
- •1. Описание сигнала и помехи
- •2.Проверка статистических гипотез
- •2.1.Определения
- •2.2. Критерий Байеса и правило принятия решений
- •2.3. Критерий максимума апостериорной вероятности
- •2.4. Критерий и правило максимума отношения
- •2.5. Критерий Неймана-Пирсона и правило
- •2.6. Минимаксный критерий
- •3. Расчет вероятностей ошибок
- •4. Функционал отношения правдоподобия
- •5. Вероятность ошибки и вероятность правильного
- •6. Методика эксперимента
5. Вероятность ошибки и вероятность правильного
принятия решения
Определим вероятность ошибки и вероятность правильного обнаружения D = 1 - как функция порога с* . Как известно, ошибка первого рода возникает тогда, когда принимается решение о наличии сигнала s(t) в принятой реализации в то время, как сигнал отсутствует. Вероятность этого события равна
.
(5.1)
Для упрощения расчетов произведем нормирование случайной величины V , сдвинув V на величину условного математического ожидания при отсутствии сигнала M[V / s=0] и пронормировав полученное выражение относительно условного среднеквадратического отклонения v0 при отсутствии сигнала.
Сдвиг и нормировка производится как левой, так и правой частей неравенства (5.1). В результате преобразований формула (5.1) примет вид
(5.2)
где
,
. (5.3)
Вероятность правильного обнаружения D = 1 - как функция порога с* есть вероятность превышения случайной величиной V порога с *, но при наличии сигнала в принятой реализации:
.
Точно также, как и в предыдущем случае , производится смещение случайной величины V на величину условного математического ожидания M( V / s 0 ) и нормировка ее относительно условного среднеквадратического отклонения Z, равного v1, но при наличии сигнала. В результате получим вероятность правильного обнаружения
(5.4)
где
,
. (5.5)
В интегральной форме вероятность ошибки и вероятность правильного решения D = 1- имеют вид
,
( 5.10 )
,
(5.11 )
где с 0 и с 1 вычисляются при помощи формул (4.18), (4.19), (4.24), (4.25), (4.29), (5.3), (5.5).
Формулы (5.10) и
(5.11) позволяют построить рабочую
характеристику приемника при использовании
непрерывных наблюдений на интервале
(0,
)
.
6. Методика эксперимента
1. Для того, чтобы снять рабочую характеристику, необходимо измерить вероятность правильного обнаружения D=1- и вероятность ошибки первого рода . Эти вероятности измеряются методом статистических испытаний. Для измерения D=1- в течение времени Тн периодически воспроизводится передача “1” по каналу связи при заданном отношении сигнал/шум и фиксированном значении порога. (Переключатель П1 в положении “Сигн.+Шум”, а переключатель П2 в положениях “Е1“, “Е2 “, “Е3 “).
В качестве оценки вероятности правильного обнаружения берется отношение числа импульсов на выходе приемника Ni к общему числу сигналов N*, поступивших на вход приемника за время измерения Тн, т.е. D*= Ni / N* .
Для измерения в течение времени Тн периодически воспроизводится передача “0” по каналу связи с определенным уровнем шума. (Переключатель П1 в положении “Сигн.+Шум”, а переключатель П2 в положении “0”). Вероятность ложной тревоги вычисляется как отношение числа ошибочных решений Ni к общему числу испытаний за время Тн: * = Ni / N*.
При N* оценки * и D* стремятся к своим истинным значениям и D. Следовательно, результаты измерений тем точнее, чем больше время измерения. Отношение Ni/N* измеряется частотомером. Для этого импульсы с выхода приемника Ni подаются на вход А, а с выхода N* - на вход Б частотомера. Переключатель частотомера “Род работы” устанавливается в положение “Отношение частот A/B”. Время измерения Тн задается переключателем “Время счета”. При этом на цифровом индикаторе частотомера будет высвечиваться значение * или D* в зависимости от положения переключателя П1.
Рекомендуется регистрировать значения и D при одном и том же значении порога С*. Для этого при фиксированном значении порога С* переключатель П1 поставить в положение “Сигн.+Шум” и манипулировать переключателем П2 .
Для того, чтобы вычислить значение порога триггера Шмидта приведем правило решения (4.16) к виду
.
Выходное напряжение интегратора pавно
Здесь К постоянный множитель, учитывающий коэффициент передачи перемножителя и интегратора. Поэтому величина порога СТ* триггера Шмидта связана с порогом С выражением
(6.1)
Значение К для каждой установки написано на передней панели.
2. В пункте 8 ЗАДАНИЯ необходимо построить правила 1 , 2 , 3 проверки гипотез о состоянии источника. Согласно правилу j интервал значений порогов (Сmin* , Cmax* ) разбивается точкой Сj на область (Сmin *, Cj ) - приема гипотезы Н0 , и область (Сj , Cmax* ) - приема гипотезы Н1 . Примем С2 = СБ , где СБ - порог Байеса, найденный в пункте 7, а пороги C1 и С3 определим по формулам
C1 = С2 - k0 (С2 - Сmin ) , C3 = С2 + k0 (Сmax - С2 ) ,
где 0 < k0 < 1 и задается преподавателем.
3. При расчетах вероятностей , D=1- и порога С можно воспользоваться как экспериментальными данными , так и построенными графиками. Погрешность представления , D и С зависит от качества интерполяции и качества построения графиков. Вероятности и D по графику определяются следующим образом:
- для известного С в произвольном месте чертежа под углом к оси абсцисс проводится прямая, удовлетворяющая уравнению tg = C ,
- построенная прямая переносится параллельно самой себе до касания с выбранной рабочей характеристикой,
- в точке касания определяются вероятности и D.
З А Д А Н И Е
1. Ознакомиться с описанием экспериментальной установки, методикой эксперимента, получить от преподавателя значения априорной вероятности P0 состояния источника, матрицу потерь П, отношение сигнал/шум и коэффициент k0 .
2. Поставить переключатель П1 в положение “Сигн.”. Какому состоянию канала соответствует это положение ?
Поставить переключатель П2 в положение “Е1 “.
Пронаблюдать и зарисовать осциллограммы напряжений в контрольных точках КТ1, КТ2 , КТ3. Объяснить изменение формы сигнала в контрольной точке КТ3 при изменении порога.
Измерить амплитуду и длительность радиосигнала в контрольной точке КТ1 во всех положениях переключателя П2 . По результатам измерений вычислить энергию сигнала E s .
3. Поставить переключатель П1 в положение “Сигн.+Шум”.
Пронаблюдать форму напряжений в тех же точках при положениях Е1, Е2, Е3 переключателя П2. Какому состоянию канала соответствует эти положения ?
Для каждого положения переключателя П2 вычислить отношение сигнал/шум. В положении переключателя П2 “0” пронаблюдать форму напряжений в контрольных точках. Объяснить изменение формы сигналов в точке КТ3 при изменении порога.
4. Снять зависимость вероятности правильного обнаружения D и вероятности ошибки от величины порога при трех значениях отношения сигнал/шум.
5. По полученным данным построить рабочие характеристики приемника на плоскости (, D) для трех значений отношения сигнал/шум, пересчитав предварительно пороги СТ* триггера Шмидта в пороги С, пользуясь соотношением (6.1).
* Расчет вероятностей ошибок i , i для различных правил принятия решения по заданному преподавателем энергии сигнала и рассчитанным порогам триггера Шмидта СТi произвести по схеме
6. Вычислить вероятности и D по формулам (5.10) и (5.11) для заданного преподавателем отношения сигнал/шум при тех же значениях порогов, что и в пункте 5.
Построить теоретическую рабочую характеристику на том же графике, что и экспериментальная рабочая характеристика и сравнить теоретическую кривую с экспериментальной.
7. Критерий Байеса. Для заданной преподавателем матрицы потерь П, априорного распределения состояния источника P0 и отношения сигнал/шум построить средний риск как функцию порога по формуле (2.7), приведя его к виду
R(C) = P1 П11 + P0 П00 + (С) P0 (П10 - П00) - D(C) P1 (П01 - П11).
Определить порог СБ , при котором функция риска достигает минимум, и соответствующие ему вероятности и D .
Для найденных и D проверить формулу (3.16).
8. Минимаксный критерий. Задать три правила 1 , 2 , 3 проверки гипотез о состоянии источника. Выбрать наилучшее правило.
9. Критерий максимума апостериорной вероятности. По заданной априорной вероятности P0 состояния источника для каждого отношения сигнал/шум по экспериментальным кривым найти пороги СМАВ i и вероятности ((di), D(di)), соответствующие им. Построить график D(di) и объяснить его поведение.
10. Критерий максимума правдоподобия. Для каждого отношения сигнал/шум по экспериментальным кривым найти пороги С1МП , С2МП , С3МП и соответствующие им вероятности ((d1) , D(d1)), ((d2) , D(d2)), ((d3), D(d3)). Построить график СМП(di) и объяснить его поведение.
11. Критерий Неймана-Пирсона. Положим вероятность ошибки первого рода равна вероятности , найденной в п. 8. Определить порог СН-П и вероятность правильного обнаружения D по экспериментальной кривой и теоретически для отношения сигнал/шум, заданного в п.1. Сравнить полученные результаты.
12. Построить таблицу для заданного в п.1. отношения сигнал/шум
Критерий |
Априорные данные |
Порог |
, D |
Байеса |
|
|
|
min max |
|
|
|
МАВ |
|
|
|
МП |
|
|
|
Неймана-Пирсона |
|
|
|
Сравнить полученные результаты. При каких условия критерии min max, МАВ. МП приводятся к критерию Байеса.