Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
работы 1204 / Лаб. 1204 / LABOR-ОБ-А4.doc
Скачиваний:
68
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
819.71 Кб
Скачать

2.2. Критерий Байеса и правило принятия решений

В качестве априорной информации наблюдатель должен знать матрицу потерь П, функцию правдоподобия w(y1,...,ym / s 0 ), w(y1,...,ym / s 1), вероятности состояний источника P( s 0 ), P( s 1) таких, что

P(s 0)+ P(s 1) = 1 .

Матрица потерь отражает условную плату за принятые решения:

i j = П(  i / s j ), (i, j) = 0; 1,

П i j - потери при принятии решения  i в то время, как источник находился в состоянии s j . Обычно П 1 0 > П 0 0 ; П 0 1 > П 1 1. Запишем условные математические ожидания потерь, или условные риски, при состоянии источника s0 и s1 соответственно

r 0 = M[П / s 0 ] =

00 P((y1,y2,...,ym) G 0 / s 0 ) + П10 P((y1,y2,...,ym)  G 1 / s 0 ) =

= П00 (1 - )+ П10  , (2.5)

r1 = M[П / s 1 ] =

11 P((y1,y2,...,ym) G 1 /s 1 ) + П01 P((y1,y2,...,ym) G 0 / s 1 ) =

= П11 (1-  )+ П01  (2.6)

В качестве целевой функции для критерия Байеса принимается безусловное математическое ожидание потерь M[П], называемое средним риском , и имеет вид

R = M[П] = P0 M[П /s0) + P1 M[П /s1 ] =

= P000 (1-) + П10 ) + P111 (1-) + П01 ) (2.7)

Разбиение пространства G на подпространства G0 и G1 можно осуществить различными способами. Выбор подпространства G1, минимизирующего риск R называется критерием Байеса, а правило разбиения пространства G по критерию Байеса называется правилом Байеса  .

Заменим в (2.7) условные математические ожидания потерь через соответствующие вероятности

R = P0 П00 + P101

(2.8)

Вce величины, входящие в эту формулу неотрицательны. К выборочному подпространству G1 отнесем только те выборки y1,y2,...,ym, которые обеспечивают не отрицательность подынтегрального выражения. Тогда средний риск R примет минимальное значение. Исходя из этого, имеем правило Байеса

P101- П11) w(y1,y2,...,ym /s1) - P010- П00) w(y1,y2,...,ym /s 0)  0 . (2.9)

Преобразуем неравенство (2.9) таким образом, чтобы справа находились априорно известные величины, а слева - функции, зависящие от выборки:

(2.10)

Правая часть неравенства (2.10) называется порогом Байеса С Б :

(2.11)

левая часть - отношением правдоподобия L(y):

(2.12)

Минимизация среднего риска R производилась выбором подпространства G1. Поэтому, если выполняется неравенство (2.9), то принимается гипотеза H1, в противном случае - гипотеза H0 . Перепишем формулу (2.10 ) в виде

(2.13)

Это выражение называется правилом принятия решений по критерию Байеса.

Отношение правдоподобия L(y) - функция от выборки y1,y2,...,ym и является одномерной случайной величиной, описываемой некоторым законом распределения с параметрами, зависящими от закона распределения шума и состояния источника.

2.3. Критерий максимума апостериорной вероятности

и правило принятия решений

Для применения критерия максимума апостериорной вероятности априорно необходимо знать вероятность P(s j ) того, что источник находится в состоянии s j , функцию правдоподобия

w(y1,y2,...,ym/s j ) при состояниях источника s j

Используя теорему об умножении вероятностей, совместное распределение вероятностей выборки y1,y2,...,ym и состояний источника sj можно записать как

P((y1,y2,...,ym), s j ) = P(y1,y2,...,ym)P(s j /y1,y2,...,ym) =

= P( s j )w(y1,y2,...,ym/ s j ) . (2.14)

Условная вероятность P(s j / y1,y2,...,ym) называется апостериорной вероятностью состояния источника и определим ее из формулы (2.14):

(2.15)

Критерием принятия решения в данном случае будет максимальное значение апостериорной вероятности P(s j / y1,y2,...,ym) по отношению к апостериорным вероятностям P(s i / y1,y2,...,ym):

P(s j /y1,y2,...,ym) P(s i / y1,y2,...,ym) для всех i  j (2.16)

Если выполняется неравенство (2.16) , то гипотеза Н j не отвергается.

Для двухальтернативных гипотез этот критерий приводит к неравенству

или

(2.16)

Неравенство (2.16) является правилом принятия решений по критерию максимума апостериорной вероятности. Левая часть неравенства представляет отношение правдоподобия, а правая - порог С МАВ . Правило (2.16) представляется в виде

(2.17)

Из сравнения формул ( 2.10 ) и (2.16 ) видно, правило принятия решения по критерию максимума апостериорной вероятности (МАВ) приводит к тем же результатам, что и критерий Байеса при

П1000= П01 - П11 .

Соседние файлы в папке Лаб. 1204