- •Лабораторная работа №4. «Исследование переходных процессов в линейных электрических цепях второго порядка»
- •4.1 Краткие теоретические сведения
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •4.2. Описание лабораторной установки
- •4.3. Задание на самоподготовку
- •4.4. Лабораторное задание
- •4.5. Содержание отчета
- •4.6. Контрольные вопросы
- •Литература
Пример 1
Рассмотрим переходный процесс в линейной электрической цепи второго порядка, вызванный подключением источника постоянной ЭДС к последовательно соединенным сопротивлению, индуктивности и ёмкости (рис. 4.2), выбрав в качестве реакции напряжение на емкости.
Рис. 4.2
Рассмотрим переходной процесс в цепи, составив дифференциальное уравнение для искомой реакции. Поскольку цепь не содержит узлов, а представляет собой контур, то достаточно составить одно уравнение по второму закону Кирхгофа, дополнив его компонентными соотношениями:
(4.9)
Подставим и в первое уравнение. Получим:
(4.10)
Подстановка в первое уравнение с последующим его делением почленно на приводит к дифференциальному уравнению вида:
. (4.11)
Введем обозначения:
, .
Пусть ,,,. Тогда:
, .
Поскольку , то переходной процесс носит апериодический характер и свободная составляющая реакции запишется в виде:
, (4.12)
где:
,
.
Вынужденную составляющую реакции определим, исключив обе производные из дифференциального уравнения (4.11):
. (4.13)
Тогда общее решение уравнения (4.11) имеет вид:
. (4.14)
Найдем независимые и зависимые начальные условия. В момент времени источник ЭДС был отключен от цепи и, следовательно:
, .
Согласно законам коммутации:
, .
Поскольку , то и .
Определим константы интегрирования и исходя из начальных условий для и . С этой целью запишем общее выражение для тока , воспользовавшись уравнение (4.13) и вторым уравнением исходной системы (4.9):
. (4.15)
Подставляя начальные условия в (4.14) и (4.15) получим следующую систему для определения и :
(4.16)
Выразим из первого уравнения и подставим его во второе. Получим:
, .
Следовательно:
, . (4.17)
С учетом найденных констант интегрирования искомая реакция принимает вид:
. (4.18)
На рис. 4.3 представлен график зависимости найденной реакции от времени:
Рис. 4.3
Пример 2
Рассмотрим переходной процесс в линейной электрической цепи второго порядка, вызванный подключением ветви, содержащей емкость (рис. 4.4). Выберем в качестве реакции ток, протекающий через емкость. Однако задачу проще решить, если сначала найти выражение, описывающее изменение напряжения на емкости, а затем воспользоваться компонентным соотношением.
Рис. 4.4
Данная цепь содержит два узла и три ветви. Следовательно, по первому закону Кирхгофа достаточно составить одно уравнение и по второму закону Кирхгофа – два уравнения3. Дополним эти уравнения компонентными соотношениями. Полученная система уравнений имеет вид:
(4.19)
Сведем данную систему уравнений к дифференциальному уравнению для напряжения на емкости. С этой целью подставим , и во второе и третье уравнения. Получим:
(4.20)
Выразим из первого уравнения и подставим во второе. Получим систему из трех уравнений вида:
(4.21)
Следующим шагом исключим из системы . Для этого выразим его из второго уравнения и подставим в первое. Получим:
(4.22)
Подставим в первое уравнение, приведем подобные и разделим все уравнение на . Получим:
. (4.23)
Введем принятые выше обозначения:
Пусть ,,,,. Тогда:
Поскольку , то характер переходного процесса – критический. Значит, свободная составляющая напряжения на емкостиравна:
, (4.24)
где:
.
Вынужденную составляющую напряжения на емкости найдем, исключив обе производные из дифференциального уравнения (4.23):
. (4.25)
Тогда общее решение уравнения (4.23) имеет вид:
. (4.26)
Для определения констант интегрирования и найдем зависимые и независимые начальные условия. Рассмотрим цепь в момент времени , предшествующий замыканию ключа (рис. 4.5).
Рис. 4.5
Согласно второму закону Кирхгофа для данной цепи:
.
Следовательно:
.
Поскольку емкость была отключена от цепи, то напряжение на ней равнялось нулю:
.
Согласно законам коммутации:
, .
Рассмотрим цепь в момент времени , следующий сразу за замыканием ключа, и определим зависимое начальное условие (рис. 4.6).
Рис. 4.6
Поскольку сопротивление в данной схеме оказывается закороченным, то напряжение на нем равно нулю, а значит, согласно закону Ома, и ток . Следовательно, так как разветвления тока источника не происходит, то:
.
Запишем общее выражение для тока , воспользовавшись (4.26) и компонентным соотношением для емкости:
(4.27)
Подстановка найденных начальных условий в (4.26) и (4.27) дает следующую систему уравнений для нахождения и :
(4.28)
Решая эту систему, находи, что:
Тогда напряжение на емкости и ток, протекающий через нее, имеют вид:
, (4.29)
. (4.30)
На рис. 4.7 представлен график изменения тока со временем.
Рис. 4.7