§ 2. Бета-функция Эйлера (Эйлеров интеграл 1 рода)

2.1. Определение и связь с гамма-функцией

Определим бета-функцию Эйлераинтегралом

. (2.1)

Аналогично тому, как это было сделано для гамма-функции, доказывается, что этот интеграл сходится при и является при этих значениях переменных аналитической функцией.

Таким образом, - аналитическая функция двух комплексных переменных в области.

Установим связь между гамма и бета-функциями. Попутно будут выведены еще несколько полезных формул.

При

.

Таким образом, при

при .

Эта формула дает аналитическое продолжение на плоскость

(см. рис. 2.1).

Отметим, что в процессе доказательства была получена формула

.

Взяв в ней и , получим более удобную для применений формулу

. (2.2)

В процессе доказательства была получена еще одна формула

.

Взяв в ней и

, получим еще одну более удобную для применений формулу

. (2.3)

Приведем далее примеры на применение полученных формул.

Пример 2.1

Пример 2.2. .

Пример 2.3. .

Пример 2.4. .

Пример 2.5. .

П

Рис. 2.2

ример 2.6.Найти площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением

(см. рис. 2.2).

Решение.

.

Пример 2.7. .

Пример 2.8.

.

Пример 2.9.

.

Пример 2.10. Докажем, что

.

Доказательство. Сделаем в исходном интеграле замену переменной . Получим:

Отметим также более общий интеграл

откуда, в частности, следует, что

.

Пример 2.11.

|воспользуемся результатом примера 2.10|

Пример 2.12. .

Пример 2.13

.

В частности, при и целых

,

а при и полуцелых

.

Пример 2.14. При

Пример 2.15. При

.

В частности,

;

.

Пример 2.16

.

Пример 2.17

.

Отсюда следует, что ,

.

Пример 2.18

.

Отсюда следует, что ,

.

Пример 2.19.

Пример 2.20. Вычислим

.

Напомним, что интеграл от дифференциального бинома выражается в конечном виде только в трех случаях, когда одно из чиселp, ,- целое. Посмотрим, что дают эти случаи применительно к интегралу

1. Если p – целое, то

-

не содержит гамма-функцию.

2. Если - целое, то

-

не содержит гамма-функцию.

3. Если - целое, то

-

также не содержит гамма-функцию – полная аналогия с результатом Чебышева.

2.2. Свойства бета–функции

1. Из формулы следует, что

.

2. ,

т.е.

3. При рассмотрим

(см. рис. 2.3)

Таким образом доказано, что при

, следовательно, в силу аналитического продолжения эта формула справедлива .

Следствие. Записав бета-функцию через гамма, получим:

.

Последняя формула носит название формулы удвоения (или формулы Лежандра). Перепишем ее так:

. (2.4)

Можно доказать, что справедливы также формула утроения

, (2.5)

а также общая формула умножения Гаусса-Лежандра

. (2.6).

Пользуясь этой формулой, легко найти так называемое произведение Эйлера

. (2.7)

Действительно,

.

Заметим, что для величинуможно легко найти непосредственно. А именно, ;

;

;

;

Отметим еще, что произведение Эйлера можно найти и без привлечения общей формулы умножения. А именно, перемножая два равенства

почленно и пользуясь формулой дополнения

, получаем

.

Для вычисления произведения синусов в знаменателе представим каждый из них по формуле Эйлера:

Но , . Следовательно,

.

Устремляя здесь получаем , откуда .

Проверка. (истина);

(истина);

(истина);

(истина);

(истина).