Lektsii_Matanaliz
.pdfè 9N2 2 N такой, что 8n > N2 выполняется неравенство
²
jbn ¡ bj < 2jaj (ïðè a 6= 0);
тогда 8n > maxfN1; N2g справедливо неравенство
jan ¢ bn ¡ a ¢ bj < ²;
которое и означает, что lim (an ¢ bn) = a ¢ b:
n!1
Åñëè a = 0; òî
0 · jan ¢ bn ¡ a ¢ bj = jan ¢ bnj = janj ¢ jbnj < L ¢ janj;
далее по правилу двух ограничивающих последовательностей получаем lim (an¢
n!1
bn) = 0: Теорема доказана.
Теорема (об ограниченности обратной последовательности). Åñëè
существует предел последовательности lim bn = b è bn 6= 0 8n 2 N b 6= 0;
n!1
то последовательность fb1 g ограничена.
n
Доказательство. Òàê êàê b 6= 0 пусть для определенности b > 0; тогда b > 2b > 0 и по теореме о сохранении знака неравенства (см. Ÿ2.2) 9N1 2 N
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
1 |
|
|
такой, что 8n > N1 |
выполняется неравенство bn > |
2 |
> 0; отсюда 0 < |
|
< |
||||||||||
bn |
|||||||||||||||
2b 8n > N1: Обозначим |
; : : : ; |
bN1 |
; 0o; |
q = maxnb1 |
; |
b12 |
; : : : ; bN1 |
; |
bo; |
|
|||||
p = minnb1 |
; |
b2 |
|
||||||||||||
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тогда 8n 2 N; p · |
|
|
· q: Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема (о пределе частного). Если последовательности fang è fbng
сходятся, т.е. lim an = a è lim bn = b; причем bn 6= 0 è b 6= 0; то последо-
n!1 n!1
an |
an |
a |
|
вательность fbn g сходится и nlim!1 bn |
= b |
: |
Доказательство. В силу свойств модуля справедливо неравенство |
||||||||||||||||||||
|
¯bn |
¡ b |
¯ |
= ¯ |
an |
¢ b ¡¢ bn ¢ |
bn |
¯ |
= j |
an |
j¢bj ¡¢ jbnj¢ |
bn |
j = |
|
||||||
¯ |
an |
a |
¯ |
¯ |
b a |
¯ |
|
|
|
b a |
|
|
|
|||||||
= |
j(an ¢ b¯ |
|
a ¢ |
|
)¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
||||||
¡ |
b |
+ (¯a ¢ b ¡ a ¢ bnj |
|
|
jbj ¢ jan ¡ aj + jaj ¢ jbn ¡ bj |
: |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
jbj ¢ jbnj |
|
|
· |
|
|
|
jbj ¢ jbnj |
|
21
Поскольку bn 6= 0; b =6 0; то в силу теоремы об ограниченности обратной последовательности существует положительная константа M > 0 такая, что
8n 2 N; |
|
1 |
= j |
1 |
j · M: Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
jbnj |
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
¯ |
an |
|
|
a |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||
Òàê êàê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
такой, что |
|
|
||||
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
¯bn |
¡ b ¯ · M ¢ jan |
¡ aj + M ¢ jjbjj |
¢ jbn ¡ bj: |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
lim an =¯ |
a |
|
lim¯ |
bn = b; |
|
|
|
8 |
² > 0 |
9 |
N1 |
2 |
N |
|
8 |
n > N1 |
||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
выполняется неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
² |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jan ¡ aj < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
è 9N2 2 N такой, что 8n > N2 выполняется неравенство |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
n ¡ |
b |
< |
|
|
|
jbj |
|
¢ |
² (ïðè a = 0); |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Mjaj |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||
тогда 8n > maxfN1; N2g справедливо неравенство |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯bn |
|
¡ b |
¯ |
< ²: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом |
lim |
an |
|
|
|
a |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
bn |
= b : |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Åñëè a = 0; òî |
|
|
|
|
|
|
0 · |
|
¯bn |
¯ · M ¢ janj |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
an |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
далее по правилу двух ограничивающих последовательностей получаем требуемое предельное равенство. Теорема доказана.
2.4Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной и ограниченной последовательности. Число e: Теорема Штольца.
Определение. Последовательность fang называется неубывающей (невозрастающей), если 8n 2 N an+1 ¸ an (an+1 · an): Если выполняются строгие
неравенства, то последовательность называется строго возрастающей (строго убывающей). Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными, а строго возрастающие и строго убывающие строго монотонными.
Теорема (Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности). Пусть последовательность fang обладает свойствами:
22
à) fang ограничена сверху (снизу);
á) 9N такой, что 8n > N an+1 ¸ an (an+1 · an),
тогда существует предел lim an = a è a = sup AN (a = inf AN ); ãäå AN ´
n!1
faN ; aN+1; : : :g:
Доказательство. В силу ограниченности сверху последовательности fang существует вещественное число b такое, что an · b; 8n 2 N; тогда множество
AN ограничено сверху. По теореме о верхних гранях (см. Ÿ1.5) существует
a = sup AN ; причем an · a; 8n 2 N:
Пусть ² > 0 - произвольно, тогда по определению верхней грани числового множества (см. Ÿ1.5 ) существует номер N² ¸ N такой, что a ¡ ² < aN² · a; поэтому 8n ¸ N² справедливо неравенство
a ¡ ² < aN² · an · a < a + ²:
Полученные оценки и означают, что |
lim an = a: Теорема доказана. |
|
n!1³1 + n |
´ |
|
|
|
n n |
|
1 |
!1 |
Пример 1 (число e). lim |
|
= e; здесь e = 2; 718281828459045 : : : |
иррациональное число, введенное Леонардом Эйлера, называемое иногда чис-
лом Непера (неперово число). |
³1+ n1 |
´n: Покажем, что an |
Рассмотрим числовую последовательность an = |
монотонно возрастающая последовательность. Рассмотрим отношение двух последовательных членов этой последовательности
an |
= |
³1 + n´³ |
1 + n1 |
´ |
= |
³1 + n´³1 ¡ |
1 + n1 |
´ |
= |
|||||||
an+1 |
|
1 |
|
1 + |
1 |
|
n+1 |
1 |
|
|
|
n1 |
¡ |
1 |
|
n+1 |
|
|
n+1 |
|
n+1 |
|
|||||||||||
|
|
= |
³1 + n´³1 ¡ |
(n + 1)2 ´ |
: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
n+1 |
|
|
|
|
Воспользуемся неравенством Бернулли ( см. Ÿ1.3) |
´ = 1; |
|
|
|||||||
|
|
|
an |
¸ ³1 + n |
´³1 ¡ (n + 1)(n + 1)2 |
|
|
|||
|
|
|
an+1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
ò.å. an+1 ¸ an > 0 è fang монотонно возрастает. |
|
|
|
|
||||||
n |
Аналогично можно убедиться, что числовая последовательность |
|||||||||
´ |
монотонно возрастает, т.е. 0 < b2 · bn ïðè n ¸ 2 |
bn |
· b2 : |
|||||||
1 |
|
n |
|
|
|
èëè 1 |
|
1 |
|
³
bn = 1 ¡
23
Теперь покажем ограниченность fang
an = 1 + 1 n = |
³1 ¡ n12 ´ |
1 |
: |
|||||||
³ |
|
|
´ |
|
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
||
n |
bn |
|
b2 |
|
Отсюда в силу теоремы Вейерштрасса получаем сходимость исследуемой последовательности fang: Воспользовавшись неравенством Бернулли (см. Ÿ1.3),
получим
откуда следует
1 |
n |
|
n |
1 |
|
||
1 ¸ bn ¢ an = ³1 ¡ |
|
´ |
¸ 1 ¡ |
|
= 1 ¡ |
|
; |
n2 |
n2 |
n |
lim bn ¢ an = 1:
n!1
По теореме о пределе частного
lim bn = lim bn ¢ an = 1;
n!1 n!1 an e
поэтому |
n!1³1 ¡ n |
´ |
n |
= e |
|
||
|
|
||||||
|
lim |
1 |
|
1 |
: |
||
|
|
|
|
|
|
В действительности имеет место предельное равенство более общего вида
lim ³1 + ®´n = e®; 8® 2 R:
n!1 n
Пример 2 (число e). Пусть
|
1 |
|
1 |
1 |
|
||
cn = 1 + |
|
+ |
|
|
+ ¢ ¢ ¢ + |
|
; |
1! |
2! |
n! |
тогда lim cn = e: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Действительно fcng - монотонно возрастает и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
= 3 ¡ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
cn < 1 + 1 + |
|
+ |
|
|
|
+ : : : + |
|
|
|
|
< 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
22 |
2n¡1 |
2n¡1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ограничена сверху. Следовательно по теореме Вейерштрасса существует |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim cn = c: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Далее по формуле бинома Ньютона (см. Ÿ1.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
an = ³1 + |
|
|
´ |
|
= 1 + Cn1 ¢ |
|
|
|
+ Cn2 ¢ |
|
+ Cn3 ¢ |
|
|
|
|
+ : : : + Cnn ¢ |
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||
n |
|
n |
n2 |
n3 |
nn |
´ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1! 2! |
³ |
¡n´ |
|
3! |
³ |
¡n´³ |
¡n |
´ |
|
|
n! |
³ |
¡n |
´³ |
¡n´¢ ¢ ¢ |
³ |
¡ |
n |
||||||||||||||||||||||||
= 1+ |
1 |
+ |
1 |
1 |
1 |
|
+ |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
+: : :+ |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
n ¡ 1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
очевидно an · cn; поэтому по теореме о монотонности предела (см. Ÿ2.2)
e · c:
С другой стороны для любого фиксированного k 2 N ïðè n ¸ k имеем
неравенство |
|
³ |
¡n´ |
3! |
³ |
¡n |
´³ |
¡n´ |
|
k! |
³ |
¡n |
´³ |
¡n´ |
¢ ¢ ¢ |
³ |
¡ |
n |
´ |
||||||||
|
n ¸ |
1! 2! |
|
||||||||||||||||||||||||
a |
|
1+ |
1 |
+ |
1 |
1 |
1 |
|
+ |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|
+: : :+ |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
k ¡ 1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя в этом неравенстве к пределу при n ! 1; получим e ¸ ck: Отсюда, после повторного предельного перехода при k ! 1 имеем e ¸ c: Поэтому
c = e:
Пример 3 (итерационная формула Герона). Рассмотрим последова-
тельность xn+1 = |
1 |
xn + |
a |
|
; ãäå a > 0; x1 > 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Покажем, что |
|
|
|
³ |
|
убывающая, ограниченная снизу последовательность. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fxng |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a ¡ 2xnp |
|
|
(xn ¡ p |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
p |
|
|
= |
xn2 |
|
= |
|
)2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
|
|
a |
|
|
x |
|
+ |
|
|
|
|
a |
> 0; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
³ |
|
xn |
´ ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n+1 |
¡ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2xn |
|
2xn |
|
|
|
|||||||||||||||
ò.å. xn+1 > p |
|
и ограниченность снизу доказана, причем xn2 |
+1 > a: Заметим, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
÷òî åñëè xn+1 = p |
a; то последовательность fxng стационарна и nlim xn = p |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим еще одну разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
= x |
|
|
1 |
|
x |
|
+ |
|
a |
= |
|
2xn2 ¡ xn2 ¡ a |
= |
xn2 ¡ a |
> 0; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
n ¡ |
|
|
|
|
n ¡ 2 |
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
³ |
n |
|
|
´ |
|
|
2xn |
2xn |
|
|
|
отсюда следует xn > xn+1 - ò.å. fxng строго убывающая последовательность
и по теореме Вейерштрасса является сходящейся. Обозначим ее предел через x0 и перейдем к пределу при n ! 1 в исходном рекуррентном соотношении,
тогда
Èòàê,
lim xn = pa:
n!1
x0 = |
1 |
³x0 |
+ |
|
a |
´ |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
x0 |
||||||||
2x0 |
|
= x0 + |
|
a |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
x0 |
|
||||||||
x0 |
¡ |
a |
= 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
x0 |
|
|
x20 = a ) x0 = pa:
25
При вычислении квадратного корня из положительного числа по итерационной формуле Герона число верных десятичных знаков быстро растет, при- чем, если в процессе вычисления на каком-то этапе будет допущена ошибка, то в дальнейшем этот сбой автоматически корректируется, т.е. мы рассмотрели пример саморегулирующегося итерационного процесса.
Теорема (Штольца). Пусть для числовых последовательностей fang è fbng выполнены условия:
à) bn+1 > bn > 0; ò.å. fbng монотонно возрастает;
á) nlim!1 bn = +1; |
|
|
an+1¡an = l; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в) существует предел |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
bn+1¡bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
отношения |
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
тогда существует предел!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn и справедливо равенство |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
an |
= l: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство. Поскольку |
|
an+1¡an |
òî |
|
8² > 0 9N² 2 N |
такой, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nlim!1 bn+1¡bn = l; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
÷òî 8n > N² справедливо неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
² |
< |
an+1 ¡ an |
< l + |
|
² |
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
¡ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
bn+1 ¡ bn |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в силу условия а) теоремы bn+1 ¡ bn > 0; поэтому 8n > N² |
|
|
||||||||||||||||||||||
³l ¡ |
² |
´(bn+1 ¡ bn) < an+1 |
¡ an < ³l + |
² |
´(bn+1 |
¡ bn); |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
т.е. имеем (n ¡ N²) неравенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
³l ¡ |
² |
´(bn+1 ¡ bn) < an+1 |
¡ an < ³l + |
² |
´(bn+1 |
¡ bn); |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
³l ¡ |
² |
´(bn ¡ bn¡1) < an ¡ an¡1 < ³l + |
² |
´(bn ¡ bn¡1); |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: : : : : : : : : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
² |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
² |
|
|
|
|||||
³l ¡ |
|
´(bN²+1 ¡ bN²) < aN²+1 |
¡ aN² < ³l + |
|
|
´(bN²+1 ¡ bN²); |
|
|||||||||||||||||
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
сложим все эти неравенства почленно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
² |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
² |
|
|
|
|
||||||
³l ¡ |
|
´(bn+1 ¡ bN²) < an+1 |
|
¡ aN² < ³l + |
|
|
´(bn+1 |
¡ bN²): |
|
|||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
26
Òàê êàê âñå bn+1 > 0; òî
³l ¡ 2 |
´³1 ¡ bn+1 ´ |
< |
bn+1 |
¡ bn+1 |
< |
³l + 2 |
´³1 ¡ bn+1 ´ |
|||||
² |
|
|
bN² |
|
an+1 |
|
aN² |
|
² |
|
|
bN² |
èëè
aN² ¡ lbN² |
|
² |
|
|
bn+1 ¡ bN² |
< |
an+1 |
|
l < |
aN² ¡ lbN² |
+ |
² |
|
|
bn+1 ¡ bN² |
: |
bn+1 |
¡ |
2 ¢ |
|
bn+1 |
¡ |
|
2 ¢ |
|
||||||||
|
bn+1 |
|
bn+1 |
|
bn+1 |
Из первого условия теоремы следует 0 < bn+1¡bN² < 1; поэтому |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn+1 |
|
|
||
|
aN² ¡ lbN² |
|
² |
< |
|
an+1 |
|
l < |
aN² ¡ lbN² |
+ |
² |
: |
|
|
bn+1 |
|
|
bn+1 ¡ |
|
|
|||||||
|
¡ 2 |
|
|
|
bn+1 |
2 |
|
||||||
Из второго условия теоремы следует |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
lim |
aN² ¡ lbN² |
= 0; |
|
|
|||||||
|
|
n!1 |
|
bn+1 |
|
|
|
|
|
|
ò.å. 8² > 0 9N1 2 N такой, что 8n > N1 справедливо неравенство
¡ |
² |
< |
aN² ¡ lbN² |
< |
² |
: |
|
|
|
||||
2 |
|
bn+1 |
2 |
|
Введем обозначение N = max(N1; N²); тогда 8n > N
¡² = ¡ |
|
² |
¡ |
|
² |
< |
an+1 |
¡ l < |
² |
+ |
² |
= ²: |
2 |
2 |
bn+1 |
2 |
2 |
Последнее наблюдение представляет собой развернутую запись предельного |
|||
равенства |
|
an |
|
|
lim |
= l: |
|
|
|
||
|
|
||
|
n!1 bn |
|
Теорема Штольца доказана.
С помощью теоремы Штольца вычислим следующие пределы. Пример 4. При любом натуральном k вычислить предел
lim 1k + 2k + ¢ ¢ ¢ + nk :
n!1 nk+1
В обозначениях теоремы Штольца
an = 1k + 2k + ¢ ¢ ¢ + nk; bn = nk+1;
тогда выполнены все условия теоремы Штольца и значит
lim |
1k + 2k + ¢ ¢ ¢ + nk |
= lim |
(n + 1)k |
= |
|
nk+1 |
(n + 1)k+1 ¡ nk+1 |
||||
n!1 |
n!1 |
|
27
|
|
n |
|
|
|
³ |
|
|
|
|
´ |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ |
|
|
k |
´ |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
!1 n³1 + n1 ´ |
k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ n |
|
|
|
|
|
!1 n 1 + (k + 1)n1 + i=2 Cki |
+1 |
1 |
|
|
¡ n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 1 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= nlim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ |
|
|
|
n |
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
При любом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 n + (k + 1) + i=2 |
|
Cki+1 ni1¡1 ¡ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
натуральном |
|
|
|
вычислить предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nk¢ ¢ ¢ |
|
|
|
|
|
|
¡ k + 1´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
1k |
|
+ 2k |
+ |
|
|
|
|
|
+ nk |
|
n |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
1k + 2k + |
|
+ nk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
lim |
|
(k + 1)(1k + 2k + |
|
|
|
|
+ nk) |
|
|
|
nk+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
nk¢ ¢ ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ k + 1´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k + 1)¢ ¢¢¢nk |
|
|
¡ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n!1³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
an = (k + 1)(1k + 2k + ¢ ¢ ¢ + nk) ¡ nk+1; |
|
bn = (k + 1) ¢ nk; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тогда по теореме Штольца |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
1k + 2k |
+ ¢ ¢ ¢ + nk |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
= lim |
(k + 1)(n + 1)k ¡ (n + 1)k+1 + nk+1 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n!1³ |
|
|
|
|
nk |
|
|
|
|
|
|
¡k + 1´ |
|
n!1 |
|
|
¡ |
|
|
(k + 1) ¢ ((n + 1)k ¡ nk) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= nlim ( |
|
|
+ 1)³1 + n |
´ |
k |
³1 k |
n´ |
k+1 |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
+ |
1 |
|
+ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Íî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k + 1) ¢ ³³1 + n1 ´ ¡ 1´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
X |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(k + 1)³1 + |
|
´ |
|
|
¡ n³1 + |
|
´ |
|
+ n = (k + 1)³1 + k |
|
|
|
+ i=2 Cki |
|
|
´¡ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
n |
|
n |
ni |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¡n³1 + (k + 1)n + |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
¢ n2 |
|
+ i=3 |
Cki+1 ni ´ + n = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(k + 1)k |
|
|
|
1 |
|
|
X |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(k + 1)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 |
|
|
|
|
|
|
(k + 1)k |
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ (k + 1) Cki |
|
|
¡ |
|
|
|
|
+ Cki+1 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
ni |
|
|
2n |
|
ni¡1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k + 1)k |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i=2 ³(k + 1)Cki + Cki+1+1´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
è |
(k + 1) ¢ ³³1 + n´ ¡ 1´ = (k + 1) ¢ ³1 + kn |
|
+ i=2 Cki ni ¡ 1´ = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
X |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k + 1)k |
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
i |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (k + 1) |
|
|
|
|
|
|
Ck |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
= lim |
2n |
|
|
+ i=2³(k + 1)Ck + Ck+1´ni |
= 1: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
1k + 2k + ¢ ¢ ¢ + nk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k+1)k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i+1 |
1 |
|
|
|
|||||
|
!1³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
k + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
(k+1)k |
+ (k + 1) |
|
|
|
|
Ci 1i |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2 |
|
|
k n |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример 6. При любом натуральном k вычислить предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1k + 3k + ¢ ¢ ¢ + (2n ¡ 1)k |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
nk+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В обозначениях теоремы Штольца |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
an = 1k + 3k + ¢ ¢ ¢ + (2n ¡ 1)k; bn = nk+1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тогда |
|
|
|
1k + 3k + ¢ ¢ ¢ + (2n ¡ 1)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n + 1)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 1)k+1 ¡ nk+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nk+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2k |
¢ ³ |
1 + |
1 |
´ |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
¢ |
|
|
|
|
|
|
1 + |
1 |
´ |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
= nlim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= nlim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
!1 n³³1 + n1 ´ |
|
|
|
|
¡ 1´ |
|
|
|
!1 n 1 + (k + 1)n1 |
+ i=2 Cki |
+1 |
¡ 1 |
´ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³³ |
´ |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= nlim |
|
|
|
|
|
2 |
¢ ³1 |
2n |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iP |
|
i |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
k + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k + 1) + Ck+1 |
ni¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5Подпоследовательности. Частичные пределы последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса
Пусть дана некоторая последовательность fang; наряду с ней рассмотрим возрастающую последовательность целых положительных чисел k1 < k2 <
29
: : : < kn < : : : ; в результате получаем новую последовательность fakng; которую принято называть подпоследовательностью исходной последовательности fang; очевидно kn ¸ n: Если подпоследовательность fakng сходится, то
ее предел называют частичным пределом последовательности fang:
Теорема. Если последовательность fang сходится к пределу a; то и любая ее подпоследовательность fakng сходится к тому же пределу a:
Доказательство. Òàê êàê lim an = a; òî 8² > 0 9N² такой, что 8n > N²
n!1
выполняется неравенство jan ¡ aj < ²: Òàê êàê kn ¸ n; òî 8kn ¸ kN² > N²
справедливо неравенство |
a |
¡ |
a |
j |
< ²; а это означает lim a |
|
= a: |
|||||
Теорема доказана. |
j |
kn |
|
|
kn!1 |
kn |
|
|||||
|
|
|
|
n; |
|
|
|
|||||
Пример. Найти nlim |
1 § nk |
|
k 2 N: Рассмотри числовую последова- |
|||||||||
|
|
|
n |
³Òàê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
тельность |
|
k |
|
же, как в примере 1 из Ÿ2.4, можно убедиться, |
||||||||
an = |
¡1 § n¢ |
|
´ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
что это монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность,
поэтому в силу теоремы Вейерштрасса |
последовательность |
fang |
сходится. |
|||||||||||
|
|
³1 § |
1 |
´ |
km |
|
|
|||||||
Рассмотрим подпоследовательность akm = |
; m 2 N: Отсюда по |
|||||||||||||
m |
||||||||||||||
теореме о пределе произведения получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
m k |
|
|
|
|
|
||
lim a |
|
= lim |
1 |
|
|
|
|
= e§k; |
|
|
|
|||
|
§ m´ ´ |
|
|
|
||||||||||
m!1 |
km |
³m!1³ |
|
|
|
|
lim an = e§k: |
|||||||
поэтому в соответствии с только что доказанной теоремой |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
Воспользуемся полученным результатом для вычисления следующего пре-
äåëà |
|
|
|
|
n |
|
|
|
nlim |
n + 4 |
´ |
n = nlim |
³1 + n4 |
´n = |
e4 |
= e9 |
: |
|
5 |
|||||||
!1³n ¡ 5 |
!1 |
³1 ¡ n5 ´ |
e¡ |
|
Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть fang - ограниченная последовательность, т.е. 8n 2 N p · an · q: Разделим отрезок [p; q] на две равные части, в одной из них окажется бесконечно много членов последовательности fang; обозначим его [p1; q1] ½ [p; q] и выберем первый член последовательности ak1 попавший в [p1; q1]: Разделим [p1; q1] пополам, в одну из частей попадает бесконечно мно-
30