Добавил:

DANiilPESHov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Разные функции. Берман

.pdf

Скачиваний:

101

Добавлен:

07.03.2023

Размер:

133.45 Кб

Скачать

☆

Производная и дифференциал	63

647◦. y =

648. y =

	√		√
1	2		1+ 2 th x
2 th x +		ln	1−√		th x .
	8
				2

√

x1 ch 2x + x sh 2x.

649.y = x2e3x csch x.

3.2.7.Логарифмическое дифференцирование

Если функция y = f (x) упрощается при логарифмирова-

нии, используем формулу (ln y) =	y	, отсюда y	= y(ln y) .
	y

Вчастности, для степенно-показательной функции y = uv по-

лучаем lny = vlnu, (lny) = v lnu + v u	, y = uv	v lnu + v u .
u		u

В задачах 650–666 продифференцировать данные функции,

используя правило логарифмического дифференцирования.

650. y = xx2 .

651◦. y = xxx .

652.y = (sin x)cos x.

653.y = (ln x)x.

654. y = (x + 1) x .

655. y = x3ex2 sin 2x.

656. y =

−

√x+1

(x−5)

657. y = xln x.

√

658. y =

(x+1)

x−2

√5

(x−3)2

◦

√

659. y =

x sin x 1 − e

660. y =

1−arcsin x .

1+arcsin x

661. y = x

662. y = xsin x.

664. y =

2x√x.

663. y =

1+x

665. y = (x2 + 1)sin x.

666. y =

(x2−1)2

x(x2+1)

3.2.8.Разные функции

Взадачах 667–770 продифференцировать данные

функции. √

667. y = (1 + 3 x)3.

	y = 1
668. y = a tg		kx + b .
669.		+	√	2px	.

1−ex .

1+ex

64	Глава 3

670.

671.

672◦.

673.

674.

675.

676.

677.

678.

679.

680.

681.

682.

683.

684.

685.

686.

◦

687.

688.

689.

690.

◦

691.

692.

693.

694.

695.

696.

◦

697.

698.

699.

700.

701.

y = arctg(x2 − 3x + 2).

y = lg(x −2

cos x).

y = 3 cos

−

cos

y = 5 tg

+ tg

8 .

y =

√x+√x

y = sin x sin 2x.

y = sin ecos x.

√3

y = x

− 8.

y = e−x

ln x.

√

y =

x +

√

arctg x+1 .

y =

y = e

2x+3

−2

− x +

2 .

y =

2 sin

cos 2x .

x√

y =

arctg

√

+ctg

−

y =

tg 2

y = sin2

x3 ctg x2 .

y =

√4x5+2

3x4

y = ln(x +

√

+ x ).

y = x arctg

√

y = 1 + tg2 x + tg4 x.

y= cos 2x ln x.

y= 23 arctg x + 13 arctg 1−xx2 .

y = arcsin(n sin x).

√

y = arcsin

sin x

y =

sin6 3x −

sin8 3x.

√

x arcsin x.

y = x −arcsin−x

y = cos

y =

x +

y =

x +

√x.

arccos √

−

y = log3

−

y = sin2

1−ln x

sin x).

y = arctg

1+−x .

√

702. y = ln x+ 1−x2 .

◦ x

703. y = x arcsin(ln x).

704. y = tg

Производная и дифференциал	65

705. y = cos x

1 + sin2 x.

706. y = 0,4

cos 2x2+1 − sin 0,8x 2.

707.

10√

y = x ·1

708. y =

tg2 2x

709. y = ln arctg

1+x

710. y = ln

√1

−1

711.

y = 3

1 + x√

x + 3

712. y = x2

1 + √

713. y =

√

1+sin2 x

714. y = x3 arctg x3.

715. y = ln sin x .

ln cos x

716. y = arcsin x + √

717. y = arcsin 4x .

1 − x

718. y = e

11−4x

ln x

719. y = ln

1−xex

720. y = 10x tg x.

721◦. y = sin2 x sin x2.

722. y =

2 cos x

√

cos 2x

723. y = x

1−x2

724◦.

1+x

1 arctg x.

1 ln 1+x

y =

1−x − 2

4 x

725. y = 2

ln x

726. y =

− (a − b) arctg

(a − x)(x − b)

727. y =

sin 3x

2 sin2 x cos x

728. y = e 1+−x .

729◦. y =

√

− a arccos xa .

a2 − x2

√

730.

+ 1

1 +

y =

sin2 x

−cos2 x x

731. y =

1+ctg x

◦

√

1+tg x

732. y = ln(x +

− 1)

−

√

−

733.

ax(a sin x

−

cos x).

◦

y = e 1

−

cos x

734. y = xe

735. y =

arctg e−2x

736. y = ex(sin 3x − 3 cos 3x).

√

◦

arcsin x + (x

737.

y = 3x

+ 2)

−

x .

738. y =

√

1+e−√

a−x . x−b

66	Глава 3

739. y = 2 arcsin

−

√

2 + 4x

x .

−

√

740◦. y = ln(ex cos x + e−x sin x).

741. y =

1+x arctg x

√

1+x2

742. y = cos(x−cos x) .

743. y = ex sin x cos3 x.

744. y =

9 + 6

√5

x .

746. y = e

745. y = x

− ln 2ex + 1 +

√

e2x + 4ex + 1

◦

arctg √

1+ln(2x+3)

747. y = ex+e−x .
	e
748. y = ln tg x2		− ctg x ln(1 + sin x) − x.
		√

y= 2 ln(2x − 3√1 − 4x2) − 6 arcsin 2x.

750.3x2−1y = + ln 1 + x2 + arctg x.3749.

◦

√

x+1

751. y =

2 (3

−

+ 2 arcsin

√

752. y = ln(x sin x

1 − x ).

√

sin x.

753. y = x

1 + x

√

754. x =

x+2(3−5x)

(x+1)

756◦. y =

ex2−arctg x+

21 ln x+1.

755. y =

1 + xe√

√

1+tg x2

757. y =

sin x

3 sin x

cos4

1−tg

8 cos x

758. y =

arctg x

ln5 x

3x−1 cos x

759. y =

−

(arccos x)

3a2x

√

3a4

√

◦

2 3

2 2

760. y = x

(x + a ) +

x + a

ln(x+

x + a

◦

√

761. y = x(arcsin x)

−

2x + 2

−

x arcsin x.

−

−e

762. y = ln cos arctg e

y =

+ √

√−

3 ln

√

763. y =

m√ab arctg

b .

764.

x+1

arctg 2x

1 .

√

x −x+1

√

766. y = (tg 2x)ctg x2 .

765◦.

y = ln

1+x

−

1−x

+ 2 arctg

1−x .

√1+x+√1−x

1+x

767. y =

2x+1

2x 1

4 xx2

+x+1

5x−5

√

2+4

768. y = ln

√

arctg

√

+ arctg

√−

x2n

769. y = arccos

−

2n−+1 .

√

770. y =

(1+2x)2

−

arctg 4x−

1 .

−

1+8x

2x+4x

√

Производная и дифференциал

771. Доказать, что функция y = ln

удовлетворяет со-

1+x

отношению xy + 1 = ey.

772◦. Доказать, что функция

y = 2

+ 2 x

x2 + 1 + ln x + x2 + 1

удовлетворяет соотношению 2y = xy + ln y .

773. Доказать, что функция y =

arcsin x

удовлетворяет со-

√

1−x

отношению (1 − x2)y − xy = 1.

774.Вычислить суммы:

1)1 + 2x + 3x2 + . . . + nxn−1;

2)2 + 2 · 3x + 3 · 4x2 + . . . + n(n − 1)xn−2.

3.2.9. Обратные функции

Если y = f (x) — обратимая функция и x = f −1(y) — обратная функция, то при условии yx = 0

xy = 1 . yx

775. Допустим, что правило дифференцирования степенной´ функции установлено только для целого положительного показателя. Вывести формулу дифференцирования корня, используя правило дифференцирования обратной функции.

776◦. x=earcsiny; найти выражение для dy					через y; через x.
777.	s + s3; выразить			dx
		ds через s.
	t = 21− 31+v	dt				du	dv
778. u = 2 ln 1−v ; проверить соотношение						dv	· du = 1.
779. Зная, что функции arcsin		√	x	и sin2 x — взаимно об-

ратные функции и что (sin2 x) = sin 2x, найти (arcsin √x) .

780◦. Обозначим функцию, обратную степенно-показатель- ной функции y = xx, символом α(x), т. е. положим, что из y = xx следует x = α(y). Найти формулу для производной от функции y = α(x).

781. Функции, обратные гиперболическим, обозначаются

символами Arsh x,		Arsh x, Arth x. Найти производные этих
функций.
782. s = te−t; найти dt .
◦	1 x4	ds	dx
◦	1 x4		dx
783. y =	1+−x4	. Выразить	dy	через x; через y. Показать

справедливость соотношения dxdy · dxdy = 1.

Соседние файлы в папке 1семестр

#
07.03.202334.86 Кб88Индивидуальные задания только Гаусс.docx
#
07.03.202328.48 Кб88Индивидуалььные задания.docx
#
07.03.2023328.15 Кб84Как1.jpg
#
07.03.2023271.15 Кб84Как2.jpg
#
07.03.202355.62 Кб90Примеры заданий для экзамена.docx
#
07.03.2023133.45 Кб101Разные функции. Берман.pdf
#
07.03.202358.01 Кб98Экзамен вопросы математика (исходный).docx