечно малой) при x |
! |
a åñëè lim f(x) = |
1 |
(lim f(x) = 0): |
|
x a |
x a |
||
|
|
! |
|
! |
Бесконечно большие и бесконечно малые функции обладают свойствами, аналогичными свойствам бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. В частности справедлива следующая
Теорема (о специальном представлении). Если существует конеч-
ный предел lim f(x) = b; то в окрестности точки a справедливо представ-
x!a
ление f(x) = b + ®(x); ãäå ®(x) бесконечно малая при x ! a:
Пусть g(x) =6 0 ïðè 8x : 0 < jx ¡ aj < ± и существует предел k = lim f(x);
x!a g(x)
тогда
à) åñëè k = 0; то пишут f(x) = ±(g(x)) ïðè x ! a; åñëè ïðè ýòîì g(x) бесконечно малая при x ! a; òî f(x) называют бесконечно малой более высокого порядка малости, чем g(x);
á) åñëè k = 1; то пишут f(x) » g(x) ïðè x ! a и функции f(x) è g(x) называют эквивалентными при x ! a; отметим, что эквивалентность обладает
свойством транзитивности;
â) åñëè k - конечно, но k =6 0 è k =6 1; то пишут f(x) = °(g(x)) ïðè x ! a и функции f(x) è g(x) называют функциями одного порядка при x ! a;
ã) åñëè k = 1 è g(x) - бесконечно большая при x ! a; òî f(x) называется
бесконечно большой более высокого порядка, чем g(x):
Если функция f(x)-бесконечно малая при x ! a; ò.å. lim f(x) = lim f(1x) =
x!a x!a
0; то в соответствии с введенными обозначениями f(x) = ±(1):
Пример 1. В соответствии с замечательными пределами (см. Ÿ3.4) при x ! 0 имеет место следующий ряд эквивалентностей
x » sin x » tg x » ln(1 + x) » ex ¡ 1 » arcsin x » arctg x;
2(1 ¡ cos x) » 1: x2
44
Из тех же замечательных пределов получаем |
x¡ |
|
|
||||
x!0³ |
x |
¡ 1´ |
= x!0 |
|
|
||
lim |
sin x |
|
lim |
sin x |
x |
= 0; |
|
|
|
|
|
||||
ò.å. ïðè x ! 0 |
|
|
èëè sin x = x + ±(x): |
||||
sin x ¡ x = ±(x) |
Аналогично рассуждая, получим другие специальные представления:
tg x = x + ±(x); ln(1 + x) = x + ±(x); arcsin x = x + ±(x); arctg x = x + ±(x);
ex = 1 + x + ±(x);
cos x = 1 ¡ x2 + ±(x2); 2
которые можно использовать при вычислении пределов. Пример 2. Вычислить предел
|
|
|
|
|
lim |
(1 + x)® ¡ 1 |
= lim |
e® ln(1+x) ¡ 1 |
|
= |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
x |
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||
= lim |
e®(x+±(x)) ¡ 1 |
|
= lim |
1 + ®x + ±(x) ¡ 1 |
= lim(® + |
± |
(1)) = ®: |
|||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
x |
|
x |
! |
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
|||||||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|||||
Таким образом |
|
|
|
|
x!0³ |
|
|
|
x |
¡ |
1 |
¡ |
|
´ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
(1 + x)® |
|
|
|
|
|
® |
= 0 |
|
|
|
|
||||||||
èëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + x)® ¡ 1 ¡ ®x = ±(x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
а значит |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + x)® = 1 + ®x + ±(x): |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пример 3. Вычислить предел |
= nlim e |
|
³n |
±³n ´´ |
= nlim ex+±(x) = ex: |
|||||||||||||||||||||||||
nlim 1 + n |
|
|
= nlim e |
³ |
|
|
|
n ´ |
|
|||||||||||||||||||||
!1³ |
|
x |
´ |
n |
|
|
|
|
n ln |
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
x |
+ x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
45
3.6Понятие непрерывности функции в точке (на множестве). Простейшие свойства непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва и их классификация.
Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке a;
åñëè
lim f(x) = f(a) (ò.å.a 2 D(f)(!!!)):
x!a
Используя определения предела функции по Гейне и по Коши, можно сформулировать понятия непрерывности следующим образом.
Определение.(по Гейне) Функция y = f(x) называется непрерывной в точке a; если для любой числовой последовательности xn ! a; соответствующая числовая последовательность f(xn) ! f(a):
Определение.(по Коши) Функция y = f(x) называется непрерывной в точке a; åñëè 8² > 0 9±² > 0 такое, что 8x : jx ¡ aj < ±² выполняется
неравенство jf(x) ¡ f(a)j < ² èëè f(a) ¡ ² < f(x) < f(a) + ²:
Перепишем предельное равенство из определения непрерывности функции в точке следующим образом
lim (f(x) ¡ f(a)) = 0;
x¡a!0
разность x = x ¡ a называется приращением аргумента, а разность f = f(a + x) ¡ f(a) - приращением функции. В этих обозначениях предельное равенство переписывается так
lim f = 0;
x!0
а определение непрерывности функции y = f(x) в точке a можно теперь
сформулировать следующим образом (на языке приращений) Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке a; åñëè
бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Пример. Исследовать на непрерывность в точке x = 0 функцию
f(x) = |
( 0;¢ |
cos x1 |
x = 0: |
|
x |
; x 6= 0; |
46
Рассмотрим приращение функции в точке x = 0 f = x¢cos 1x; f ïðåä-
ставляет собой произведение двух множителей, один из которых является бесконечно малой при x ! 0; а другой - ограниченная функция j cos 1xj · 1;
ò.å. f есть бесконечно малая при x ! 0; а значит функция непрерывна в точке x = 0:
Точки, в которых функция непрерывна, называются точками непрерывности. Естественно можно определить непрерывность функции в точке x = a
слева (справа) следующим образом
f(a ¡ 0) = lim f(x) = f(a) (f(a + 0) = lim f(x) = f(a)):
x!a¡0 |
x!a+0 |
Если функция y = f(x) непрерывна в каждой точке некоторого множества,
то функция называется непрерывной на этом множестве. В частности, если функция непрерывна в каждой точке интервала (a; b); непрерывна справа в
точке a; непрерывна слева в точке b; то функцию называют непрерывной на отрезке [a; b]:
Перечислим некоторые свойства непрерывных функций.
1.Непосредственно из теорем об арифметических свойствах предела функции получаем теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного двух функций. Из теоремы о пределе сложной функции вытекает утверждение о непрерывности сложной функции.
2.(локальная ограниченность непрерывной функции) Если функция y =
f(x) непрерывна в точке a 2 D(f); то существует ±-окрестность точки a; в которой функция y = f(x) ограничена. Чтобы в этом убедиться достаточно расписать определение непрерывности по Коши, тогда числа f(a)¡² è f(a)+² будут ограничивать функцию y = f(x) снизу и сверху в ±-окрестность точки
a:
3. (сохранение знака) Если функция y = f(x) непрерывна в точке a è f(a) > 0 (f(a) < 0); то существует ±-окрестность точки a; в которой функция f(x) > 0 (f(x) < 0): Для проверки этого свойства достаточно выбрать 0 < ² < f(a); затем расписать определение непрерывности по Коши в точке,
47
тогда число f(a) ¡ ² > 0 ограничивает f(x) снизу в ±-окрестность точки a и значит f(x) > 0: Åñëè f(a) < 0; то выбираем 0 < ² < ¡f(a) и расписываем определение непрерывности, тогда f(a)+² < 0 ограничивает f(x) сверху, т.е.
f(x) < 0:
4. (непрерывность абсолютной величины) Если функция y = f(x) непрерывна в точке a; то функция y = jf(x)j непрерывна в точке a: Доказательство следует из цепочки неравенств
0 < j jfjj = jjf(x)j ¡ jf(a)jj · jf(x) ¡ f(a)j = j fj:
Если теперь x ! a; ò.å. x = x ¡ a ! 0; òî j fj ! 0; а значит jfj ! 0; что и означает непрерывность в точке a функции y = jf(x)j; записанной на
языке приращений.
5. (непрерывность обратной функции) Если функция y = f(x) строго возрастает (убывает) на отрезке [a; b]; непрерывна на этом отрезке, тогда существует обратная функция x = g(y) строго возрастающая (убывающая) и непрерывная на отрезке [f(a); f(b)] ([f(b); f(a)]):
6. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. а) Многочлены P (x) = anxn +an¡1xn¡1 +: : :+a1x+a0: Функция y = f(x) =
x непрерывна в любой точке x0; ò.ê.
y = f(x0 + x) ¡ f(x0) = x0 + x ¡ x0 = x:
Если теперь x ! 0; òî y ! 0: Тогда по теореме о непрерывности произведения получаем непрерывность любой степени xk; далее по теореме о непрерывности суммы получаем непрерывность любого многочлена P (x):
б) Рациональные функции
непрерывных функций.
в) Показательная функция y = ax; a > 0; a 6= 1: Ïðè x ! 0
y= ax0+Δx ¡ ax0 = ax0(a x ¡ 1) = ax0(e x ln a ¡ 1) =
=ax0(1 + ln a ¢ x + ±(Δx) ¡ 1) = ax0(ln a + ±(1))Δx ! 0;
т.е. любая показательная функция непрерывна в любой точке x0:
48
г) Логарифмическая функция y = loga x - непрерывна, как функция обратная к непрерывной y = ax:
д) Степенная функция y = x® = e® ln x непрерывна, как композиция непре-
рывных функций.
е) Все тригонометрические функции непрерывны. Действительно, для функции y = sin x имеем неравенство
x ³ x´ x
j yj = j sin(x0 + x) ¡ sin x0j = j2 sin 2 cos x0 + 2 j · 2 ¢ 2 ¢ 1 = x:
Отсюда при x ! 0; y ! 0; ò.å. y = sin x непрерывная функция. Точно также проверяется непрерывность функции y = cos x: Соответственно функции y = tg x è y = ctg x непрерывны как частное непрерывных функций.
ж) Все обратные тригонометрические функции непрерывны как обратные к непрерывным функциям.
Пример (уравнение Кеплера). Существует единственная непрерывная функция x = x(y); y 2 R удовлетворяющая уравнению Кеплера
x ¡ ² sin x = y; 0 < ² < 1:
В Ÿ2.6 было показано, что 8y существует единственное x удовлетворяющее уравнению Кеплера. Этим было доказано существование функции x = x(y): Докажем ее непрерывность. Рассмотрим функцию
y = x ¡ ² sin x : R ! R:
Эта функция непрерывна. Покажем ее монотонное возрастание, пусть x1 > x2; тогда
|
|
|
|
|
|
y1 ¡ y2 = (x1 ¡ x2) ¡ ²(sin x1 ¡ sin x2) = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= (x |
|
¡ |
x |
) |
¡ |
2² sin |
x1 ¡ x2 |
cos |
x1 + x2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Òàê êàê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2² sin |
x1 ¡ x2 |
|
cos |
x1 |
+ x2 |
j · |
2 |
¢ |
² |
¢ |
|
jx1 ¡ x2j |
= ² |
¢ |
(x |
|
¡ |
x |
|
); |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
j |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||||||||||||||
òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 ¡ x2 |
|
|
|
|
|
x1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
¡ |
² |
¢ |
(x |
|
¡ |
x |
) |
· |
|
2² sin |
|
cos |
|
· |
² |
¢ |
|
(x |
1 ¡ |
x |
) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
49
² ¢ (x1 ¡ x2) ¸ ¡2² sin x1 ¡ x2 cos x1 + x2 ¸ ¡² ¢ (x1 ¡ x2) 2 2
поэтому
y1 ¡ y2 = (x1 ¡ x2) ¡ ² ¢ (x1 ¡ x2) = (1 ¡ ²)(x1 ¡ x2) > 0
èëè y1 > y2: Отсюда по теореме о непрерывности обратной функции x = x(y)
непрерывна.
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называ-
ются точками разрыва функции, т.е. lim f(x) = f(a): |
||||||||
|
|
|
x |
! |
a |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть x = a точка разрыва функции y = f(x); рассмотрим величины |
||||||||
f |
( |
a |
lim f(x); |
f(a + 0) = |
lim f(x): |
|||
|
|
¡ 0) = x a 0 |
|
|
x |
! |
a+0 |
|
|
|
|
! ¡ |
|
|
|
|
Åñëè f(a ¡ 0) = f(a + 0) - конечно, то x = a называется устранимой
точкой разрыва.
Åñëè f(a ¡ 0) =6 f(a + 0) и эти величины конечны, то x = a называется
точкой разрыва первого рода, величину f(a + 0) ¡f(a ¡0) называют скачком функции y = f(x) в точке x = a:
Если хотя бы одна из величин f(a¡0) èëè f(a+0) не существует, то x = a
называется точкой разрыва второго рода.
Пример 1. Функция Дирихле D(x) в каждой точке своей области определения имеет разрыв второго рода (см. Ÿ3.1). Функция y = x¢D(x) непрерывна в точке x = 0 и имеет разрывы второго рода во всех остальных точках обла-
сти определения.
Пример 2. Функция (
jxj; x ¡ любое нецелое число;
f(x) =
0; x 2 Z
в точках x 2 Z nf0g имеет устранимые разрывы и непрерывна во всех остальных точках своей области определения.
|
1 |
|
|
|
Пример 3. Функции y = ex ; y = x1 ; y = sin x1 |
имеют в точке x = 0 разрыв |
|||
второго рода. Функции y = |
1 |
; |
y = sin x; y = signx имеют в точке x = 0 |
|
1 |
||||
|
1+ex |
|
jxj |
|
50