
- •1. Описание сигнала и помехи
- •2.Проверка статистических гипотез
- •2.1.Определения
- •2.2. Критерий Байеса и правило принятия решений
- •2.3. Критерий максимума апостериорной вероятности
- •2.4. Критерий и правило максимума отношения
- •2.5. Критерий Неймана-Пирсона и правило
- •2.6. Минимаксный критерий
- •3. Расчет вероятностей ошибок
- •4. Функционал отношения правдоподобия
- •5. Вероятность ошибки и вероятность правильного
- •6. Методика эксперимента
2.2. Критерий Байеса и правило принятия решений
В качестве априорной информации наблюдатель должен знать матрицу потерь П, функцию правдоподобия w(y1,...,ym / s 0 ), w(y1,...,ym / s 1), вероятности состояний источника P( s 0 ), P( s 1) таких, что
P(s 0)+ P(s 1) = 1 .
Матрица потерь отражает условную плату за принятые решения:
,П
i j = П(
i /
s j
), (i, j) = 0; 1,
П i j - потери при принятии решения i в то время, как источник находился в состоянии s j . Обычно П 1 0 > П 0 0 ; П 0 1 > П 1 1. Запишем условные математические ожидания потерь, или условные риски, при состоянии источника s0 и s1 соответственно
r 0 = M[П / s 0 ] =
=П00 P((y1,y2,...,ym) G 0 / s 0 ) + П10 P((y1,y2,...,ym) G 1 / s 0 ) =
= П00 (1 - )+ П10 , (2.5)
r1 = M[П / s 1 ] =
=П11 P((y1,y2,...,ym) G 1 /s 1 ) + П01 P((y1,y2,...,ym) G 0 / s 1 ) =
= П11 (1- )+ П01 (2.6)
В качестве целевой функции для критерия Байеса принимается безусловное математическое ожидание потерь M[П], называемое средним риском , и имеет вид
R = M[П] = P0 M[П /s0) + P1 M[П /s1 ] =
= P0 (П00 (1-) + П10 ) + P1 (П11 (1-) + П01 ) (2.7)
Разбиение
пространства G на подпространства G0
и G1
можно осуществить различными способами.
Выбор подпространства G1,
минимизирующего риск R называется
критерием
Байеса, а
правило разбиения пространства G по
критерию Байеса называется правилом
Байеса
.
Заменим в (2.7) условные математические ожидания потерь через соответствующие вероятности
R = P0 П00 + P1 01 –
(2.8)
Вce величины, входящие в эту формулу неотрицательны. К выборочному подпространству G1 отнесем только те выборки y1,y2,...,ym, которые обеспечивают не отрицательность подынтегрального выражения. Тогда средний риск R примет минимальное значение. Исходя из этого, имеем правило Байеса
P1 (П01- П11) w(y1,y2,...,ym /s1) - P0 (П10- П00) w(y1,y2,...,ym /s 0) 0 . (2.9)
Преобразуем неравенство (2.9) таким образом, чтобы справа находились априорно известные величины, а слева - функции, зависящие от выборки:
(2.10)
Правая часть неравенства (2.10) называется порогом Байеса С Б :
(2.11)
левая часть - отношением правдоподобия L(y):
(2.12)
Минимизация среднего риска R производилась выбором подпространства G1. Поэтому, если выполняется неравенство (2.9), то принимается гипотеза H1, в противном случае - гипотеза H0 . Перепишем формулу (2.10 ) в виде
(2.13)
Это выражение называется правилом принятия решений по критерию Байеса.
Отношение правдоподобия L(y) - функция от выборки y1,y2,...,ym и является одномерной случайной величиной, описываемой некоторым законом распределения с параметрами, зависящими от закона распределения шума и состояния источника.
2.3. Критерий максимума апостериорной вероятности
и правило принятия решений
Для применения критерия максимума апостериорной вероятности априорно необходимо знать вероятность P(s j ) того, что источник находится в состоянии s j , функцию правдоподобия
w(y1,y2,...,ym/s j ) при состояниях источника s j
Используя теорему об умножении вероятностей, совместное распределение вероятностей выборки y1,y2,...,ym и состояний источника sj можно записать как
P((y1,y2,...,ym), s j ) = P(y1,y2,...,ym)P(s j /y1,y2,...,ym) =
= P( s j )w(y1,y2,...,ym/ s j ) . (2.14)
Условная вероятность P(s j / y1,y2,...,ym) называется апостериорной вероятностью состояния источника и определим ее из формулы (2.14):
(2.15)
Критерием принятия решения в данном случае будет максимальное значение апостериорной вероятности P(s j / y1,y2,...,ym) по отношению к апостериорным вероятностям P(s i / y1,y2,...,ym):
P(s
j
/y1,y2,...,ym)
P(s
i /
y1,y2,...,ym)
для
всех
i
j (2.16)
Если выполняется неравенство (2.16) , то гипотеза Н j не отвергается.
Для двухальтернативных гипотез этот критерий приводит к неравенству
или
(2.16)
Неравенство (2.16) является правилом принятия решений по критерию максимума апостериорной вероятности. Левая часть неравенства представляет отношение правдоподобия, а правая - порог С МАВ . Правило (2.16) представляется в виде
(2.17)
Из сравнения формул ( 2.10 ) и (2.16 ) видно, правило принятия решения по критерию максимума апостериорной вероятности (МАВ) приводит к тем же результатам, что и критерий Байеса при
П10 -П00= П01 - П11 .