§ 1. Гамма-функция Эйлера (Эйлеров интеграл 2 рода)

1. Определение и простейшие свойства гамма-функции в комплексной области

При рассмотрим функцию

, (1.1)

где

Свойство 1.1. Функция определена и непрерывна в области(в правой полуплоскости).

Доказательство. Оценим подынтегральную функцию в (1) по модулю:

Рассмотрим замкнутую область(см. Рис. 1.1).

Пусть .

При

при

.

Отсюда

для доказательства сходимости второго интеграла применим интегрирование по частям:

.

Будем продолжать интегрирование по частям до тех пор, пока показатель степени не уменьшится до величины ,. Тогда

.

Таким образом, функция является мажорантой дляна. Поскольку интегралто интегралсходится равномерно относительно, следовательно, функцияопределена и непрерывна в областии в силу произвольностии- в областич.т.д.

Свойство 1.2. Функция аналитична в области, причем

. (1.2)

Доказательство.

.

Пусть .

При

при интегралсходится (см. доказательство свойства 1.1).

Докажем, что сходится интеграл . Интегрируя по частям, получаем:

.

Тем самым функция является интегрируемой мажорантой для интеграла в правой части (2), поэтому он сходится равномерно по , правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру применимо, и формула (2) доказана.

Свойство 1.3. из областивыполняется тождество

(формула понижения; рекуррентная формула).

Доказательство. Интегрируя по частям, получаем:

,

причем внеинтегральное слагаемое обращается в ноль, так как при при. Тем самым

ч.т.д.

Следствие 1. .

Отсюда по рекуррентной формуле получаем и т.д. В общем случае

Задача. Вычислить значения инепосредственно.

Следствие 2. Из формулы понижения следует, что

, (1.3)

при этом левая часть (3) определена при , а правая – при, т.е. при

(см. рис. 1.2). Тем самым формула (3) позволяет продолжить функцию как аналитическую в полуплоскость; при этом,

т.е. точка - полюс, а так как

,

то - полюс 1 порядка, т.е. в окрестности нуля

,

причем вычет

.

Аналогично

и функция продолжается как аналитическая в полуплоскость(см. рис. 1.3) и т.д.

Тем самым справедливо следующее утверждение.

Свойство 1.4. Функцию можно аналитически продолжить на всю плоскость переменной, кроме точек(см. рис. 1.4), в которыхимеет полюса первого порядка с вычетами

.

Доказательство. Применяя формулу понижения раз, получаем:

Правая часть определена при

при этоми

, ч.т.д.

Свойство 1.5.

Доказательство. При

;

при эта формула справедлива в силу аналитического продолжения, а при

Наглядное представление о поведении гамма-функции дает ее рельеф, т.е. график функции , приведенный на рис. 1.5. Ярко выраженные пики над точкамисоответствуют полюсам. Два семейства линий на поверхности представляют собой семейства линий равного модуля и равного аргумента; цифровые отметки на них указывают значение модуля и аргумента (последние – в градусах).

Рис. 1.5

2. Дальнейшие свойства гамма-функции

Выведем далее одну формулу, которая понадобится нам в дальнейшем. Для этого при рассмотрим произведение

и сделаем в получившемся двойном интеграле замену переменных

.

Якобиан этой замены ,

следовательно,

.

Сделаем во внутреннем интеграле замену переменной

(1.4)

Взяв, в частности, получим

.

В курсе ТФКП с помощью вычетов доказывается, что при

.

Тем самым установлено, что при

Отсюда с помощью аналитического продолжения заключаем, что .

Покажем, что эта формула справедлива . Действительно, приправая часть превращается в, а левая принимает вид

Если , то; если же, то. В обоих случаях произведениетакже обращается в.

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Свойство 1.6. (1.5)

(формула дополнения; формула симметрии).

Следствие. При произведениевыражается через элементарные функции.

Доказательство. Пусть вначале

Для остальных n доказательство аналогично.

Свойство 1.7. не имеет нулей:

Доказательство проведем методом «от противного». Пусть При этом, так как; а также, так как. Тем самым.

Но согласно формуле дополнения

т.е.

- противоречие.

Следствие. Функция - аналитическая в С.

На рис. 1.6. приведен ее рельеф, т.е. график функции .

Рис. 1.6

Свойство 8. Значения в некоторых точках

Напомним, что при гамма-функция задается интеграломпричем привыше, исходя из определения найдено, что.

Вычислим далее .

Исходя из определения, эту величину найти не удается, так как уже значение

представляется неберущимся интегралом. Однако ее можно вычислить по свойствам. Так, взяв в формуле дополнения получаем

Далее, с помощью формулы понижения получаем

и т.д.

В общем случае при

.

Запишем это выражение через обычные факториалы:

.

Таким образом, получаем, что

. (1.6)

Найдем далее .

Подставив в формулу дополнения и пользуясь (6), получаем: