Министерство науки и высшего ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Национальный исследовательский Томский политехнический Университет»

Инженерная школа энергетики

Отделение электроэнергетики и электротехники

Направление: 13.03.02 Электроэнергетика и электротехника

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях

РГР №4

Вариант – 185

по дисциплине:

Теоретические основы электротехники 2

Выполнил: :
студент гр. 5А03			Гайдук К.А.		14.12.2022
Проверил:
доцент ОЭЭ ИШЭ			Шандарова Е.Б.

Томск – 2022

I. Для заданной схемы при коммутации ключа K₁ в момент времени t = 0, когда ключ K₂ еще не сработал, выполнить следующее:

1. При постоянном источнике ЭДС e(t) = E или тока J(t) = J опреде­лить ток i(t) или напряжение u_J(t):

а) классическим методом;

б) операторным методом;

построить график зависимости тока i(t) или напряжения u_J(t).

2. При гармоническом источнике ЭДС или тока определить ток i(t) или напряжение u_J(t):

а) классическим методом;

б) комбинированным (операторно-классическим) методом;

на интервале времени построить график зависимости тока i(t) или напряжения u_J(t).

3. При импульсном источнике ЭДС или тока и нулевых начальных условиях определить интегралом Дюамеля ток i(t) или напряжение u_J(t), построить их график зависимости (p – корень характеристического уравнения из п. 1, а).

II. Для заданной схемы с постоянным источником ЭДС e(t) = E или тока J(t) = J при коммутации ключа K₂ в момент времени t=0, когда ключ K₁ давно уже сработал, определить ток i(t) или напряжение u_J(t):

а) классическим методом;

б) операторным методом;

в) методом переменных состояния;

построить график зависимости тока i(t) или напряжения u_J(t).

III. Проанализировать методы расчета, результаты вычислений, графики зависимостей и сформулировать выводы по работе.

Рисунок 1 – Исходная схема

Дано:

Решение

1. При постоянном источнике ЭДС после срабатывания ключа К₁, когда ключ К₂ ещё не сработал, определяем ток

1.1. Используем Eупрощенный классический метод, когда дифференциальное уравнение для искомой функции не составляется.

1.1.1. Определяем независимые начальные условия (ННУ) при .

Схема до коммутации: установившийся режим, постоянный источник, С – разрыв, L – закоротка.

Рисунок 2 – Схема до коммутации (ННУ)

.

1.1.2. Определяем ЗНУ при .

Схема после коммутации ключа К₁.

Рисунок 3 – Схема после коммутации (ЗНУ)

По первому закону коммутации

.

Используем метод узловых потенциалов

,

тогда

.

1.1.3. Определяем принужденную составляющую при .

Схема после коммутации ключа К₁, установившейся режим, постоянный источник, С – разрыв, L – закоротка.

Рисунок 4 – Схема после коммутации ключа К₁ (ПС)

.

1.1.4. Определяем корень характеристического уравнения .

Используем метод сопротивления цепи после коммутации , причем , а .

Рисунок 5 – Схема для определения корня характеристического уравнения

.

1.1.5. Определяем постоянную интегрирования .

,

при

,

откуда

.

1.1.6. Окончательный результат.

.

Постоянная времени

с.

1.1.7. График зависимости тока .

Рисунок 6 – График зависимости тока

1.2. Используем операторный метод.

1.2.1. Находим независимые начальные условия (п. 1.1.1)

.

1.2.2. В операторной схеме после коммутации используем метод контурных токов.

Рисунок 7 – Метод контурных токов

решаем систему уравнений методом Крамера

операторное изображение искомого тока

,

.

1.2.3. По теореме разложения находим .

,

Результат совпадает с результатом, полученным классическим методом.

2. При гармоническом источнике тока

, А,

после срабатывания ключа К₁ определим ток .

2.1. Используем упрощенный классический метод, когда дифференциальное уравнение для искомой функции не составляется.

2.1.1. Определяем независимые начальные условия (ННУ) при .

Схема до коммутации: установившийся режим, гармонический источник, символический метод.

Рисунок 8 – Схема до коммутации (ННУ)

Мгновенные значения токов

при

2.1.2. Определяем ЗНУ при .

Схема после коммутации ключа К₁.

Рисунок 9 – Схема после коммутации ключа К₁ (ЗНУ)

По первому закону коммутации

.

.

Используем метод узловых потенциалов

,

тогда

.

2.1.3. Определяем принужденную составляющую при

Схема после коммутации ключа К₁: установившийся режим, гармонический источник, символический метод.

Рисунок 10 – Схема после коммутации ключа К₁ (ПС)

По закону Ома

,

2.1.4. Определяем корень характеристического уравнения .

Используем метод сопротивления цепи после коммутации. Аналогично п. 1.1.4 получаем

.

2.1.5. Определяем постоянную интегрирования .

.

2.1.6. Окончательный результат

Постоянная времени

с.

Период принужденной составляющей

.

2.2. Используем комбинированный операторно-классический метод для определения .

2.2.1. Находим независимые начальные условия (п. 2.1.1)

.

2.2.2. Определяем принужденные составляющие при

Схема после коммутации ключа К₁: установившийся режим, гармонический источник, символический метод.

Рисунок 12 – Схема после коммутации ключа К₁ (ПС)

По закону Ома

2.2.3. Определяем начальное значение свободной составляющей тока индуктивности

.

2.2.4. Рассчитываем операторную схему замещения для свободных составляющих.

Рисунок 13 – Схема замещения

2.2.5. По теореме разложения находим свободную составляющую тока

,

По принципу наложения получаем окончательный результат

.

Результат совпал с классическим методом.

3. При импульсном источнике ЭДС , B (p – корень характеристического уравнения) и нулевых начальных условиях (ключ К₁ сработал) определяем интегралом Дюамеля ток .

3.1. Находим переходную характеристику для операторным методом при .

Рисунок 14 – Операторный метод

В операторной форме

Рисунок 15 – Операторная форма

По теореме разложения находим

,

переходная проводимость

Проверка:

а)  – верно, т.к. и – разрыв,

б) – верно, т.к. – закоротка.

3.2. Рассчитаем интегралом Дюамеля .

,

где

,

.

Тогда

Проверка:

а) – верно, т.к.

,

б) – верно, т.к.

.

3.3. Строим график .

Рисунок 16 – График

4. Цепь второго порядка. При постоянном источнике тока J(t) = J после срабатывания ключа К₂ определяем ток . (Ключ К₁ давно уже сработал).

4.1. Используем упрощенный классический метод, когда дифференциальное уравнение для искомой функции не составляется.

4.1.1. Определяем независимые начальные условия (ННУ): при .

Схема до коммутации: установившийся режим, постоянный источник, С – разрыв, L – закоротка.

Рисунок 17 – Схема до коммутации (ННУ)

4.1.2. Определяем ЗНУ при .

Рисунок 18 – Схема после коммутации ключа К₂ (ЗНУ)

По законам коммутации

По законам Кирхгофа

Из первого уравнения

,

подставим в третье уравнение

откуда

.

Из второго уравнения

.

Производные тока индуктивности и напряжения на конденсаторе

Находим .

Записываем уравнения по законам Кирхгофа

,

тогда

4.1.3. Определяем принужденную составляющую при

Схема после коммутации ключа К₂: установившийся режим, постоянный источник, С – разрыв, L – закоротка.

Рисунок 19 – Схема после коммутации ключа К₂ (ПС)

.

4.1.4. Определяем корень характеристического уравнения .

Используем метод сопротивления цепи после коммутации: , причем , а .

Рисунок 20 – Метод сопротивления

4.1.5. Определяем постоянные интегрирования и .

.

При

,

,

.

4.1.6. Окончательный результат

.

Постоянная времени

,

длительность переходного процесса

,

период свободных колебаний

.

4.1.7. На интервале времени строим график .

Рисунок 21 – График

4.2. Используем операторный метод для определения .

4.2.1. Из расчета установившегося режима до коммутации находим независимые начальные условия (п. 4.1.1)

4.2.2. В операторной схеме после коммутации используем метод наложения.

, поэтому источник на схеме не показываем.

Рисунок 22 – Операторная схема

а) подсхема с источником ЭДС .

Рисунок 23 – Метод наложения

б) подсхема с источником .

Рисунок 24 – Метод наложения

Операторное изображение искомого тока

4.2.3. По теореме разложения находим искомое напряжение .

.

4.3. Методом переменных состояния находим .

4.3.1. Начальные условия

4.3.2. По законам Кирхгофа составляем уравнения состояния

откуда

,

Тогда

4.3.3. Решаем с использованием MathCAD методом Эйлера.

Рисунок 25 – Решение с использованием ПК «MathCAD»

Рисунок 26 – График

Полученный график полностью совпадает с уже построенной зависимостью с использованием классического и операторного методов.

Вывод: все методы расчета показали возможность их применения для расчета переходных процессов в линейных электрических цепях.

Расчёты были произведены классическим(постоянный и гармонический источник), операторным(постоянный и переменный источник напряжения), комбинированным(импульсный источник напряжения) методами, интегралом Дюамеля(экспоненциальный источник напряжения), методом переменных состояний и методом Эйлера.

Результаты методов расчета цепей первого и второго порядка соответствуют друг другу.

Список использованной литературы

1. Теоретические основы электротехники. Т. 1: учебник для вузов / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин. – 5-е изд. – СПб.: Питер, 2009. – 512 с.

2. Теоретические основы электротехники. Т. 2: учебник для вузов / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин. – 5-е изд. – СПб.: Питер, 2009. – 432 с.

3. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учебник для бакалавров / Л.А. Бессонов. – 11-е изд., перераб. и доп. – М.: Юрайт, 2012. – 701 с.

4. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке [и др.]. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.

5. Теоретические основы электротехники: учеб. пособие для вузов: в 2 ч. / В.Д. Эськов, А.В. Каталевская; Национальный исследовательский Томский политехнический университет (ТПУ). – Томск: Изд-во ТПУ, 2011. Ч. 1. – 2011. – 165 с.