обыкновенные диф ур-я 1-порядка
.pdf#! 2 μ1 = y1 U1 = x + 12 x2y 7 & !
! ! / μ2 = 1 U2 = y22 + y. A, 9*B
|
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|
1 |
ϕ(x+ 21 x2y) |
= 1 · ψ y22 +y . |
A, ((B |
y |
H& 1 ϕ & " / ! / " 5 !
& 0 !" y C 5 & & ! " ϕ(U1) = 8NOPQ
ϕ(U1) = 1 # ! &/ |
|
/ A9B ! |
& |
||||||||||||||||||||||
" |
y1 = ψ(y) 5 & &10 !" |
||||||||||||||||||||||||
& ψ ! U2 ! U2 = y J A, 9*B |
|||||||||||||||||||||||||
& |
A, (9B & μ = |
1 |
|
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|
/ & |
|
A, (9B |
μ = 1 |
|||||||||||||||
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y |
|
|
y |
|||||||||||||
!&/ & ! 2 ! 2 |
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||||||||||||||||||
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(1 + xy)dx + |
2 x2 + 1 + y dy = 0. |
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1 |
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1 |
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||
= & |
2 |
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||||||
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x2 |
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ϕ |
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1 |
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|||||
U |
|
x |
|
|
y |
|
y |
|
ϕ y |
|
y |
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|
ϕ |
y |
|
y |
|
y. |
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||
= |
+ |
2 |
+ |
+ |
|
) = 1 + y |
) = |
+ ln |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
( ); |
( |
|
( |
|
|
|
|
$0 ! & A, (9B &
x + x2 y + y + ln y = C.
2
, % 2 ,4
/. (x2 + y2 + 2x)dx + 2xydy = 0
/6 xex + x2 − x |
= 0 |
|
|
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|||||||||
/ |
y dx + |
y3 + ln x |
|
dy |
= 0 |
|
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||||||||
|
x |
|
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|
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y |
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y |
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||
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||||||||||
/ (y3 + cos x)dx + (3xy2 + ey)dy = 0 |
|
|||||||||||||||
7 xdx + ydy = |
xdy |
|
ydx |
|
|
|
|
|
||||||||
2− |
|
2 |
|
|
|
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|||||||||
( |
2xy + x |
y + |
x +y |
|
|
+ y |
)dy = 0 |
|
||||||||
3 |
dx + (x |
|
|
|||||||||||||
|
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|
2 |
|
|
|
y3 |
|
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|
2 |
2 |
|
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y(1 + xy) = xy
* (x2 + y2 + x)dx + ydy = 0
/ (y − x1 )dx + dyy = 0
y(x2 − y + 1)dx + x(x2 + 1)dy = 0
) 4 /. |
x3 |
2 |
+x |
2 |
= C / 4y ln x+y |
4 |
|
2 |
|
x |
|
x |
+ |
||||||||
|
3 +xy |
|
|
= C /6 y = x e |
−xe |
||||||||||||||||
( x x2 |
|
* |
|
|
2 |
2 |
− |
/ |
x |
2 |
|
|
|
3 |
= |
|
|
||||
Cx / xy3 +sin x+ey |
= C 7 x2 +y2 |
|
2 arctg y |
= C yex |
x2 + |
y2 |
|
C |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
y + |
|
= C |
|
|
2x + ln(x + y ) = C |
(x − C)y = 2x |
|
−y + 1 = |
|||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
xy(arctg x + C) |
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
' " ( )
% %
7 ! 1 |
& 1 |
!" |
|
F (x, y, y ) = 0. |
A+ 9B |
" ! && ' + 1
, % $
D ! & A+ 9B !" y |
5 & |
|
!" y !&/ & |
|
|
y |
= f1(x, y), y = f2(x, y). |
A+ (B |
$0 ! & |
A+ 9B |
|
Φ(x, y, C) ≡ Φ1(x, y, C)Φ2(x, y, C) = 0, |
A+ ;B |
Φ1 Φ2 ' 0 ! & A+ (B
#! & A+ 9B &0 " " #
$ / ! ! 10&1
2 A+ ;B " !&/ &!" !1/ |
|
|
C & |
|
|
Φ(x, y, C) = 0, |
ΦC (x, y, C) = 0 |
A+ ,B |
! &!" !1/ p = y |
& |
|
F (x, y, p) = 0, |
Fp(x, y, p) = 0. |
A+ +B |
9) ? &
xy 2 + 2xy − y = 0. A+ .B
! & !" y
2 &
y = −1 + 1 + y/x, y = −1 − 1 + y/x,
! 2 ! x(x + y) > 0, 0 ! 2
(2x + y − C) − 2 x2 + xy = 0, (2x + y − C) + 2 x2 + xy = 0.
C !&/ 0 ! &
(y − C)2 = 4Cx
A !B # & 0 ! C !&/
& &
(y − C)2 = 4Cx, C − y = 2x.
= !1/ C ! x + y = 0. C / x + y = 0 " &
" - $ $
C& " & A+ 9B !" x
|
|
|
|
|
x = f (y, y ). |
|
A+ :B |
|||||
D ! p = dy |
|
|
|
|
|
x = f (y, p) 7 " M ! |
||||||
|
|
|
|
dx !&/ |
|
|
||||||
! |
|
|
|
∂f |
|
|
∂f |
|
|
|||
|
|
|
|
dx = |
dy + |
dp. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
∂p |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
||||
! & dx = dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p 7 &!" !&/ & & |
|
||||||||||
|
dy |
|
= |
∂f |
dy + |
∂f |
dp, |
x = f (y, p), |
A+ @B |
|||
|
p |
|
|
|||||||||
|
|
∂y |
|
∂p |
|
|
|
! & |
|
A+ :B / |
|||||||
y = ϕ(p, C), |
x = f (ϕ(p, C), p). |
A+ *B |
|||||||
= !1/ p !&/ 0 ! |
|
||||||||
|
|
Φ(x, y, C) = 0. |
A+ 9)B |
||||||
D ! & A+ 9B !" y |
|
||||||||
|
|
y = f (x, y ), |
A+ 99B |
||||||
& ! / |
|
|
|
|
|
||||
pdx = |
∂f |
dx + |
∂f |
dp, |
y = f (x, p). |
A+ 9(B |
|||
|
|
||||||||
|
∂x |
∂p |
|
|
|
|
|
||
99 ? & |
|
|
|
|
|
||||
|
y = y 2 |
− xy + |
|
x2 |
|
||||
|
|
|
|
. |
A+ 9;B |
||||
|
2 |
||||||||
! 7 y = p |
|
|
|
|
|
||||
|
y = p2 |
− xp + |
x2 |
|
|||||
|
|
. |
A+ 9,B |
||||||
|
2 |
? ! !
dy = 2pdp − xdp − pdx + xdx.
! & dy = pdx & & ! /
(2p − x)(dp − dx) = 0.
$1 !
9 dp − dx = 0 p = x + C. C !&/ /
= !1/ p |
|
y = p2 − xp + x2/2, |
A+ 9+B |
|
p = x + C. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
y = x2/2 + Cx + C2. |
A+ 9.B |
? |
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||||||||
|
∂y= |
|
∂ |
2 + |
|
+ |
|
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|
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|
|
|
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|
|
y = x |
|
2 + |
|
|
|
+ |
|
|
|
A+ 9:B |
|||||||||
|
∂C = ∂C |
|
x2/2 + Cx + C2 |
|
. |
0 = x + 2C. |
|
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|||||||||||||||||||||
|
y x2/ |
|
|
|
Cx C |
2, |
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|
y = x |
|
|
2/ |
|
Cx C2, |
|
|
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||||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
/4 ? |
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||||||||||||||||||
= !1/ |
|
!&/ & 1 |
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2 |
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||||||||||||||||||||
5 & 2 & A+ 9;B 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
! !" & |
y = x2/4 ! |
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||||||||||||||||||||||||||||||
( 2p − x = 0 p = x/2. $1 |
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y = x /4 |
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|
|
y = p2 − xp + x2/2, |
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|
A+ 9@B |
|||||||||||||||||
|
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p = x/2. |
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||||||||||||
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||||
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|
|
2 |
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|
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|||||||||||||||||
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||||||||||||||||
, % 2 ,4 |
|
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|||||||||||||||||||||
. y 2 + xy = y2 + xy |
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||||||||||||
y 2 + x y |
+ 1 = 0 |
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||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
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6 y = xy 2 − 2y 3 |
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|||||||||
|
− |
|
|
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||||
x = y |
|
|
y 2 + 1 |
|
|
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|
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|
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||||||
.7yy 2 |
2xy + y = 0 |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||
. 2xy |
− y = y ln yy |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
) |
4 . y = Cex G |
y = Ce−x + x −1 (x2C2 + 1 −2Cy)(x2 + C2 − |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2Cy) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
2p3 |
3p2 |
+C |
|
y = x 2 |
|
||||||||
|
G ! |
|
|
2 |
− |
|
2 |
|
|
6 |
|
y = xp2 |
− |
2p3, |
|
|
− |
G |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
x = (1− p)2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
$ y = 0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
.7 y2 |
+ C2 = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
2(p2+1)3/2 |
|
|
(p2 |
+ 1)1/2 + C, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2CxG ! x |
|
|
|
x = p |
p2 + 1 |
|
|
|
C ln C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
= 0 |
y = 2Cx |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
. |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
G ! |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x = 1 + 2 ln |y|
" .
+ 9 # !" & |
|
y = xϕ(y ) + ψ(y ) |
A+ 9*B |
1 & <
C 0 y = p & A+ 9*B
! & !" x
y = xϕ(p)+ψ(p) pdx = ϕ(p)dx+ xϕp |
|
(p) dp |
dx |
|
xϕ (p) + ψp(p) |
(p) + ψp |
|
= |
p |
||
dp |
p − ϕ(p) |
' ! & p − ϕ(p) = 0 ' $
2 /
+ ( D ! & A+ 9*B ϕ(y ) = y !&/ &
!
y = xy + ψ(y ). |
A+ ()B |
9( ? & |
|
y = 2y x + 1/y . |
A+ (9B |
! C ! y = p y = 2px + 1/p # &
dy pdx !&/ pdx = 2pdx+2xdp−dp/p2 ! dx/dp = −2p/x+ 1/p3. 5 & & "
1
x = p2 (ln p + C).
! !" 0 ! &
|
x = |
1 |
(ln p + C), |
|
p2 |
A+ ((B |
|||
|
y = 2px + 1/p. |
|
||
|
|
#! 2 ! 0 & !& ! &
y = 2px + 1/p,
$1
! !"
∂y = ∂(2px + 1/p) ∂p ∂p
1 x = 2p2 ,
y = 2px + 1/p, 0 = 2x − 1/p2.
y = 2/p
√
y = ±2 2x.
C ! |
y & A+ (9B & / !&/ & |
||||||||||||||||||||
! |
! !" & A+ (9B |
||||||||||||||||||||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||
|
|
, % 2 ,4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
.* 2y = x |
y + y |
|
2 |
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|||||||||
|
|
.( |
|
|
|
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|
4 |
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= 3(xy |
|
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|||||
|
|
./y 3 |
|
y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
y = y + |
1 |
− |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||
|
|
|
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|
− |
|
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||||
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|
|||
|
|
. y = xy + y 2 |
= |
|
C + x2 G |
|
|
|
|
! y = x .* |
|||||||||||
|
|
) 4 |
.( y |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
.. y = xy |
+ 1 + y |
2 |
|
|
|
|
|
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|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
± |
||
x = ln |p| − arcsin p + C, ./ C3 = 3(Cx |
|
y) G ! 9y2 = 4x3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||||
y = p + |
|
1 − p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
|
|
= |
|
|
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|
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− 4 .. |
y = Cx + √ |
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||||
|
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|
+ C2 G ! y = |
|
x2 |
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|
|
G |
||||||||||||
. y |
|
Cx |
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|
1 + C2 |
||||||||||||||
! x2 + y2 = 1 |
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|
" |
/ |
|
|
|||||
+ ; # !" & |
|
|
|||||||
|
F (y ) = 0, |
F (y, y ) = 0, F (x, y ) = 0 |
|
A+ (;B |
|||||
1 |
! |
A+ (;B & " 0"1 |
|||||||
! & |
|||||||||
D ! & F |
(y ) = 0, 0 ! ' F |
y−C |
= 0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
C & & F (x, y ) = 0 |
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|
|||||||
|
|
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|
x = ϕ(t), |
|
A+ (,B |
||
|
|
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|
y = ψ(t). |
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|
||
|
= ( ) = ( ) t( |
|
|
|
t |
|
|
||
!&/ / |
|
|
|
|
|||||
$1 dy |
ψ t dx |
ψ t ϕ |
t)dt y = |
ψ(t)ϕ (t)dt + C J |
|||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = ϕ(t), |
|
(t)dt + C. |
|
A+ (+B |
|||
|
|
|
y = ψ(t)ϕt |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
! / ! |
& |
|
F (y, y ) = 0 |
|||||||||
|
|
|
y = ψ(t) |
|
dy = ψ(t)dx |
|||||||
|
|
|
y = ϕ(t), |
|
|
|
dy = ϕ(t)tdt, |
|||||
= !1/ |
|
dy |
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|
|
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|
|
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|
||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
dx = |
ϕt(t)dt |
|||||||
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|
. |
||||
|
|
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|
ψ(t) |
||||||
J |
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|
|
y |
|
ϕ t), |
|
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|
|||
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|
= |
|
(ϕt(t)dt |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x = |
|
|
|
ψ(t) |
|
+ C. |
A+ (.B
A+ (:B
A+ (@B
7 1 2 & R >
! " !" / 2 !&/
C& " &
axα + by β = c,
a b c α β ' 7 5 !&/ !" &1
/ &!
|
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1 |
|
tg2 t = 1. |
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||||||
|
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sin2 t |
+ cos2 = 1, |
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|||||||||
|
a > 0 b > 0 |
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||
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− |
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cos2 t |
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D ! |
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|
! |
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|||||
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c |
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1/α |
||||
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|||
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axα = c cos2 t, |
|
x = |
|
a cos2 t |
1/β , |
||||||||||
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|||
9; |
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|
b |
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|||||||||
by β = c sin2 t |
|
y = c sin2 t . |
||||||||||||||||
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|||||||||||||||
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|
? & |
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|||||||
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|
y 2 + x2 = 1. |
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||||
! C & & |
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||||||||||
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|
x = cos t, |
|
|
|
dx = − sin tdt, |
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|||||||||
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|
y |
= sin t |
|
|
dy = sin tdx. |
|
|
||||||||
|
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A+ (*B
A+ ;)B
A+ ;9B
C dx & A+ ;9B
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|
1 |
|
|
|
|
|
t |
|
||
|
dy = sin tdx = − sin2 tdt y = |
|
|
sin 2t − |
|
+ C. |
|||||||||||
|
4 |
2 |
|||||||||||||||
C !&/ / |
|
|
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|||||||
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|
x |
= |
1 |
|
|
t |
|
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|
A+ ;(B |
|||||
|
|
|
|
cos t, |
√ 2 |
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|||||||
|
|
|
2 |
2 ! |
|
2 |
|||||||||||
|
|
y = |
4 sin 2t − |
|
+ C. |
|
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||||||||
|
2 |
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||||||||||||
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± y |
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|||
( |
|
a |
|
|
a |
± x |
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|||||||
|
/ ! ! / |
||||||||||||||||
9, C " & |
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|||||||
|
y ctg x = |
|
. |
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|||||||||
|
a2 − y 2 |
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|||||||||||
! # ! & y |
= a sin t = 2 & |
||||||||||||||||
ctg x = ctg t $1 |
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x = t, |
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A+ ;;B |
|||
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|
y = a sin t. |
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||||||||
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*
P (x, y ) + Q(x, y ) + R(x, y ) = 0,
P Q R ' & m m + 1 m + 2
= !" & & y = tx
x2R(1, t) + xQ(1, t) + R(1, t) = 0.
C !&/ ! & !" x D ! &0 &1 0
x = ω(t) 1
|
|
x = ω(t), |
|
|
A+ ;,B |
|
|
y = tx = tω(t). |
|
|
|
D ! P Q R ' |
|
|
y y |
! & |
y = ty |
|
& & |
|
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