3.3.2. Частица на скачке потенциала.
Полученное решение – плоская волна, то есть состояние с определённым значением импульса.
Никаких ограничений на значения энергии не существует, спектр значений энергии – непрерывный.
Вид решения для α1 = 0 показан на рисунке.
3.3.2. Частица на скачке потенциала.
Рассмотрим решение стационарного уравнения Б Шрёдингера для области пространства 2 (см. рис.).
В области 2 W = W0, поэтому уравнение Шредингера имеет вид:
Уравнение Шредингера можно переписать следующим образом:
В отличие от случая A коэффициент перед функцией Ψ(x) отрицателен, так как |
E| < |W0|.
Перепишем уравнение в виде:
3.3.2. Частица на скачке потенциала.
Б
Решение уравнения Шредингера в этом случае будем искать в виде:
Вычислим вторые производные:
Подставим в уравнение:
Таким образом, в данном случае решение действительно имеет вид
3.3.2. Частица на скачке потенциала.
Изобразим примерный вид решения в области 2.
Волновая функция не может неограниченно возрастать, поэтому решение, обозначенное на рисунке буквой «б» существовать не может.
В выражении для волновой функции коэффициент B1 следует считать равным нулю.
3.3.2. Частица на скачке потенциала.
Теперь нам предстоит «сшить» решение в точке x = 0.
Необходимо добиться непрерывности волновой функции и её производных в точке x = 0.
3.3.2. Частица на скачке потенциала.
Решение, непрерывное в точке x = 0, должно выглядеть так.
Отметим, что значение фазы гармонического косинусоидального решения в точке x = 0, не может быть равно 0.
Запишем условие непрерывности волновой функции и её первой производной в точке x = 0.
Вычислим производные в точке x = 0.
3.3.2. Частица на скачке потенциала.
Подставим значение координаты x = 0.
Разделим второе уравнение системы на первое.
3.3.2. Частица на скачке потенциала.
Наличие ненулевых значений волновой функции в классически недоступной области x > 0 означает, что квантовые частицы могут проникать в классически недоступные области. Этот факт лежит в основе объяснения туннельного
эффекта.
3.3. Одномерные задачи.
3.3.3.Частица в потенциальной яме
сбесконечными стенками.
3.3.3. Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме с прямоугольными стенками.
Рассмотрим микрочастицу, которая может совершать одномерное движение в области 0 < x < L. Потенциальная энергия внутри этой области равна нулю, а за пределами этой области стремится к бесконечности.
Решение уравнения Шрёдингера найдём сначала в отдельных областях 1, 2 и 3, затем потребуем непрерывности волновой функции и её производной на границах областей, в точках x = 0 и x = L.
В областях 1 и 3 потенциальная энергия одинакова, поэтому и решение уравнения Шрёдингера должно быть одинаковым.