§ 4. Изображение результатов в комплексной плоскости

11

Индекс 0 у а добавлен для того, чтобы отметить случай нор­мального падения.

Полученные здесь для свободного воздуха формулы имеют более общую применимость. Уравнения движения и непрерывно­сти во многих случаях могут быть записаны точно в такой же форме, как (1.7) и (1.8), хотя при этом постоянные р и К бу­дут иметь другие, в общем случае комплексные значения.

Во избежание путаницы все величины, относящиеся к свобод­ному воздуху, в дальнейшем будут снабжаться индексом нуль, как это, например, сделано в настоящем параграфе: р₀, До, у₀, с₀.

Практически важным способом применения поглощающих мате­риалов является непосредственное укрепление слоя материал; на твердой стенке. Как было показано в § 2, импеданс на пе­редней стенке слоя в этом случае будет

Или, учитывая (1.10) и (1.11), получаем общее выражение для Импеданса любого слоя, укрепленного на твердой стенке,

Исключением являются лишь некоторые пода?||йвые пористые материалы. Вопрос о вычислении К и р будет рассматриваться с § 7 гл. I по § 6 гл. II.

§ 4. Изображение результатов в комплексной плоскости

Для понимания смысла таких формул, как (1.5) и (1.11), весьма полезно изображение cth у/ и других комплексных функций г от со на комплексной плоскости. Если предположить, что со про- бегает все значения от 0 до оо, то значения рассматриваемой функции в комплексной плоскости будут располагаться на неко- торой кривой. Последняя более наглядна, чем аналитическая формула. Для построения кривой необходимо отделить действи- тельную часть функции от мнимой, т. е. представить z в фор- ме z (<о) = х (со) -f jy (со), после чего остается лишь изобразить z в плоскости с координатами х и у.

Примеры: функция z=l — /со в комплексной плоскости пред- ставляет собой прямую, начинающуюся в точке х = 1, лежащей на действительной оси, и идущую параллельно оси у вниз (фиг. 3).

Функция z = е³'* = cos со +■ / sin со изображается окружностью единичного радиуса.

Умножение комплексного числа на е^ соответствует поворо- ту его вокруг начала координат на угол со. Так, при умножении числа, соответствующего точке А (см. фиг. 3), на е³'* мы

z ~W cth у/.

(1.14)

Г л. /. Элементарная теория поглощения звука

получаем точку В; очевидно, что £ лежит на развертке окружности. Следовательно, кривая z = (1 — /ш) является разверткой окруж­ности.

Функция z = ]/l + /«> изображается гиперболой с взаимно пер- пендикулярными асимптотами (фиг. 4). Действительно, положив z = x + jy = \/' 1 + /ш, после возведения в квадрат получаем х² __ у2 ₊ 2jxy = 1 -f /о). Приравнивание вещественных частей дает я² —у²=1, что соответствует указанной выше гиперболе.

Фиг. 3. Изображение развертки Фиг. 4. Изображение гипер­окружности в комплексной болы и лемнискаты в ком-

плоскости. плексной плоскости.

Приравнивание мнимых частей дает 2хг/ = ш; так как иГвсегда положительно, то х и у должны иметь одинаковые знаки. Отсюда следует, что функция Hi + /<о изображается верхней ветвью ги­перболы, нижняя же ветвь соответствует функции |/1 — /ш . В более общем случае, когда z — \Zl ± //(а>), где /(со) произ­вольная вещественная функция со, мы будем иметь ту же самую гиперболу, но с переменным масштабом для ш.

Обратным числом для z—МеЯ является — = -Г_е-л> т. е. мо-

z М

дуль является обратной величиной модуля г, а фаза имеет про­тивоположный знак. Так как лемниската является кривой, обрат­ной гиперболе, то она соответствует, очевидно, функции (1 ^ Окружность, как хорошо известно из геометрии,

является кривой, обратной прямой линии. На фиг. 3 изображена