ВОЕНЫ АЛЛАХА1АЗАЗАЗАЗ / 2_Выпуклые_конусы_9_2008
.pdf
20 |
О.А. Кашина, А.И. Кораблев |
|
|
|
|
2. Выпуклые конусы |
|
|
|
|
Определение 1. |
Множество |
K |
||
ется выпуклым конусом, если |
|
|
||
1. для любых |
x K |
и |
t 0 |
|
включение |
t x K , |
|
|
|
E |
n |
называ- |
|
выполняется
2. для |
любых x, |
y K |
ние |
x y K . |
|
выполняется включе-
Легко убедиться в справедливости следующей теоремы.
Теорема 1. Выпуклый конус является выпуклым множеством.
Следующие 4 теоремы устанавливают некоторые операции допустимые в классе выпуклых конусов. (Рекомендуем доказать теоремы 2 – 4 самостоятельно.)
Теорема 2. |
Пусть имеется семейство выпук- |
||
лых конусов K |
. Тогда множество |
K I |
K яв- |
|
|
|
|
ляется выпуклым конусом.
Теорема 3. Пусть Ki En ,
лые конусы. Тогда множество
i 1, ..., m
m K Ki
i 1
– выпук-
также
выпуклый конус.
Теорема 4. Пусть K – выпуклый конус. Тогда K также выпуклый конус.
Методы оптимизации: Часть I |
21 |
гда
Теорема 5. Пусть K E |
n |
– выпуклый конус. То- |
|
|
|||
int K |
также выпуклый |
конус. |
|
Легко увидеть, что нулевой вектор простран-
ства |
E |
n |
является предельной точкой любого выпук- |
|
лого конуса. Вектор 0 называется вершиной выпуклого конуса. Выпуклый конус может иметь не более одной крайней точки и этой крайней точкой может быть только вершина конуса.
|
|
|
|
m |
Определение 2. |
Линейная комбинация |
ti xi |
||
векторов xi , |
|
|
|
i 1 |
i 1, ..., m , |
называется конической |
|||
комбинацией, |
если |
ti 0, |
i 1, ..., m. |
|
Определение 3. Множество всевозможных конических комбинаций любого конечного числа векто-
ров из множества |
D |
оболочкой множества
.
E |
n |
|
|
|
D |
называется конической
и обозначается |
coneD |
|
Очевидно, что для всякого множества D жество coneD является выпуклым конусом.
мно-
Определение 4. Пусть
h En
– ненулевой век-
тор. |
Множество |
L x : x t h, t 0 называется |
лучом, а вектор h |
называется направляющим век- |
|
тором этого луча. |
||
|
Очевидно, что луч – выпуклый замкнутый |
|
конус. |
|
|
|
Определение 5. Пусть K – выпуклый конус. |
|
Луч |
L K называется крайним лучом, если он |
|
22 |
О.А. Кашина, А.И. Кораблев |
не принадлежит конической оболочке двух других лучей этого конуса.
Легко увидеть, что любой крайний луч выпуклого конуса принадлежит его границе, но не всякий луч, принадлежащий границе, является крайним лучом.