Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ВОЕНЫ АЛЛАХА1АЗАЗАЗАЗ / 7_Проекция_сент_9_2008

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

340.06 Кб

Скачать

☆

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

7. Проекция точки на множество

Определение 1. Проекцией точки множество D E n называется вектор удовлетворяющий условию

x E n P x

на

D ,

x P x

min	x
y D

(1)


Иногда проекцию точки			x	на множество	D	будем
Иногда проекцию точки				на множество	D	будем
обозначать	P x, D .
Легко	увидеть, что			P x x тогда	и	только
тогда, когда		x D .

Очевидно также, что имеет место равенство

Таким образом,

P x	2
	2

согласно

min	x y	2	.

y D

(2) отыскание

(2)

проекции

является задачей минимизации функции		x
множестве	D . Заметим при этом, что

y	2	на

функция

x y	2

является строго выпуклой (в этом не-

трудно убедиться, пользуясь критериями, изученными в параграфе 4).

Существование и единственность проекции зависят от свойств множества D . В связи с этим познакомимся со следующими двумя теоремами.

Теорема 1. Пусть D – замкнутое множество из E n , тогда P x существует для любого x E n .

Методы оптимизации: Часть I

Доказательство. Для произвольной		точки
z D обозначим D z y : y D,	x y	x z .
Очевидно, что P x, D P x, D z . Поэтому зада-
ча (1) эквивалентна задаче
min x y .		(3)
y D z

Решение задачи (3) существует, так как множество
D z	компактно, а функция	x y	непрерывна.
	Нарушение условия теоремы 1		может приве-

сти к отсутствию проекции. Например, проекция

не существует, если множество

открыто, а

вектор

не

принадлежит множеству

D .

Теорема 2. Пусть

– выпуклое замкнутое

множество

из

тогда

всякая

точка

x E

имеет единственную

проекцию на множество

D .

Доказательство.

Существование

проекции

доказано в предыдущей теореме. Докажем ее

единственность.		Поскольку,		как отмечено	выше,
функция	x y	2	строго	выпукла по y,	един-

ственность ее минимума на выпуклом множестве

D	вытекает		из	теоремы	6.3.	Что	и требова-
лось.
		Нарушение		условия	выпуклости		множества
D в		теореме 2 может привести к неединственно-
сти		проекции.
		Далее приведем критерий, который может
быть		полезен	для нахождения			проекции.
							43

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

Теорема 3. Для того, чтобы точка

P x D

		x E
была	проекцией	n	на	выпуклое замкнутое

множество D , необходимо и достаточно, чтобы
для	всех y D	выполнялось		неравенство

P x x, y P x

(4)

Доказательство. Для того,

чтобы

вектор

P x D

удовлетворял равенству (2), необходимо

достаточно, как

следует из

теоремы 6.5,

чтобы

точке

P x

выполнялось неравенство

f P x ,

y P x 0,

y D ,

(5)

где

f y

y x

. Так

как

f y

y x , а

f P x 2 P x x , то

условия

(5)

(4)

экви-

валентны. Что и требовалось.

Отыскание проекции – это задача минимиза-

ции выпуклой функции на выпуклом множестве. Решать такие задачи мы только лишь учимся. Необходимо заметить, что, как правило, отыскать точно проекцию невозможно. Однако при достаточно «простых» множествах D проекцию можно вычислить по явным формулам. Приведем несколько примеров таких множеств.

Неотрицательный ортант:

D En .

Методы оптимизации: Часть I

Обозначим j-ую координату p j . Тогда

		0,	x	j	0,
p				j
p	j		xj		0,
		xj ,	xj		0,

вектора	P x
j 1, ..., n .

через

Гиперпараллелепипед:
D y : y E			n	, j
			n
		,		x
		,		x
	j				j
pj	xj , j xj
				x j
	j	,		x j

y j

j ,

j .

j ,	j 1, ..., n .

j 1, ..., n,

Шар:

D S 0, r

y : y E

x, x S

P x

0, r

x, x S

0, r .

Гиперплоскость:
D y : y E	,
n
где c En , b R.

c, y

P x x	b c, x	c .
	c 2

О.А. Кашина, А.И. Кораблев

Полупространство:

P x

Многообразие:

y : y E			n	,	c,	y
y : y E				,	c,	y
x,
		b			c, x
	x	b			c, x	c,

			c		2
					2

b .

x D, x D.

D y : y E	,
n

где

– матрица

P x

размерности

T	T	1

x A	AA

b Em

В тех же случаях, когда множество

яв-

ляется более «сложным», проекцию находят приближенно с помощью итерационных процедур.

Соседние файлы в папке ВОЕНЫ АЛЛАХА1АЗАЗАЗАЗ

#
10.02.2015310.16 Кб302_Выпуклые_конусы_9_2008.pdf
#
10.02.2015360.76 Кб303_Выпуклые функции_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015336.39 Кб344_Критерии_выпуклости_ДФ_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015379.1 Кб275_Конусы_РВН_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015355.37 Кб276_Экстремальные_свойства_ВФ_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015340.06 Кб267_Проекция_сент_9_2008.pdf
#
10.02.2015324.32 Кб268_Опорные_векторы.pdf
#
10.02.2015380.15 Кб309_Выпуклые_многогранные_множества_сент_9_2008.pdf