Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский федеральный университет им. И.Канта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_Matanaliz

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

977.34 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

указанных x0 è x00; получаем jf(x0) ¡ f(x00)j · jf(x0) ¡ bj + jf(x00) ¡ bj < ²:

Достаточность. Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть выполнено условие Коши. Рассмотрим произвольную последователь-

ность xn ! a; xn =6 a; тогда для ±² > 0 9N±² такое, что 8n > N±² выполняется неравенство jxn ¡ aj < ±² и соответственно 8p 2 N выполняется неравенство jxn+p ¡ aj < ±²: Отсюда для числовой последовательности ff(xn)g получаем jf(xn) ¡ f(xn+p)j < ²; ò.å. ff(xn)g - фундаментальная последовательность и

значит существует предел lim f(xn) = b:

n!1

Покажем, что этот предел не зависит от выбора последовательности xn ! a; xn 6= a: Пусть yn ! a; yn 6= a другая такая последовательность, тогда новая последовательность fx1; y1; x2; y2; x3; y3; : : :g ! a и для этой последовательности соответствующая последовательность значений

ff(x1); f(y1); f(x2); f(y2); f(x3); f(y3); : : :g

является фундаментальной, а значит сходящейся, поэтому ее подпоследовательности ff(xn)g è ff(yn)g имеют одинаковые пределы.

Теорема доказана.

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы функция y = f(x) имела

конечный предел lim f(x) = b, необходимо и достаточно, чтобы 8² >

x!+1

0 9C² > 0 такое, что 8x0; x00 таких что x0 > C² è x00 > C² выполнялось бы неравенство jf(x0) ¡ f(x00)j < ² (условие Коши).

3.4 Замечательные пределы.

Теорема. Справедливы следующие соотношения
á)		!1³		x´	x	= e;
à)	lim		1 + 1
	x		x
				1
	lim(1 + x)				= e;

	x!0
â) lim ln(1+x)				= 1;
	x!0		x
			x
ã) lim e			x¡1 = 1;
	x!0
ä) lim sin x = 1:
	x!0		x

Доказательство. а) Рассмотрим случай x ! +1; тогда [x] · x < [x] + 1

³1 + [x] + 1

[x]

< ³1 + x´

< ³1 + [x]

[x]+1

n = e; тогда

n+1

Íî

lim 1 + 1

lim 1 +

= lim

1 +

= e; поэтому

n!1

n+1

n!1

такое, что

8² > 0 9N1

8n > N1

выполняется неравенство

e ¡ ² <

³1 + n + 1

< e + ²

è 9N2 такое, что 8n > N2 выполняется неравенство

e ¡ ² <

³1 + n

n+1

< e + ²:

Пусть N = maxfN1; N2g; тогда 8n > N выполняется неравенство

e ¡ ² < ³1 + n + 1

< ³1 + n

n+1

< e + ²:

Если теперь x > N; òî [x] ¸ N и значит при 8x > N + 1 имеем

e ¡ ² <

³1 + [x] + 1

< ³1 + x´

< ³1 + [x]

< e + ²;

[x]

[x]+1

Пусть ³

1 + 1

x = e:

ò.å.

lim

x!+1

тогда поскольку

теперь

x ! ¡1;

y!+1³y ¡ 1´

= y!+1³1 ¡ y

= y!+1³1 + y ¡ 1´

¡y

lim

;

Положим³

¡y

ïðè

поэтому по

ò.å.

f(y) =

1 ¡ y

! e ïðè y ! +1:

y = g(x) = ¡x;

x ! ¡1 y = g(x) ! +1;

теореме о пределе сложной функции (см. Ÿ2.3)

lim

f(g(x)) = e; íî

(

x!¡1

f(g(x)) =y³1 ¡

´¡

³1 +

¡x

тогда

б) Поскольку ylim

1 + y1

= e; то полагаем f(y) =

1 + y1 ! e ïðè

y ! 1

и введем новую переменную

ïðè

x ! 0 y ! 1

y = g(x) = x;

по теореме о пределе сложной функции lim f(g(x)) = e; íî

x!0

f(g(x)) = 1 +

x = 1 + x x :

в) Поскольку lim ln y = 1; то полагаем f(y) = ln y

1 ïðè y

e: Введем

) = ³1+

новую переменную y

e ïðè x

! 0

; тогда lim f(g(x)) = 1;

íî

(

x!0

ln(1 + x)

f(g(x)) = ln

1 + x

г) Поскольку lim

ln(1+y)

1 ïðè y

= 1; то полагаем f(y) =

0: Введем новую переменную y

= g(x) = ex ¡ 1 ! 0 ïðè x

! 0; тогда

lim f(g(x)) = 1; íî

x!0

ln(1 + ex ¡ 1)

f(g(x)) =

ex ¡ 1

ä) Ïðè 0 < x < ¼2

0 < sin x < x < tg x; ïðè ¡¼2

< x < 0 tg x <

x < sin x < 0; отсюда при 0 < jxj

< ¼2

1 <

: По теореме о двух

sin x

cos x

ограничивающих функциях (см. Ÿ3.2) lim

= 1:

sin x

x!0

Теорема доказана.

Следствие. Справедливы следующие соотношения

à) lim tg x

= 1;

x!0

á) lim arcsin x

= 1;

x!0

arctg x

= 1;

â) lim

x!0 cos x

ã) lim

2¡

¡2

sin x

Доказательство. à) lim

= 1:

¢ cos x

sin y

x!0

sin y

ïðè

Введем

б) Поскольку lim

= 1;³òî

полагаем

f(y) =

y!0

новую переменную y = g(x) = arcsin x

0 ïðè x

0; поэтому lim f(g(x)) =

1; íî

sin(arcsin x)

f(g(x)) =

arcsin x

в) Поскольку lim tg y

= 1

; то полагаем f

tg y

! 1

ïðè y

! 0

: Введем

y!0

( ) =

новую переменную y = g(x) = arctg x

0 ïðè x

0; поэтому lim f(g(x)) =

1; íî

tg(arctg x)

f(g(x)) =

arctg x

ã)

cos x

¡2 sin2 x2

sin x2

lim

x2¡

= lim

lim

x!0

¡ x!0

Следствие доказано.

3.5Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Сравнение функций. O¡символика. Эквивалентные функции.

Определение. Функция y = f(x) называется бесконечно большой (бес-

конечно малой) при x	!	a åñëè lim f(x) =	1	(lim f(x) = 0):
	!	x a	1	x a
		!		!

Бесконечно большие и бесконечно малые функции обладают свойствами, аналогичными свойствам бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. В частности справедлива следующая

Теорема (о специальном представлении). Если существует конеч-

ный предел lim f(x) = b; то в окрестности точки a справедливо представ-

x!a

ление f(x) = b + ®(x); ãäå ®(x) бесконечно малая при x ! a:

Пусть g(x) =6 0 ïðè 8x : 0 < jx ¡ aj < ± и существует предел k = lim f(x);

x!a g(x)

тогда

à) åñëè k = 0; то пишут f(x) = ±(g(x)) ïðè x ! a; åñëè ïðè ýòîì g(x) бесконечно малая при x ! a; òî f(x) называют бесконечно малой более высокого порядка малости, чем g(x);

á) åñëè k = 1; то пишут f(x) » g(x) ïðè x ! a и функции f(x) è g(x) называют эквивалентными при x ! a; отметим, что эквивалентность обладает

свойством транзитивности;

â) åñëè k - конечно, но k =6 0 è k =6 1; то пишут f(x) = °(g(x)) ïðè x ! a и функции f(x) è g(x) называют функциями одного порядка при x ! a;

ã) åñëè k = 1 è g(x) - бесконечно большая при x ! a; òî f(x) называется

бесконечно большой более высокого порядка, чем g(x):

Если функция f(x)-бесконечно малая при x ! a; ò.å. lim f(x) = lim f(1x) =

x!a x!a

0; то в соответствии с введенными обозначениями f(x) = ±(1):

Пример 1. В соответствии с замечательными пределами (см. Ÿ3.4) при x ! 0 имеет место следующий ряд эквивалентностей

x » sin x » tg x » ln(1 + x) » ex ¡ 1 » arcsin x » arctg x;

2(1 ¡ cos x) » 1: x2


Из тех же замечательных пределов получаем					x¡
x!0³	x	¡ 1´	= x!0		x¡
lim	sin x		lim	sin x		x	= 0;
lim			lim				= 0;
ò.å. ïðè x ! 0			èëè sin x = x + ±(x):
sin x ¡ x = ±(x)			èëè sin x = x + ±(x):

Аналогично рассуждая, получим другие специальные представления:

tg x = x + ±(x); ln(1 + x) = x + ±(x); arcsin x = x + ±(x); arctg x = x + ±(x);

ex = 1 + x + ±(x);

cos x = 1 ¡ x2 + ±(x2); 2

которые можно использовать при вычислении пределов. Пример 2. Вычислить предел

lim

(1 + x)® ¡ 1

= lim

e® ln(1+x) ¡ 1

x!0

= lim

e®(x+±(x)) ¡ 1

= lim

1 + ®x + ±(x) ¡ 1

= lim(® +

(1)) = ®:

x 0

Таким образом

x!0³

lim

(1 + x)®

= 0

èëè

(1 + x)® ¡ 1 ¡ ®x = ±(x)

а значит

(1 + x)® = 1 + ®x + ±(x):

Пример 3. Вычислить предел

= nlim e

³n

±³n ´´

= nlim ex+±(x) = ex:

nlim 1 + n

= nlim e

n ´

!1³

n ln

1+ x

+ x

3.6Понятие непрерывности функции в точке (на множестве). Простейшие свойства непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва и их классификация.

Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке a;

åñëè

lim f(x) = f(a) (ò.å.a 2 D(f)(!!!)):

x!a

Используя определения предела функции по Гейне и по Коши, можно сформулировать понятия непрерывности следующим образом.

Определение.(по Гейне) Функция y = f(x) называется непрерывной в точке a; если для любой числовой последовательности xn ! a; соответствующая числовая последовательность f(xn) ! f(a):

Определение.(по Коши) Функция y = f(x) называется непрерывной в точке a; åñëè 8² > 0 9±² > 0 такое, что 8x : jx ¡ aj < ±² выполняется

неравенство jf(x) ¡ f(a)j < ² èëè f(a) ¡ ² < f(x) < f(a) + ²:

Перепишем предельное равенство из определения непрерывности функции в точке следующим образом

lim (f(x) ¡ f(a)) = 0;

x¡a!0

разность x = x ¡ a называется приращением аргумента, а разность f = f(a + x) ¡ f(a) - приращением функции. В этих обозначениях предельное равенство переписывается так

lim f = 0;

x!0

а определение непрерывности функции y = f(x) в точке a можно теперь

сформулировать следующим образом (на языке приращений) Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке a; åñëè

бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Пример. Исследовать на непрерывность в точке x = 0 функцию

f(x) =	( 0;¢	cos x1	x = 0:
	x	cos x1	; x 6= 0;

Рассмотрим приращение функции в точке x = 0 f = x¢cos 1x; f ïðåä-

ставляет собой произведение двух множителей, один из которых является бесконечно малой при x ! 0; а другой - ограниченная функция j cos 1xj · 1;

ò.å. f есть бесконечно малая при x ! 0; а значит функция непрерывна в точке x = 0:

Точки, в которых функция непрерывна, называются точками непрерывности. Естественно можно определить непрерывность функции в точке x = a

слева (справа) следующим образом

f(a ¡ 0) = lim f(x) = f(a) (f(a + 0) = lim f(x) = f(a)):

x!a¡0

x!a+0

Если функция y = f(x) непрерывна в каждой точке некоторого множества,

то функция называется непрерывной на этом множестве. В частности, если функция непрерывна в каждой точке интервала (a; b); непрерывна справа в

точке a; непрерывна слева в точке b; то функцию называют непрерывной на отрезке [a; b]:

Перечислим некоторые свойства непрерывных функций.

1.Непосредственно из теорем об арифметических свойствах предела функции получаем теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного двух функций. Из теоремы о пределе сложной функции вытекает утверждение о непрерывности сложной функции.

2.(локальная ограниченность непрерывной функции) Если функция y =

f(x) непрерывна в точке a 2 D(f); то существует ±-окрестность точки a; в которой функция y = f(x) ограничена. Чтобы в этом убедиться достаточно расписать определение непрерывности по Коши, тогда числа f(a)¡² è f(a)+² будут ограничивать функцию y = f(x) снизу и сверху в ±-окрестность точки

3. (сохранение знака) Если функция y = f(x) непрерывна в точке a è f(a) > 0 (f(a) < 0); то существует ±-окрестность точки a; в которой функция f(x) > 0 (f(x) < 0): Для проверки этого свойства достаточно выбрать 0 < ² < f(a); затем расписать определение непрерывности по Коши в точке,

непрерывны, как частное двух

f(x) =

P (x) Q(x)

тогда число f(a) ¡ ² > 0 ограничивает f(x) снизу в ±-окрестность точки a и значит f(x) > 0: Åñëè f(a) < 0; то выбираем 0 < ² < ¡f(a) и расписываем определение непрерывности, тогда f(a)+² < 0 ограничивает f(x) сверху, т.е.

f(x) < 0:

4. (непрерывность абсолютной величины) Если функция y = f(x) непрерывна в точке a; то функция y = jf(x)j непрерывна в точке a: Доказательство следует из цепочки неравенств

0 < j jfjj = jjf(x)j ¡ jf(a)jj · jf(x) ¡ f(a)j = j fj:

Если теперь x ! a; ò.å. x = x ¡ a ! 0; òî j fj ! 0; а значит jfj ! 0; что и означает непрерывность в точке a функции y = jf(x)j; записанной на

языке приращений.

5. (непрерывность обратной функции) Если функция y = f(x) строго возрастает (убывает) на отрезке [a; b]; непрерывна на этом отрезке, тогда существует обратная функция x = g(y) строго возрастающая (убывающая) и непрерывная на отрезке [f(a); f(b)] ([f(b); f(a)]):

6. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. а) Многочлены P (x) = anxn +an¡1xn¡1 +: : :+a1x+a0: Функция y = f(x) =

x непрерывна в любой точке x0; ò.ê.

y = f(x0 + x) ¡ f(x0) = x0 + x ¡ x0 = x:

Если теперь x ! 0; òî y ! 0: Тогда по теореме о непрерывности произведения получаем непрерывность любой степени xk; далее по теореме о непрерывности суммы получаем непрерывность любого многочлена P (x):

б) Рациональные функции

непрерывных функций.

в) Показательная функция y = ax; a > 0; a 6= 1: Ïðè x ! 0

y= ax0+Δx ¡ ax0 = ax0(a x ¡ 1) = ax0(e x ln a ¡ 1) =

=ax0(1 + ln a ¢ x + ±(Δx) ¡ 1) = ax0(ln a + ±(1))Δx ! 0;

т.е. любая показательная функция непрерывна в любой точке x0:

г) Логарифмическая функция y = loga x - непрерывна, как функция обратная к непрерывной y = ax:

д) Степенная функция y = x® = e® ln x непрерывна, как композиция непре-

рывных функций.

е) Все тригонометрические функции непрерывны. Действительно, для функции y = sin x имеем неравенство

x ³ x´ x

j yj = j sin(x0 + x) ¡ sin x0j = j2 sin 2 cos x0 + 2 j · 2 ¢ 2 ¢ 1 = x:

Отсюда при x ! 0; y ! 0; ò.å. y = sin x непрерывная функция. Точно также проверяется непрерывность функции y = cos x: Соответственно функции y = tg x è y = ctg x непрерывны как частное непрерывных функций.

ж) Все обратные тригонометрические функции непрерывны как обратные к непрерывным функциям.

Пример (уравнение Кеплера). Существует единственная непрерывная функция x = x(y); y 2 R удовлетворяющая уравнению Кеплера

x ¡ ² sin x = y; 0 < ² < 1:

В Ÿ2.6 было показано, что 8y существует единственное x удовлетворяющее уравнению Кеплера. Этим было доказано существование функции x = x(y): Докажем ее непрерывность. Рассмотрим функцию

y = x ¡ ² sin x : R ! R:

Эта функция непрерывна. Покажем ее монотонное возрастание, пусть x1 > x2; тогда

y1 ¡ y2 = (x1 ¡ x2) ¡ ²(sin x1 ¡ sin x2) =

= (x

)

2² sin

x1 ¡ x2

cos

x1 + x2

Òàê êàê

2² sin

x1 ¡ x2

cos

+ x2

j ·

jx1 ¡ x2j

= ²

);

òî

x1 ¡ x2

x1 + x2

)

2² sin

cos

1 ¡

)

² ¢ (x1 ¡ x2) ¸ ¡2² sin x1 ¡ x2 cos x1 + x2 ¸ ¡² ¢ (x1 ¡ x2) 2 2

поэтому

y1 ¡ y2 = (x1 ¡ x2) ¡ ² ¢ (x1 ¡ x2) = (1 ¡ ²)(x1 ¡ x2) > 0

èëè y1 > y2: Отсюда по теореме о непрерывности обратной функции x = x(y)

непрерывна.

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называ-

ются точками разрыва функции, т.е. lim f(x) = f(a):
			x	!	a	6
				!
Пусть x = a точка разрыва функции y = f(x); рассмотрим величины
f	(	a	lim f(x);	f(a + 0) =			lim f(x):
	(		¡ 0) = x a 0			x	!	a+0
			! ¡				!

Åñëè f(a ¡ 0) = f(a + 0) - конечно, то x = a называется устранимой

точкой разрыва.

Åñëè f(a ¡ 0) =6 f(a + 0) и эти величины конечны, то x = a называется

точкой разрыва первого рода, величину f(a + 0) ¡f(a ¡0) называют скачком функции y = f(x) в точке x = a:

Если хотя бы одна из величин f(a¡0) èëè f(a+0) не существует, то x = a

называется точкой разрыва второго рода.

Пример 1. Функция Дирихле D(x) в каждой точке своей области определения имеет разрыв второго рода (см. Ÿ3.1). Функция y = x¢D(x) непрерывна в точке x = 0 и имеет разрывы второго рода во всех остальных точках обла-

сти определения.

Пример 2. Функция (

jxj; x ¡ любое нецелое число;

f(x) =

0; x 2 Z

в точках x 2 Z nf0g имеет устранимые разрывы и непрерывна во всех остальных точках своей области определения.

	1
Пример 3. Функции y = ex ; y = x1 ; y = sin x1				имеют в точке x = 0 разрыв
второго рода. Функции y =	1	;	y = sin x; y = signx имеют в точке x = 0
второго рода. Функции y =	1	;	y = sin x; y = signx имеют в точке x = 0
	1+ex		jxj

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025159.74 Кб6lektsia_6 (1).doc
#
10.02.2015114.69 Кб25Lektsia_pro_tsenosti_2012.doc
#
17.07.201937.55 Кб17Lektsia__10_Soedinenia_kostey_tulovisha_i_konec....docx
#
18.09.2019269.82 Кб19lektsii.doc
#
01.04.202543.58 Кб4Lektsii_FM.docx
#
10.02.2015977.34 Кб35Lektsii_Matanaliz.pdf
#
10.02.2015129.54 Кб103LEKTsII_POPATOLOGII (1).doc
#
12.03.20151.14 Mб426Lektsii_po_Avtomatizatsia_KhU.docx
#
01.05.202556.69 Кб1Lektsii_po_pedagogike (1).docx
#
01.05.202549.42 Кб0Lektsii_po_pedagogike.docx
#
10.02.2015551.42 Кб37Lektsii_po_Pr_Pr.doc