4. Функционал отношения правдоподобия

Рассмотренная выше теория обнаружения сигнала на фоне шума предполагает обработку последовательности случайных величин. На практике существуют системы обработки сигналов , непрерывных во времени. Поэтому произведем переход от дискретного времени к непрерывному и покажем видоизменение рабочих формул.

Сигнал s(t) считается полностью известным. Помеха представляет аддитивный белый шум n(t) с математическим ожиданием, равным нулю, и корреляционной функцией в виде -функции, т.е

M[n(t)] = 0, M[n(t₁) n(t₂)]= (N₀ /2) (t₂ - t₁). (4.1)

Время наблюдения ограничено интервалом (0, Т_Н).

Представим модель сигнала (t) в виде ряда

(4.2)

где - взаимно ортогональные функции, a коэффициенты (t_i) вычисляются как

. (4.3)

Выберем в качестве ортогональных функций не перекрывающиеся прямоугольные импульсы

(4.4)

где T= t _i+1 - t _i и постоянна для всех i.

Тогда число ортогональных функций на интервале наблюдения T_H будет , а коэффициенты разложения запишутся как

(4.5)

Из последнего выражения видно, что (t_i) - это усредненное значение смеси сигнала и шума на интервале ( t _i , t _i +T ). Введение ортогональных функций _i (t) позволило перейти от непрерывного процесса к его дискретному представлению. Как следствие представления в виде ряда (4.2), модель сигнала s(t), известного полностью, и модель шума n(t) могут быть соответственно записаны через разложение по ортогональным функциям:

, , (4.6)

где

Выражения (4.2), (4.5), (4.6) показывают взаимосвязь между случайными процессами (t) , n(t) и их коэффициентами разложения (t_i), n(t_i). Точно такая же связь существует между реализациями случайных процессов y(t), n(t) и их коэффициентами разложения y(t_i) , x(t_i):

(4.7)

(4.8)

Из предыдущих формул видно, что M[n(t _i )]= 0.

Корреляционный момент между случайными величинами n(t _i ) и n(t _j ) равен

B(n(t _i ) , n(t _j ) ) = M[n(t _i ), n(t _j ) ] =

(4.9)

Известно, что дисперсия случайной величины равна значению корреляционного момента при равенстве случайных величин. Следовательно, дисперсия случайной величины n(t _i ), или дисперсия шума на один отсчет, равна:

. (4.10)

Как видно, дисперсия зависит от длины интервала дискретизации T.

Функция правдоподобия для последовательности сигналов была приведена в разделе 2.2. Запишем отношение правдоподобия с учетом дисперсии шума на один отсчет

(4.11)

При переходе к пределу, когда T  0, а число отсчетов m стремится к бесконечности, суммы в выражении (4.11 ) перейдут в соответствующие интегралы. В результате имеем

(4.12)

Выражение (4.12) называется функционалом отношения правдоподобия L(y(t)).

Интеграл

(4.13)

входящий в выражение (4.12), представляет энергию сигнала на интервале наблюдения (0, Т_Н) и считается известным.

Интеграл

(4.14)

называется корреляционным интегралом.

Правило принятия решения (3.1) не изменяется и определяется неравенством

(4.15)

где порог С зависит от выбранного критерия.

Прологарифмируем обе части неравенства (4.15 ) и после преобразований с учетом (4.12) получим

(4.16)

Обозначим левую и правую части неравенства (4.16) как

(4.17)

(4.18)

В статистической радиотехнике выражение

(4.19)

называется отношением сигнал/шум. Преобразуем порог с^* с учетом (4.19):

(4.20)

Правило принятия решений (4.16) примет вид

. (4.21)

Величина V - случайная. Ввиду того, что преобразование (t) = n(t) + s(t) - линейное и шум n(t) распределен по нормальному закону, то и случайная величина V распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией, зависящими от наличия или отсутствия сигнала s(t) в принятой реализации :

_(4.22)

Условные математические ожидания V при отсутствии и наличии сигнала s(t) в принятой реализации записываются как

(4.23)

Учитывая, что x(t) является реализацией шума n(t) с мате-матическим ожиданием, равным нулю, то M(x(t)) = 0. Вследствие этого получим

(4.24)

Условное математическое ожидание V при наличии сигнала в принятой реализации имеет вид

(4.25)

Условные дисперсии рассчитываются следующим образом.

(4.26)

(4.27)

Как видно из выражений (4.26) , (4.27) , условные дисперсии случайной величины V и при наличии сигнала , и при его отсутствии равны ,т.е.

. (4.28)

C учетом (4.19) будем иметь

. (4.29)

Подставляя (4.25), (4.29) в (4.22), получим условную плотность распределения случайной величины V при различном состоянии источника.