§ 4. Применение теории Кирхгофа к распространению звука

35

причем

AQi-XiQi, AQ₂^X₂Q₂,

где Xj и Х₂—корни квадратного уравнения [4, § 348, уравнение (19)]. В достаточно хорошем приближении

\ _ h *

а₂--—.

Для Х_х и Х₂ вязкость оказывается гораздо менее существенной,

чем теплопроводность.

В дальнейшем мы будем рассматривать объем цилиндрической формы и предполагать, что все величины изменяется по закону е~~^гх (бегущая волна). Нас будеФ интересовать лишь решение, имеющее цилиндрическую симме^ рйю, так что скорость в любой точке будет задаваться аксиальной компонентой и й радиальной компонентой q. *

.Л, 'Ащ^Аъ — пока произвольней постоянные, а решения для Wq и 6'"как функций г имеют вйЙ; [4, § 350, уравнения (8), (10)]:

u = AQ + Ai* д=А^-4—,^-

Qi = Jo С TV — Ь).

Q₂ = Jo(ry

Эти решения должны удовлетворять граничным условиям на поверхности цилиндра:

и = 0 Л

<7 ^0 | при r = R, (2.20)

8' = 0 J

3*

Гл. //. Влияние вязкости и теплопроводности

откуда и определяются величины А, А_х и А%. Равенство нулю детерминанта системы уравнений для определения А, А_х и А₂ дает

■fjw

Это так называемое уравнение Рэлея [4, § 350, уравнение (11)].

Для малых значений аргумента функций Бесселя (низкие ча­стоты) имеем в третьем приближении [4, § 350].

^ ^lnio (⁷) Idz ■= ~2 ^z 1 4* -g- z² 4- 48 * (2.22)

Подставляя это выражение в (2.21) и учитывая выражения для Q, Qi и Q₂, получаем уравнение, содержащее у⁰, у² и у⁴, из ко­торого может быть найдено у². При этом мы будем -учитывать только первые члены получающихся рядов. Это значит, что ре­личины /cov/c², R/к и j^R²/q' Считаются пренебрежимо малыми

по сравнению с единицей. В результате все у⁴, уничтожаются и мы получаем

члены,

содержащие

"'Т ‘ "уф"

,Г

8 /сс

Ч'х Г

■² L

1 /«>R²

1

_(5i_l)M!] (2.23)

(для низких частот). Это уравнение согласуется с уравнениями для р (2.7) и К (2.14), полученными по отдельности, если учесть соотношение у² = (/со)²р/7<.

Для высоких частот, согласно Рэлею [4, § 350],

i+|+

Я у /и,

У у т

R /'<» J

(2.24)

что опять согласуется с {> и К, вычисленными по отдельности [уравнения (2.8) и (2.15)]. Найдя из (2.21) значение для 7, можно из уравнений (2.17)—(2.19) и граничных условий определить от­ношения А/Ах и А/А_г.

Взяв соответствующее значение для А, найдем

А =

/а> (1/Х, — 1 /Х₂) )

QM) ’

lQi(°iR) ’ j

! •

HQa ОаЯ) ’ J

(2.25)

a_tR представляет собой комплексный аргумент функций Q_f при r = R. Следовательно, аргумент Q в текущей точке г будет а_гг.

Величина и находится усреднением всех Q_t по поперечному сече­нию, что может быть выполнено так же, как и в § 2 [см. (2.4)], причем при интегрировании функция Бесселя нулевого порядка переходит в функцию Бесселя первого порядка.

Соответствующее выражение для р получается подстановкой (2.25) в (2.19), вычислением s из уравнения (2.12)

Р = Ро [s+(x-l)0']

и, наконец, усреднением по поперечному сечению с помощью (2.4). Получающаяся таким образом величина р не полностью эквива- ,к лентн^Ащле, действующей на единицу поверхности; а представляет Wo6ofi лйшь гидростатическую йасть силы; сюда должен быть добавлен член, учитывающий трение [4, § 345, .уравнение (5)]. Однако этот член оказываете# ма||т и в рассматриваемом прибли- жении им можно пренебречь. В результате получи™ ^

Ч /^с,) У Q^(^a^Ю V /^:0 / Q2(^a2R) /2 2б)

1 1\ Q //со Л Qt //со \ Q₂ ’ '

К hjQ(*R)'\h JQi(«iR) ⁷ЧЛ V Qi(^R)

Для того чтобы получить приближенные выражения для низких и высоких частот, сюда должны быть подставлены соответству­ющие выражения для Qi/Qi (a_fi?), Х_ь Х₂ и у. Ограничиваясь глав­ными членами, получаем для высоких частот

для низких частот