Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Тогда удельное акустическое сопротивление

Как и для случая цилиндрической волны нулевого порядка, ζn зависит лишь от kr и не зависит от ψ. При произвольном законе движения по- верхности цилиндра волна не имеет таких свойств.

В случае kr >> 1 для каждой из волн высших порядков амплитуда уменьшается так же, как и в цилиндрической волне нулевого поряд- ка, но в отличие от нее, амплитуда колебаний в разных точках фрон- та волны не постоянна: она зависит от ψ. Таким образом, цилиндри- ческие излучатели высших порядков обладают направленностью, причем характеристика направленности излучателя n-го порядка

пропорциональна cos (nψ) и, как видим, не зависит от радиуса излу-

чателя. Примеры диаграмм направленности излучателей разных по- рядков приведены на рис. 7.22.

Рис. 7.22. Характеристика направленности излучателей n-го порядка

Перейдем к вопросу об эффективности цилиндрического излуча- теля n-го порядка. Мощность излучения отрезком цилиндра высотой h найдем как интеграл от интенсивности по поверхности цилиндра. Интенсивность звука цилиндрической волны n-го порядка на поверх- ности излучателя (см. (7.148) и (7.151)):

2

In r =R = 12 Re (pn υn )= 12 Re (ζn r =R υn υn )= V2n cos2 (nψ)Re (ζn r =R ). (7.152)

Учитывая (7.151)—(7.152), определим мощность излучения n-ой модой колебаний цилиндра:

где S = 2πRh — площадь участка цилиндра высотой h, δ0 = 1, δn = 0,5 при условии n > 0.

Для цилиндрического источника нулевого порядка n = 0 (пульси- рующий цилиндр) удельное акустическое сопротивление на поверхно- сти цилиндра (см. (7.136)) определяется формулой

S = 2πRh для цилиндрической волны нулевого порядка записываем так

Принимая во внимание (7.154) и (7.155), получаем выражение для мощности Р0:

играет роль активной составляющей сопротивления излучения ци- линдрического излучателя n-го порядка, а Vn — амплитуды колеба-

тельной скорости поверхности излучателя. Величина (ζn )r =R опреде-

ляет удельное акустическое сопротивление цилиндрической волны n - го порядка на поверхности излучателя.

Графики Re[ζn ]ρc и Im[ζn ]ρc (при условии r = R) цилиндриче-

ских излучателей разных порядков приведены на рис. 7.23. Сравнив графики, приходим к выводу, что при увеличении порядка цилинд- рического излучателя его эффективность уменьшается. Последнее объясняется тем, что излучатели всех порядков, кроме нулевого, можно рассматривать как совокупность противофазных излучателей, разделенных узловыми линиями, которые взаимно ослабляют друг друга. Взаимное влияние противофазных источников тем сильнее, чем ближе они друг к другу, а при увеличении порядка излучателя расстояние между точками вспучивания колебаний поверхности уменьшается.

Величина kR = πR/(λ/2) равняется числу полуволн, которые ук- ладываются на половине окружности цилиндра. Поскольку величи-

472

на n определяет количество узловых линий на поверхности цилинд- ра, то kRn = nπλR2 равняется расстоянию между узловыми линиями,

выраженными в единицах, кратных половине длины волны λ. При условии kR < n или πR/n < λ/2 расстояние между этими узловыми линиями меньше λ/2. В такой ситуации (см. параграф 7.7 и 7.11) имеем сильное взаимодействие противофазных волн. Поэтому при условии kR < n действительная часть сопротивления излучения уменьшается практически до нуля (см. рис. 7.23, а), что соответст- вует так называемому акустическому короткому замыканию.

Рис. 7.23. Зависимости Re ζn /(ρc ) и −Im ζn /(ρc ) на поверхности цилин- дрического излучателя n-го порядка от волнового радиуса цилиндра kR

В случае kR = n расстояние между узловыми линиями, измеренное на поверхности цилиндра, равняется половине длины звуковой волны. Ситуацию kR = n можно рассматривать как пространственный резо- нанс. При этом сопротивление излучения достигает максимума и, что важно отметить, максимума достигают активная и реактивная со- ставляющие сопротивления излучения. С увеличением n высота этих максимумов возрастает, что связано с увеличением ka = n. Однако одновременное увеличение активной и реактивной частей сопро- тивления излучения n-ой моды создает понятные сложности для эф- фективного излучения звука. В случае kR > n сопротивление излуче- ния асимптотически приближается к ρc.

С учетом (7.157) формула (7.153) для мощности излучателя n -го порядка приобретает вид

Рассмотрим излучение звука при произвольной зависимости колебательной скорости от угла ψ. Снова используем выражение (7.152) для интенсивности звука и, проинтегрировав его по поверхности цилиндра высотой h, найдем мощность излучения. Колебание поверхности цилиндра, заданное функцией V(ψ), представим с помощью ряда Фурье совокупностью мод колебаний типа cos(nψ). Каждая мода колебаний излучает цилиндрическую волну соответствующего порядка. Как следствие, имеем формулы для давления на поверхности излучателя (согласно (7.149) и (7.151))

∞

p = ∑ Vn (ζn )r =R cos (nψ) (7.159) n =0

и колебательной скорости

∞

υr = ∑ Vn cos (nψ). (7.160) n =0

Подставим (7.159) и (7.160) в (7.152) и проинтегрируем по поверхно- сти:

где Re (Zи(n ) ) определено в выражении (7.157).

Таким образом, акустическая мощность при произвольном харак- тере движения поверхности цилиндра является суммой мощностей излучения отдельными модами колебаний поверхности. Поскольку энергия колебаний самого излучателя распределена между отдельными модами, а эффективность излучения тем ниже, чем выше порядок моды, то общая эффективность излучения звука цилиндром будет тем больше, чем выше удельный вес низших мод колебаний (в частности, нулевой моды). Сопротивление излучения цилиндрического излучате- ля любого порядка увеличивается с ростом частоты, т.е. kR = ωR/c. По- этому общая эффективность возрастает при увеличении отношения радиуса цилиндра к длине волны.

Направленность излучения также определяется соотношением между модами колебаний. Амплитуду давления в дальней зоне на расстоянии r от оси цилиндра с учетом асимптотики функции Ханке-

ля определяют так (см. (7.143), (7.149)):

474

Формула (7.162) представляет собой ряд Фурье. Понятно, что, выби- рая должным образом коэффициенты этого ряда (а они зависят от Vn, т.е. от соотношения между модами колебаний), можно реализовать практически любую характеристику направленности в плоскости угла ψ (даже при малом kR). Однако для получения острой направленности необходимо увеличить удельный вес мод высших порядков, и, следо- вательно, увеличение направленности происходит за счет снижения эффективности излучения.

7.12.2. Сферический излучатель

Определим звуковое поле сферического излучателя (рис. 7.24) радиусом a при условии, что амплитуда радиальной ком-

Рис. 7.24. Пример сферического излучателя

475

и определяем (7.172) как уравнение для присоединенных функций Лежандра , которые изучены в математике достаточно хорошо [49, 52]. Оказывается, что в зависимости от величины η решение (7.172) может иметь или не иметь особую точку. Поскольку с физической точки зрения зависимость звукового поля от угла θ не должна стре- миться к бесконечности при любом θ, то следует выбрать такие зна- чения постоянной η2, которым соответствуют решения без особой точки. Решение будет удовлетворительным с физической точки зре- ния, если взять η2 = n(n + 1), где n = 0,1,2,… Тогда уравнение (7.172) приобретет вид

Его решение, которое соответствует определенным значениям посто- янных m и n, обозначают Pn(m) и называют присоединенной функцией

Лежандра первого рода степени n и порядка m. Функции Pn(m)(θ) вы-

ражаются через элементарные тригонометрические функции с по- мощью простого, но громоздкого алгоритма:

где Pn (x) = Pn(0)(x) — так называемые полиномы Лежандра, x = cosθ.

Три последовательных полинома Лежандра связаны между собой ре- куррентным соотношением:

а сами полиномы Лежандра выражаются через тригонометрические функции

Например, для нескольких первых номеров n запишем такие полино- мы:

P0(cosθ) = 1,

Лежандр (Legendre) Адриан Мари (1752—1833) — французский математик.

477

P1(cosθ) = cosθ,

Поскольку Pn(x) — полином степени n, то продифференцировав поли-

Как видим, (7.178) отражает свойство ортогональности функций

Pn(m)(θ).

Понятие ортогональности применимо для функций любого количе- ства переменных. Рассмотрим две функции: Pn(m)(θ)cos(mψ) и

Pn(m′ ′)(θ)cos(m′ψ) . Произведение этих функций проинтегрируем по по- верхности сферы радиусом r = 1:

2∫π π∫ Pn(m) (θ)Pn(m′ ′) (θ)cos (mψ)cos (m′ψ)sin θdθdψ =

0 0

Итак, имеем систему ортогональных функций. Оказывается, что подобно тому, как из трех ортогональных векторов (складывая их в необходимой пропорции) можно построить любой пространственный вектор, так и из бесконечного числа ортогональных функций вида

Pn(m)(θ)cos(mψ) можно построить любую (с несущественными ограни- чениями) зависимость F(θ,ψ) на интервале θ = (0,π) и ψ = (0,2π). Гово-

рят, что система функций Pn(m)(θ) cos(mψ) имеет свойство полноты.

Другими словами, любую зависимость F(θ,ψ), заданную на единичной сфере, можно представить в виде ряда Фурье по функциям

478

выми линиями, которые идут вдоль параллелей, но кроме того, множителем cos(mψ) обусловлены колебания поверхности сферы, ко- торые имеют характер стоячих волн вдоль параллелей. В этом случае узловые линии проходят как по параллелям, так и меридианам (рис. 7.26, б).

Рис. 7.25. Графики полиномов Лежандра Pn(0)(θ), n = 0,1,2,3

Рис. 7.26. Пример мод колебаний поверхности сферы:

а — n > 0, m = 0; б — n > 0, m > 0

Каждая мода колебаний поверхности сферы излучает сфериче- скую волну соответствующего порядка. Рассмотрим свойства одной из таких волн. Полагая, что колебания поверхности сферы имеют ха- рактер стоячих сферических волн, получаем

480