3.2. График функции
Напомним, что при
гамма-функция определяется формулой
;
при этом
.
Следовательно, в силу теоремы Ролля
Но
,
,
следовательно,
возрастает и при
,
а при
,
так что в точке
налицо минимум (см. рис. 3.1). Вычисления,
которые мы не приводим, дает
Отметим еще, что
так как при
,
то функция
выпукла вниз на
.
Далее,
,
;
при
,
т.е.
при
;
Изучим теперь
при
.
Пусть вначале
.
Тогда
.
Для исследования
функции
на выпуклость и вогнутость определим
знак
при
.
Продифференцировав формулу понижения
:
,
поделим
левую
часть на
,
а правую - на
:
.
Дифференцируем еще раз:
.
Но по доказанному выше в п. 3.1 при
,
следовательно,
при
.
Применяя это
рассуждение последовательно несколько
раз, заключаем, что на каждом отрезке
вида
,
т.е.
имеет знак
:
если
,
то
если
,
то
В частности, на каждом отрезке вида
имеется единственная стационарная
точка
,
причем при
.
График гамма-функции приведен на рис. 3.2 жирной линией.
Рис. 3.2
3.3. График функции
Эта функция
определена
;
в точках
доопределим
ее естественным образом – по непрерывности.
При этом в окрестности нуля имеем:
В окрестности
:
В окрестности
:
.
Далее,
,
следовательно, функция
возрастает там, где
убывает, и наоборот.
График функции
приведен на рис. 3.2 пунктирной линией.
3.4. Пример
.
Решение.
.
Обозначим
.
Тогда
;
при этом
.
В этих обозначениях
=
.
§ 4. Пси-функция
4.1. Определение и простейшие свойства
Пси-функция
определяется как логарифмическая
производная Г-функции:
.
Непосредственно
из определения следует, что функция
аналитична
при
,
а так как
то
в окрестности
точки
,
где
- аналитическая в окрестности точки
функция. Отсюда
,
где
- аналитическая в окрестности точки
функция. Следовательно,
-полюс 1
порядка.
Тем самым доказано
Свойство 4.1.
Свойство 4.2 (рекуррентная формула):
.
Доказательство.
,
ч.т.д.
Свойство 4.3 (формула симметрии):
.
Доказательство.
Из формулы симметрии для гамма-функции
выразим
.
Тогда
,
ч.т.д.
Свойство 4.4 (формула удвоения):
.
Доказательство.
Из формулы удвоения для гамма-функции
выразим
.
Тогда
,
ч.т.д.
Аналогично
с помощью общей формулы умножения для
гамма-функции доказывается, что
Замечание.
имеет другое название – дигамма-функция;
в этой терминологии ее производная
-
тригамма-функция;
- тетрагамма-функция;
- пентагамма-функция и т.д.
4.2. Функция прии ее график
По определению
при
.
Из свойств гамма-функции следует, что
при
.
Величина
называется константой Эйлера-Маскерони
и обозначается
.
Тем самым
.
Вычисления, которые мы не приводим, показывают, что
Далее,
.
Отсюда следует,
что
возрастает на
и на
.
При этом
.
Тем самым
при
,
а так как
в силу монотонности пси-функции выполнено:
,
то
при
.
Далее, так как
- полюс 1 порядка с вычетом (-1), то в
окрестности точки
и при
.
График пси-функции изображен на рис. 4.1.
Рис.
4.1
То, что
при
,
будет показано чуть ниже.
4.3. Дальнейшие свойства пси-функции
4.3.1. Докажем формулу
.
Доказательство.
Известно, что точка
-
полюс 1 порядка для
с вычетом
т.е. в окрестности точки
некоторая
аналитическая функция. Следовательно,
функция
аналитична на всей комплексной плоскости
С.
Можно доказать,
что
Но
ч.т.д.
Следствие.
,
где
-
обобщенная дзета-функция, которая при
превращается в обычную дзета-функцию
Римана
:
.
В частности,
;
.
Далее,
при
В частности,
и т.д.
4.3.2. Выпишем далее
несколько первых коэффициентов разложения
функции
в ряд по степеням
:
.
Но
,
;
вычислим
.
Имеем:
.
Заодно найдено
значение интеграла, представляющего
:
.
4.3.3. Опираясь на выведенные выше в п. 1.2 формулы
понижения:
,
(4.1)
дополнения:
, (4.2)
и удвоения:
, (4.3)
а также полученные численные значения
,
(4.4)
вычислим значения пси-функции еще в некоторых точках.
.
Действительно,
возьмем в (3)
.
Следствие.
.
Действительно,
взяв в (2)
,
получаем:
Взяв в (3)
,
получаем:
Таким образом,
задача свелась к нахождению неизвестных
и
из системы
;
Для доказательства воспользуемся формулой утроения
Взяв здесь
,
получаем
Взяв в (2)
,
получаем:
.
Доказательство. Согласно формуле понижения (1) имеем:
,
ч.т.д.
Значение
найдем отсюда с использованием формулы
дополнения (2):
.
Доказательство. По определению
,
ч.т.д.