40
σ+ σ
τmax = ± 1 2 2 = σ0 .
Рис.14 Такое графическое исследование напряженного состояния можно про-
водить и для трехосного напряженного состояния материала. Это графическое исследование напряженного состояния носит название исследования с помощью круга Мора.
2.6. Гипотезы прочности
Рассматривая напряженные состояния материала при различных способах нагружения, возникает естественный вопрос – при каких сочетаниях значе-
ний σ1 , σ2 и σ3 по величине и по знаку считать, что материал будет нахо-
диться в опасном для его прочности состоянии? Реальные условия работы многих деталей машин таковы, что в них кроме нормальных напряжений могут
41
быть и достаточно большие касательные напряжения. Так, например, гребной вал корабля работает на сжатие – растяжение, изгиб и кручение. Что здесь принимать за главную опасность? Провести опытные лабораторные исследования по испытанию материалов во всех возможных вариантах нагружения не представляется возможным ни по количеству возможных вариантов, ни по сложности постановки самого эксперимента. В связи с этим было высказано достаточно много теорий – гипотез о критериях опасного состояния материала. Остановимся на четырех таких гипотезах, учитывая хронологическую последовательность и их практический интерес для инженерной практики.
Первая гипотеза – гипотеза наибольших нормальных напряжений. Согласно этой гипотезе за критерий прочности принимается наибольшее нор-
мальное напряжение – σ1 . Два других возможных σ2 и σ3 не принимаются во внимание. Эта гипотеза применима для случая простого растяжения, сжатия,
когда σ2 = σ3 = 0 . Прочность реально можно оценить в лабораторных усло-
виях. Условие прочности выглядит, как
σ1 = σ0 ≤ [σ].
Использование этой гипотезы для случая сложного нагружения, когда
σ2 ≠ 0 и σ3 ≠ 0 дает слишком большой запас прочности. В противовес пер-
вой высказана вторая, согласно которой за критерий опасного состояния при-
нимается возможная наибольшая линейная деформация из ε1 , ε2 и ε3 .
Если предположить, что ε1 является наибольший из трех, то условие прочности будет выглядеть как
E1 [σ1 −µ(σ2 + σ3 )]≤ [Eσ] .
Здесь также, как и во всех других гипотезах – теориях, за эталон сравнения принимается простое напряженное состояние, доступное проверке: растяжение – сжатие. Отсюда
σ0 = σ1 − µ(σ2 + σ3 )≤ [σ].
42
Эта гипотеза нашла практическое применение, но главным образом для хрупких материалов. Для материалов, разрушающихся не только отрывом отдельных частей друг от друга, но имеющих и большую пластическую деформацию от касательных напряжений, вторая гипотеза не годится. Для таких материалов за критерий прочности по третьей гипотезе было принято наибольшее касательное напряжение.
Наибольшее касательное напряжение равно полуразности наибольшего и наименьшего главных напряжений
τmax = σ1 − σ3 .
2
Отсюда условие прочности выглядит как
τmax = σ1 −2 σ3 ≤ [σ2],
или
σ0 = σ1 − σ3 ≤ [σ].
Экспериментальная проверка этой гипотезы при различных напряженных состояниях показывает, что для пластических материалов она дает удовлетворительные результаты. Но для материалов, имеющих различные механические характеристики при растяжении и сжатии, она дает заметную погрешность.
С целью оценки условия прочности и для пластичных и для хрупких материалов была высказана энергетическая гипотеза. Согласно этой гипотезе критерием прочности является величина потенциальной энергии упругой деформации, идущая на изменение формы. Часть потенциальной энергии, затрачиваемая на изменение объема в связи с неограниченностью своей величины, не принимается во внимание.
По этой гипотезе за условие прочности принимается условие, когда
uф = 1σ+Eµ [(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 ]
43
будут меньше или равна 13+Еµ[σ]2 , или:
σ0 = |
1 |
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 ≤ [σ] . |
|
2 |
|
Чаще всего в расчетах приходится иметь дело с простым напряженным состоянием при одновременном действии нормальных и касательных напряжений, и для таких расчетов используются формулы условий прочности третьей и четвертой гипотезы в виде
σэквIII = 
σ2 + 4 τ2 ≤ [σ];
σэквIV = 
σ2 + 3 τ2 ≤ [σ].
Именно третья и четвертая гипотезы прочности находят наибольшее практическое применение.
Касательные напряжения для случая деформаций при чистом сдвиге согласно рассмотренным гипотезам получаются равными:
по первой: [τ]= [σ];
по второй: [τ](1 + µ)= [σ]или для стали – [τ]= 1[+σ]µ ≈ 1[,σ30] ≈ 0,85[σ];
по третьей: [τ]= [σ2]= 0,5[σ];
по четвертой: [τ]= [σ3] = 0,63[σ] .
В практических расчетах [τ] принимается
[τ]= 0,6[σ] .
Кроме рассмотренных гипотез прочности имеют место и другие – теория Мора, Давиденкова, Фридмана и т.д. [3], [24], но они используются прежде всего в исследовательской практике.