Lektsii_Matanaliz
.pdfОпределение. Отображение f : X ! Y называется биекцией (взаимнооднозначным соответствием), если прообраз любого элемента y 2 Y состоит
только из одного элемента.
Для всякой биекции всегда существует обратное отображение g : Y ! X обозначаемое g = f¡1; причем (f¡1)¡1 = f è (g¡1)¡1 = g:
Пример 2. Отображение y : R ! [0; +1) действующее по правилу y(x) = x2 не является биекцией, но действующее по тому же правилу отображение g : [0; +1) ! [0; +1) является биекцией. Отображение из предыдущего примера 1 f : R ! R; действующее по правилу f(t) = t3 ¡ t; также не
является биекцией.
Если отображение g : X ! Y; а отображение f : Y ! Z; то отображение h(x) = (f ± g)(x) = f(g(x)) : X ! Z называется композицией отображений
f è g:
Теорема. Композиция двух биекций является биекцией.
1.7 Мощность множества. Счетные множества. Несчетность R: Плотность (Rn
Q) è R:
Определение. Два множества X è Y называют равномощными (экви-
валентными, имеющими одинаковую мощность) если между ними можно установить биекцию (взаимнооднозначное соответствие), т.е.
а) любому элементу x 2 X соответствует единственный элемент y 2 Y ; б) любому элементу y 2 Y соответствует некоторый элемент x 2 X;
в) разным элементам множества X соответствуют разные элементы Y:
Пишут X » Y èëè cardX = cardY:
Определение. Множество X; эквивалентное множеству натуральных чи- сел N; называется счетным.
Если обозначить через xn элемент счетного множества X; соответствующий числу n 2 N; то образуется последовательность, поэтому говорят, что
элементы счетного множества можно занумеровать числами натурального ряда. Приведем несколько теорем о счетных множествах.
11
Теорема 1. Множество целых чисел счетно.
Доказательство. Зададим биекцию f : N ! Z по правилу f(1) = 0; f(2n) = n; f(2n + 1) = ¡n: Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Любое бесконечно подмножество счетного множества счетно.
Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. В начале докажем, что любое бесконечное подмножества множества натуральных чисел
счетно. Пусть N ½ N - бесконечное подмножество в N: По принципу минимального элемента существует n1 = min N: Рассмотрим множество N n fn1g в нем существует n2 = min(N nfn1g) причем n1 < n2 и т.д. в результате мно- жество N можно записать так N = fn1; n2; : : :g; ãäå ni < nk åñëè i < k (т.е. упорядочить множество N по возрастанию) и после этого задать биекцию f : N ! N по правилу f(i) = ni:
Пусть A любое счетное множество (или cardA = cardN) è B ½ A - некоторое его бесконечное подмножество, тогда в силу счетности A существу-
ет биекция f : N ! A; ò.å. f(n) = an è A = fa1; a2; : : : ; ak; : : :g: Множе-
ñòâî B состоит из элементов ank ; здесь nk индексы его элементов. Индексы nk образуют бесконечное подмножество N = fnkg ½ N множетсва нату-
ральных чисел, поэтому в силу уже доказанного выше существует биекция g : N ! N; действующая по правилу g(k) = nk: Отсюда следует, что ком-
позиция h = f ± g : N ! A; действующая по правилу h(k) = f(g(k)) = ank
является биекцией, как композиция биекций. Теорема 2 доказана. Теорема 3. Объединение конечного (или счетного) числа счетных мно-
жеств счетно.
Доказательство. Пусть множества A1; A2; A3; : : : счетные, представим их объединение в виде матрицы
A1 ´ fa11; a12; a13; : : :g;
A2 ´ fa21; a22; a23; : : :g;
A3 ´ fa31; a32; a33; : : :g;
12
:: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
èбудем проводить нумерацию членов такого объединения по диагоналям этой матрицы, а именно, 1 ! a11; 2 ! a21; 3 ! a12; 4 ! a31; 5 ! a22; 6 !
a13; : : : ; что и означает счетность объединения. Теорема 3 доказана. Теорема 4 (первая теорема Кантора). Множество Q счетно.
Доказательство. Множество Q можно представить как объединение счет-
ного числа множеств Q = |
|
n1=1 An; ãäå A1 ´ Z; A2 ´ fp2 j p 2 Zg; An ´ fnp j |
||||||||
p 2 |
Z |
g |
; òàê êàê cardA |
n = |
cardZ |
= |
cardN при любом n |
2 |
N; то по предыду- |
|
|
|
S |
|
|
|
|||||
щей теореме 3 множество Q счетно. Теорема 4 доказана. |
Теорема 5 (вторая теорема Кантора). Множество R несчетно.
Доказательство. (от противного) Пусть множество R счетно, т.е. R ´
fx1; x2; : : : ; xn; : : :g: Рассмотрим отрезок |
|
1 |
= |
[x1 + 1; x1 + 2]; очевидно |
|||||||
x1 2= 1: Построим отрезок 2 |
½ 1 такой чтобы fx1; x2 g 2= |
|
2: Построим |
||||||||
отрезок 3 ½ 2 такой чтобы fx1; x2; x3g 2= |
3 и т.д. В результате получаем |
||||||||||
систему вложенных отрезков f |
ig причем fx1 |
; x2; : : : xig 2= |
|
i: По принци- |
|||||||
пу вложенных отрезков существует |
x 2 |
|
1 |
i |
è |
x 6= xi; i = 1; 2; 3; : : : ; |
|||||
|
|
|
i=1 |
|
|||||||
ò.å. x = R: Полученное противоречие |
означает несчетность |
R: |
Теорема 5 |
||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
доказана.
Следствие. Множество иррациональных чисел R n Q несчетно.
Доказательство. (от противного) Пусть R n Q счетно, тогда R = (R n Q) [ Q счетно, но это противоречит теореме 5 о несчетности R: Следствие
доказано.
Теорема 6. Множество R и любой интервал (a; b) равномощны, т.е. интервал (a; b) несчетное множество.
Доказательство. Интервалы (a; b) è (¡1; 1) равномощны и соответствующее биективное отображение может быть, например, линейным
x = 2t ¡ a ¡ b : (a; b) ¡! (¡1; 1): b ¡ a
Отображение |
x |
|
||
f(x) = |
: (¡1; 1) ¡! R |
|||
|
|
|||
1 ¡ jxj |
13
биективно отображает интервал (¡1; 1) íà R; далее по теореме о композиции
биекций получаем требуемое утверждение. Теорема 6 доказана. Следствие (плотность R n Q â R). Любой интервал (a; b) содержит
иррациональные числа.
Доказательство. (от противного) Пусть некоторый интервал (a; b) содержит только рациональные числа, т.е. (a; b) ½ Q; тогда по теореме 2 и первой теореме Кантора множество (a; b) счетно, но это противоречит теореме 6 о несчетности (a; b): Следствие доказано.
2 Предел числовой последовательности.
2.1Понятие предела последовательности. Единственность предела. Линейные свойства предела последовательности.
Определение. Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последователь-
ностью или просто последовательностью, т.е. an = f(n); f : N ! R:
Определение. (по Коши) Число a называется пределом числовой последовательности fang; åñëè 8² > 0 9N² 2 N такой, что 8n > N² выполняется неравенство jan ¡ aj < ² èëè a ¡ ² < an < a + ²:
Записывается это так a = lim an: Последовательность an; у которой суще-
n!1
ствует конечный предел a; называется сходящейся, иначе расходящейся.
Очевидно, постоянная последовательность an = a имеет предел и lim an =
n!1
a:
Пример 1. Доказать равенство lim nqn = 0; åñëè jqj < 1:
n!1
Òàê êàê jqj < 1; то существует k > 1 такое, что jqj = k1 ; тогда с помощью
формулы бинома Ньютона получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
|
|
|
|
n |
2 |
|
2 èëè 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||
k |
|
= ((k ¡ 1) + 1) |
|
¸ Cn(k ¡ 1) |
|
|
|
· |
|
|
: |
|
||||||
|
|
|
kn |
Cn2(k ¡ 1)2 |
|
|||||||||||||
Отсюда следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
jan ¡ aj = njqjn = |
n |
= |
|
|
n |
· |
|
n |
|
= |
2 |
|
< ² |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
kn |
((k ¡ 1) + 1)n |
Cn2(k ¡ 1)2 |
(n ¡ 1)(k ¡ 1)2 |
14
ïðè 8n > N² = [²(k¡2 1)2 + 1] + 1; что в соответствии с определением предела последовательности и означает доказываемое равенство.
Пример 2. Доказать равенство lim n = 0
n!1 2n
В соответствии с определением предела числовой последовательности оце-
ним разность |
n |
n>4 2 |
n |
|
1 |
|
|||
jan ¡ aj = |
2 |
= |
< ² |
||||||
2n |
< |
|
2n |
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
при любом n > N² = [2log2 1] + 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
² |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Доказать равенство lim |
2n |
= 0 |
|
|
|
||||
|
n!1 |
n! |
|
|
|
|
|
В соответствии с определением предела числовой последовательности оце-
ним разность |
|
2n n>2 |
|
2n |
|
|
2 |
n |
2 |
||
|
|
|
|
|
|||||||
jan ¡ aj = |
|
|
< |
|
|
= 2³ |
|
|
´ ¡ |
< ² |
|
|
n²! |
2 ¢ 3n¡2 |
3 |
||||||||
при любом n > N² = [2 + log |
32 2] + 1: |
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 4. Доказать равенство |
lim nnk |
= 0 a > 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
n!1 a |
|
|
|
|
|
|
В соответствии с определением предела числовой последовательности оце-
ним разность |
|
|
|
|
|
|
nk |
|
|
|
|
n |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
an |
|
|
a = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
; ãäå a1 = ak |
> 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
³a1n ´ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
j |
¡ |
jn |
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n ¡ 1) |
|
|
|
||||||||||||
an = ((a |
1 ¡ |
1) + 1)n |
= |
Ci |
(a |
|
¡ |
1)i |
|
¸ |
C2 |
(a |
1 ¡ |
1)2 |
= |
(a |
¡ |
1)2 |
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
=0 |
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
1 |
|
||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jan ¡ aj · ³ |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
´ |
k |
= ³ |
2 |
´ |
k |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
< ² |
|
|
||||||||||||||||||||||||
n(n ¡ 1)(a1 ¡ 1)2 |
|
|
(n ¡ 1)(a1 ¡ 1)2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
при любом n > N² = [ |
|
|
2 |
|
|
+ 1] + 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
(ak ¡1)2²k |
|
|
|
lim |
a |
n |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 5. Доказать равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с определением предела числовой последовательности оценим разность
|
a |
|
a |
|
= |
jajn |
= |
|
|
jajn |
|
|
|
|
|
|
|
j |
n ¡ |
j |
n! |
1 ¢ 2 ¢ : : : ¢ [jaj] ¢ ([jaj] + 1) ¢ : : : ¢ n · |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
· [jaj]! ¢ ([jajj]j+ 1)n¡[jaj] |
= |
([j j[]jaj]! j j |
¢ |
³[jajj] +j |
1´ |
< ² |
|||||||||||
|
|
|
|
|
a n |
|
|
|
a + 1)[ a ] |
|
|
a |
|
|
n |
15
³´
при любом |
n > N² = [log |
|
a |
² ¢ |
|
[jaj]! |
|
|
|
] + 1: |
|
||||||||
|
[ aj ]+1j |
([ a ]+1)[jaj] |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
j j |
|
j j |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
Пример 6. Доказать равенство |
lim |
|
|
= 0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
pn! |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
n |
|
|
|
|
|
|||
Òàê êàê 8² > 0 |
nlim |
(1=²)n |
|
|
|
|
|
|
такой, что 8n > N² выполняется |
||||||||||
|
|
n! |
= 0; òî 9N² |
||||||||||||||||
неравенство |
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
) |
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||
|
|
|
|
² |
|
|
< 1 , |
|
< ² |
, |
pn |
|
< ² |
||||||
|
|
|
|
n! |
n! |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
Теорема (о единственности предела). Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство. (от противного) Пусть существует два предела lim an =
n!1
a è lim a |
|
= b; причем a = b è a < b; тогда для ² = b¡a > 0 |
N |
1 2 |
N такой, |
|
n!1 |
n |
6 |
3 |
9 |
|
|
÷òî 8n > N1 выполняется неравенство jan ¡ aj < ² è 9N2 |
2 N такой, что |
8n > N2 выполняется неравенство jan ¡bj < ²: Обозначим N = maxfN1; N2g; тогда члены последовательности с номерами n > N должны оказаться в непересекающихся интервалах (a¡²; a+²) è (b¡²; b+²): Полученное противоречие означает, что a = b: Теорема доказана.
Замечание. Отбрасывание или добавление конечного числа членов последовательности не меняет ее сходимости или расходимости.
Теорема (линейные свойства предела). Если существуют пределы
lim an = a è |
lim bn = b; то существуют пределы последовательностей |
|
n!1 |
n!1 |
nlim (an § bn) = a § b: |
fcang; 8c 2 R è fan § bng; причем nlim can = ca; |
||
|
!1 |
!1 |
Доказательство. В силу свойств модуля справедливо равенство |
||
|
jcan ¡ caj = jcjjan ¡ aj: |
|
Поскольку nlim!1 an = a; òî 8² > 0 9N1 2 N такой, что 8n > N1 выполняется |
|||
неравенство |
² |
|
|
jan ¡ aj < |
; c 6= 0; |
||
|
|||
jcj |
тогда для всех членов последовательности fcang с номерами n > N1 справед-
ливо неравенство
jan ¡ aj < ²;
16
которое, в силу определения предела последовательности, означает равенство
lim can = ca:
n!1
По свойствам модуля справедливо неравенство
j(an + bn) ¡ (a + b)j · jan ¡ aj + jbn ¡ bj:
Поскольку nlim!1 an = a è nlim!1 bn = b; òî 8² > 0 9N1 2 N такой, что 8n > N1 |
||||
выполняется неравенство |
² |
|
||
jan ¡ aj < |
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
è 9N2 2 N такой, что 8n > N2 выполняется неравенство |
||||
jbn ¡ bj < |
² |
; |
||
2 |
тогда 8n > maxfN1; N2g справедливо неравенство
j(an + bn) ¡ (a + b)j < ²;
которое и означает, что lim (an + bn) = a + b:
n!1
Теорема доказана.
2.2 Свойства предела, связанные с неравенствами.
Теорема 1 (о сохранении знака неравенства). Если существует
предел lim an = a è a > p (a < q); òî 9N такой, что 8n > N выполняется
n!1
неравенство an > p (an < q):
Доказательство. Пусть a > p; тогда для ² = a ¡ p > 0 9N такой, что 8n > N выполняется неравенство jan ¡ aj < ² èëè
a ¡ ² < an < a + ² , p < an < 2a ¡ p ) p < an:
Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (монотонность предела). Если существуют пределы lim an =
n!1
a; lim bn = b è an · bn ïðè 8n > N0; тогда a · b:
n!1
Доказательство. Поскольку lim an = a è lim bn = b; òî 8² > 0 9N1 2 N
n!1 n!1
такой, что 8n > N1 выполняется неравенство
jan ¡ aj < ² , a ¡ ² < an < a + ²
17
è 9N2 2 N такой, что 8n > N2 выполняется неравенство
jbn ¡ bj < ² , b ¡ ² < bn < b + ²:
Пусть N = maxfN0; N1; N2g; тогда 8n > N
a ¡ ² < an · bn < b + ² ) a ¡ ² < b + ²
отсюда силу произвольности ² получаем требуемое неравенство a · b: Действительно, если a > b; то выбрав ²1 = a¡3 b > 0 получим неравенство b + ²1 < a ¡ ²1; противоречащее полученному выше. Теорема 2 доказана.
Полагая в этой теореме an = M; получим
Следствие. Если существует предел lim bn = b è bn ¸ M ïðè 8n > N0;
n!1
тогда b ¸ M:
Теорема 3 (о двух ограничивающих последовательностях). Åñëè
существуют два предела lim an = lim cn = a è 8n > N0 выполняется
n!1 n!1
неравенство an · bn · cn; тогда существует предел lim bn = a:
n!1
Доказательство. Поскольку lim an = lim cn = a; òî 8² > 0 9N1 2 N
n!1 n!1
такой, что 8n > N1 выполняется неравенство
jan ¡ aj < ² , a ¡ ² < an < a + ²
è 9N2 2 N такой, что 8n > N2 выполняется неравенство
jcn ¡ aj < ² , a ¡ ² < cn < a + ²:
Пусть N = maxfN0; N1; N2g; тогда 8n > N
a ¡ ² < an · bn · cn < a + ² ) a ¡ ² < bn < a + ²:
Теорема 3 доказана. |
pn |
|
|
|
|
Пример 1. Доказать равенство lim |
|
= 1; (a > 0): |
|||
a |
|||||
n!1 |
|
|
|
|
|
Рассмотрим два случая. Первый случай a ¸ 1; тогда pn |
|
¸ 1 и рассмотрим |
|||
a |
p
представление n a = 1 + ¯n; ãäå ¯n ¸ 0: Отсюда с помощью формулы бинома Ньютона получаем оценку
a = (1 + ¯ |
)n |
¸ |
C2 |
¯2 |
= |
n(n ¡ 1) |
¯2 |
ïðè n |
¸ |
2 |
n |
|
n |
n |
2 |
n |
|
|
18
èëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯n · s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 1 + ¯n · 1 + s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 · pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
ïðè n ¸ 2: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n(n |
1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim an = lim cn = 1; то в силу теоремы о двух |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В обозначениях теоремы 3 an = 1; |
|
bn = pn |
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a; cn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n¡1) и поскольку |
||||||
n!1 |
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограничивающих последова- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
тельностях получаем |
lim bn |
= lim |
|
|
= 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
здесь k 2 R+ è k > 1: Далее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Второй случай 0 < a < 1; тогда a = k1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рассуждая аналогично, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pn |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
a = |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
pk |
|
|
|
|
1 + ¯n ¸ 1 + qn(n¡1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В обозначениях cn = 1; |
bn = pn |
|
|
|
an = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; ò.ê. lim an = lim cn = 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+q |
|
|
|
2k |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
n!1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n¡1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем lim p |
|
= 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 2. Доказать равенство |
n |
= 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дублированием рассуждений из предыдущего примера получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 · pn |
|
|
= 1 + ¯n · 1 + sn(n2n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= 1 + |
|
|
|
|
n |
2 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
lim pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ò.å. |
|
= 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
loga n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 3. Доказать равенство |
lim |
|
|
|
= 0; (a > 1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Из соотношений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= loga pn n · loga³1 + r |
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 · |
|
|
|
na |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n ¡ 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
log |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
loga n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
получаем доказываемое равенство |
lim |
= 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 4. Доказать равенство |
lim |
|
|
n! |
|
= 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Из неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ¡ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
¢ n ¢ ¢ ¢ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем требуемое.
19
2.3Необходимое условие сходимости последовательности. Теоремы о пределе произведения и частного сходящихся последовательностей
Определение. Последовательность fang называется ограниченной сверху (снизу) если существует такое число p (èëè q), ÷òî 8n 2 N an ¸ p (èëè an ·
q):
Последовательность, ограниченная сверху и снизу, называется ограниченной.
Теорема (необходимый признак сходимости числовой последовательности). Если последовательность fang сходится, то она ограничена.
Доказательство. Пусть lim an = a; тогда для ² = 1 > 0 9N1 2 N такой,
n!1
÷òî 8n > N1 выполняется неравенство jan ¡ aj < 1 èëè a ¡ 1 < an < a + 1: Обозначим
p = minfa1; a2; : : : ; aN1; a ¡ 1g; q = maxfa1; a2; : : : ; aN1; a + 1g;
тогда 8n 2 N; p · an · q: Теорема доказана.
Пример. Последовательность an = (¡1)n является ограниченной и расхо-
дящейся.
Теорема (о пределе произведения). Если последовательности fang
è fbng сходятся, т.е. lim an = a è lim bn = b; то последовательность
n!1 n!1
fan ¢ bng сходится и lim an ¢ bn = a ¢ b:
n!1
Доказательство. В силу свойств модуля справедливо неравенство
jan ¢ bn ¡ a ¢ bj = j(an ¢ bn ¡ a ¢ bn) + (a ¢ bn ¡ a ¢ b)j · jbnj ¢ jan ¡ aj + jaj ¢ jbn ¡ bj:
Поскольку последовательность fbng сходится, то в силу необходимого признака сходимости, она ограничена, т.е. существует константа L > 0 такая,
÷òî 8n 2 N; jbnj · L:
Òàê êàê lim an = a è lim bn = b; òî 8² > 0 9N1 2 N такой, что 8n > N1
n!1 n!1
выполняется неравенство |
² |
|
jan ¡ aj < |
||
|
||
2L |
20