Г л. Ill. Теория поглощения звука пористыми слоями

из значения vjvx (0 и оо). При этом Г и W имеют нормальные значения.

Если k Ф 1 (все столбцы табл. 6, кроме последнего), то скелет и воздух остаются связанными системами даже в случае высоких частот, когда трение воздуха не имеет значения.

§ 3. Графическое изображение корней г-уравнения

Корни Г-уравнения (ЗЛО) могут быть легко вычислены, однако зависимость от частота и Материальных констайт очень сложна и трудно обозрима. Поэтому оказывается полезным сле­дующее графическое изображение зависимости корней от ча­стоты. Обозначим: и^Т²

р Ар ! + S . р2 + 5 , ?2 (1 — h) + S (! — h)(K%— Р„)

hKi "^r hK₂ ^_r hKxK₂ ' A

p _ P1P2 + (Pi + Ps) 5 hKiK₂

Тогда Г-уравнение примет видМ

ы²-£$Ь-Р = 0. »

Его решения и' и и" будут

2W ф + VD ,

2и" — Е — у ' D,

где D—дискриминант Г-уравнения, т. е.

D = E²-4F.

Для упрощения предположим, что Кг и /С₂ — действительные величины, т. е. что внутреннее трение в скелете незначительно и эффект Кирхгофа (см. гл. II, § 3) и другие эффекты, которые могут привести к комплексному значению /С₂> отсутствуют. Как мы уже видели раньше, угол потерь для К часто на самом деле мал и поглощение звука обусловливается по большей части вяз­костью. По определению ^ и ^ — постоянные. Так как Кг и Кг также предполагаются постоянными, то частота теперь будет входить только в S:

^ — 1) р2 + -^ •

Предположение о том, что Кг и Кг имеют действительные и по­стоянные значения, конечно, ограничивает общность теории.

Легко видеть, что Е имеет вид а + 6//а>; нетрудно также проверить, что D может быть записано в форме

п л В , С

57

где А и В — положительные постоянные, а постоянная С может быть как отрицательной, так и положительной.

(Ь~

Ui

Л² о²

к\к\

_ АрЛ²

hKj

(К1 + К2)²,

С

2ha?_l

~ж

(при р₂ < h)>

(3.16)

(При р₂« _н).

Характер зависимости D, а следовательно, и и' й и" от ча­стоты меняется, если С изменяет свой знак. Из (3.16) легко

Фиг. 20. Построение I^м и Г".

заключить, что это имеет место в том случае, когда прибли­зительно

= ^{ИЛИ 1} (ПРИ ?2«Pl).

Если отношение К2/К1 имеет величину, лежащую между этими пределами, то С отрицательно; в других случаях оно положительно

На фиг. 20 видно, каким образом могут быть изображены графически Г' ( = у' //со) и Г" ( — у" / /со); Е/2 изображается по­средством прямой линии, параллельной мнимой оси; D является, очевидно, параболой [см. (3.15)]; D/4 изображено на фиг. 20 для положительного значения С. Для отрицательного значения С нужно было бы построить другую половину параболы (над. вещественной осью).