Значения наблюдаемых величин на фоне помех являются случайными и при их обработке условно можно выделить несколько задач:

- обнаружение сигнала на фоне помех;

- оценка параметра сигнала на фоне помех;

- различение нескольких сигналов на фоне помех;

- фильтрация сигнала на фоне помех;

- одновременное обнаружение и оценка параметра сигнала на фоне помех.

В данной лабораторной работе рассматривается проблема обнаружения сигналов на фоне помех. Задача обнаружения сигнала может рассматриваться как частная задача различения, когда один из сигналов отсутствует. Задача различения сигналов формулируется следующим образом. Источник информации может генерировать несколько различных сигналов s_i(t), i = 1,2,...,k. Потребитель принимает один из возможных сигналов s_i(t) в смеси с шумом, и по полученной смеси oн должен принять решение о том, какой сигнал передавался. Если k=1, переходим к задаче обнаружения, когда нужно принимать решение: присутствовал ли сигнал в полученной смеси или нет. Решение этих проблем основано на результатах исследований в области математической теории проверки статистических гипотез.

1. Описание сигнала и помехи

Существует обширная литература [1], [2] по созданию сигналов различного типа, обладающих теми или иными свойствами. В качестве носителя информации берется высокочастотное колебание и модулируется один из возможных параметров сигнала. Сигнал, как функция времени и параметра, запишем в виде s _i (t) = s(t,  _i), где  _i- значение i-го модулируемого параметра. Параметр  может быть случайным или детерминированным. В лабораторной работе рассматривается детерминированное значение параметра. В этом случае говорят, что сигнал s(t,) известен полностью.

Шумы, или помехи, (объединим их под одним термином, хотя их различают) носят случайный характер и существуют независимо от потребителя информации. Будем считать в дальнейшем, что шумы являются стационарными случайными процессами n(t). Помеха n(t) описывается многомерной плотностью распределения w(x₁,...,x_m,t₁,...,t_m), определенные в дискретные моменты времени t₁,...,t_m . Наиболее часто на практике используется модель нормального (гауссовского) шума n(t), имеющего плотность распределения

(1.1)

где a _i - математическое ожидание шума в момент t _i,

- среднеквадратичное отклонение шума в момент t _i,

D_R-определитель, элементами которой являются коэффициенты корреляции R_{i j} :

,

D _{i j} - алгебраическое дополнение к элементу R _{i j} корреляционной матрицы.

Для нормального случайного процесса с некоррелированными значениями в моменты t₁,...,t_m формула (1.1) упрощается :

w(x₁,...,x_m,t₁,...,t_m) = w(x₁,t₁)...w(x_n,t_n) =

.

Если случайный процесс стационарный, то a_i = a, _i= и предыдущая формула примет вид

(1.2)

Математическое ожидание a - это постоянная составляющая в шуме. Ее можно компенсировать; поэтому будем считать a = 0.

Помеха n(t) и сигнал s(t) в зависимости от условий распространения сигнала могут складываться алгебраически или умножаться. В первом случае имеем

аддитивную помеху (t)=s(t)+n(t),

во втором - мультипликативную помеху (t)=s(t)·n(t) .

Реализации y(t) случайного процесса (t) соответственно будут представлять аддитивную смесь сигнала s(t) и реализацию x(t) шума n(t) или произведение сигнала s(t) и реализацию x(t) шума n(t):

y(t)=s(t)+x(t), y(t)=s(t)·x(t) .

В лабораторной работе рассматривается аддитивная помеха. Если сигнал отсутствует, то вид распределения вероятностей случайного процесса (t) в дискретные моменты времени t₁,...,t_m определяется только лишь распределением шума. Если (t) есть сумма сигнала и шума, а шум распределен по нормальному закону, то и процесс (t) в дискретные моменты времени имеет нормальное распределение, но с математическим ожиданием , зависящим от сигнала s(t) и шума n(t). Условные математические ожидания при отсутствии и при наличии сигнала принимают вид:

M[(t_j)/s(t) = 0] = 0; M[(t_j)/s(t)  0] = s(t_j) , (1.3)

где M - оператор математического ожидании.

Пользуясь свойствами дисперсии, можно показать, что условные дисперсии при отсутствии сигнала и при наличии сигнала имеют вид

D[ (t_j ) / s(t) = 0] = D[ (t_j ) / s(t)  0] = D[n(t_j)] = . (1.4)

Таким образом, условная плотность распределения процесса (t) в дискретные моменты времени t₁,...,t_m имеет вид при наличии сигнала :

(1.5)

при отсутствии сигнала:

(1.6)

где y₁,y₂,...,y_m - значения процесса (t) в моменты времени t₁,t₂,...,t_m. Приведенные плотности распределения позволяют построить процедуру проверки гипотез о наличии или отсутствии сигнала, когда на вход приемника поступает аддитивная смесь сигнала и шума, распределенного по нормальному закону.