2.Проверка статистических гипотез

2.1.Определения

Введем некоторые термины, необходимые в дальнейшем.

Выборка y(t _i) = у_i - значение случайного процесса (t) в момент времени t = t _i .

Выборочное пространство G _i - пространство всевозможных зна­чений y_i .

Выборка объема m - значения сдучайного процесса (t) в моменты времени t ₁,t₂,...,t_m , или последовательность измеряемых значений y(t₁),y(t₂),...,y(t_m) = у₁,y₂,...,y_m = y.

Выборочное пространство G - многомерное пространство всевозможных значений y₁,y₂,...y_m , являющееся объединением пространств G _i .Размерность пространства определяется объемом выборки m.

Дискретный источник описывается своими состояниями s₁, s₂,..., s_k . Cостояние, в котором может находиться источник, является случайным. Каждому состоянию источника s_j сопоставляется сигнал s(t,  _j) c параметром  _j и вероятностью P _j того, что источник находится в состоянии s _j , j=1, 2, ... , k .Поскольку источник обязательно находится в одном из состояний, то должно выполняться условие нормировки :

Гипотеза H_i - предположение о том, что источник информации находится в состоянии s _i .В частности, источник может находиться в двух состояниях s ₀ и s ₁ , тогда говорят о двухальтернативных гипотезах H ₀ и H ₁ .В задаче обнаружения проверяются гипотезы - источник находится в состоянии , т.е. сигнал s(t,)=0 (сигнал отсутсвует) и гипотеза - источник находится в состоянии , т.е. сигнал s(t,)  0.

Функция правдоподобия - условная плотность распределения w(y₁,...y_m, t₁,...,t_m/ s _i), рассматриваемая как функция состояния источника s_i. При известной выборке y₁,...,y_m она показывает насколько одно состояние источника s_i “более вероятно“, чем другое состояние s _j .

Статистика - функция от результатов выборки. На основании статистики выносится решение о принятии той или иной гипотезы.

Целевая функция , функция цели - название оптимизируемой функции, зависящая от априорных данных и выборки. Целевая функция может быть функцией стоимости эксперимента, функцией числа испытаний и т.д..

Критерием качества принятия решения является оптимальность целевой функции в некотором смысле .

Если подвергается испытанию две гипотезы Н ₀ и Н ₁, из критерия качества вытекает правило разбиения  выборочного пространства G на подпространства G ₀ и G ₁. В теории проверки двухальтернативных гипотез подпространство G₁ называется критической областью.

По результатам обработки реализации y₁,y₂,...,y_m в соответствии с правилом  принимаются решения  _j o состоянии источника сигналов. В частности, при проверке двухальтернативных гипотез принимается решения:

 ₀ - верна гипотеза Н₀, если выборка y₁,...,y_m принадлежит подпространству G ₀ ;

 ₁ - верна гипотеза Н ₁, если выборка y₁,...,y_m принадлежит подпространству G ₁ .

Наблюдаемые значения y₁,y₂ ,...,y_m - случайны и поэтому возможны ошибочные решения. Мерой ошибки служат вероятности ошибочных решений.

P(  _i / s _j ) = P((y₁,...,y_m)  G _i / s _j ) - вероятность того, что выборка y₁,...,y_m принадлежит подпространству G _i в то время как состояние источника s _j . Вероятности ошибок P(  _i / s _j ) , ( j, i ) = 0; 1, зависят от правила разбиения пространства G на подпространства. Для выбора того или иного правила разбиения служит критерий разбиения вырочного пространства .

При проверке двухальтернативных гипотез принято классифицировать вероятности ошибок P( _i / s _j) в зависимости от проверяемых гипотез.

P(  ₁ / s ₀ ) = P(y₁,...,y_m)  G ₁ / s ₀ ) =  - вероятнсть ошибки первого рода . В радиолокации она называется вероятностью ложной тревоги.

P(  ₀ / s ₁) = P((y₁,...,y_m)  G ₀ / s ₁) =  - вероятностью ошибки второго рода. В силу того, что подпространства G₀ и G₁ не пересекaются, имеем

P(  ₀ / s ₀ ) = P((y₁,...,y_m)  G ₀ / s ₀ ) = 1-  - вероятность правильного решения о верности гипотезы H ₀ ,

P(  ₁ / s ₁ ) = P((y₁,...,y_m)  G ₁ / s ₁ ) = 1-  - вероятность правильного решения о верности гипотезы H₁. В радиолокации она называется вероятностью правильного обнаружения.

Пользуясь функцией правдоподобия w(y₁,...,y_m / s ), запишем соответствующие вероятности в интегральной форме

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

Как видно из формул (2.1) - (2.4), вероятности ошибок зависят от правила разбиения пространства G на подпространства G ₀ и G ₁ .