Чтобы перейти от масштаба по энергии в джоулях к масштабу в

Это переписанное исходное уравнение, где расстояние измеряется в атомных единицах, энергия – в ридбергах, заряд – в элементарных зарядах (1,6·10-19 Кл), а 1.

Асимптотическое поведение решения (волновой функции)

Исходя из требования конечности волновой функции, константу С2 будем считать равной нулю:

P ( ) Ce C .

( 1) 2 a1( 1) 1 a2 ( 2)( 1)

( 1) 2 ( 1) 1 ( 1) 2z 1 2za1 2za2 1

E Ea1 1 Ea2 2 0

При 0 преобладают те слагаемые, у которых меньше показатель

степени. Наименьшей степенью ρ является ργ-2. Пренебрежем слагаемыми с более высокими степенями:

( 1) 2 ( 1) 2 0

Это уравнение обращается в тождество при

( 1) ( 1)

( 1) ( 1)

2 2

2 2

( )( ) ( )

Это уравнение имеет два корня:

Мы ищем решение вблизи нуля в виде:

P( ) (1 a1 a2 2 ...).

Следовательно, вблизи нуля можно записать:

P0 ( ) C1 (1 a1 1 a2 2 ...)

C2 1 (1 a1 2 a2 3 ...).

R( ) P( ) .

Итак, вблизи нуля решение должно иметь вид

f ( ) P0 ( 0 C2 1 (1 a1 2 a2 3 ...).

При больших r и ρ решение должно иметь вид

P ( ) C1e

Движение частицы в сферически симметричном потенциале

10. Атом водорода. Движение электрона в кулоновом поле.

Решение радиального уравнения Шредингера для кулоновского потенциала.

Ранее мы показали, что вблизи нуля решение должно иметь вид

f ( ) P0 ( ) C2 1(1 a1 2 a2 3 ...). (4)

При больших r и ρ решение должно иметь вид

Решение, удовлетворяющее обоим требованиям будем искать в виде

где A C1C2 - нормировочный множитель.

При малых ρ e–αρ ≈ 1 и решение имеет вид (4), а при очень больших ρ экспонента убывает быстрее роста степенной функции и можно считать, что решение имеет вид (5).