обыкновенные диф ур-я высших порядков
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F (y(n−2), y(n)) = 0 |
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y(n) = f (x). |
@8 8A |
B ! / & f (x) ! (a, b) C
&0 & / / / !"
y0 y0 y0(n−1) " !1 x0 ! ! "
!& (a, b) & / & ! !
(a, b) $' & @8 8A
D & ! !" & @8 8A !&/ 0
y = |
· · · |
f (x)dxdx · · · dx + C1xn−1 + C2xn−2 + . . . + Cnx + Cn @8 (A |
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a < x < b, |y| < +∞, |y | < +∞, . . . , |y(n−1)| < +∞. |
@8 9A |
C1, C2, . . . , Cn !" |
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x |
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x |
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x |
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f (x)dxdx · · · dx + |
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x0 |
x0 |
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(n − 1)! |
x0 |
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x |
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x |
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x |
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+ . . . + Cnx + Cn, |
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(n − 1)! |
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x |
− |
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y |
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y = y1 + C1xn−1 + C2xn−2 + . . . + Cnx + Cn. |
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1 = −2 + C2 |
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|
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y = (x − 2)ex + x + 3. |
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2 x0 = 0 y0 = 1 y0 = 0 |
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x
y = tet(x − t)dt + 1.
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6 ! " !&/ @8 *A
( = 0 &
y 2 + 5y + 6 = 0. @8 8)A
& !" y
y = −2 y = −3 D & 4 & y = −2x + C1, y = −x2 + C1x + C2;
y = −3x + C1, y = −32 x2 + C1x + C2.
& " 4 ' 0 ' & 0 ! & @8 8)A E "
(y + x2 − C1x − C2)(y + 23 x2 − C1x − C2) = 0.
2 ' &
&
F (x, y(n)) = 0. |
@8 88A |
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y(n) !&/ ! !" &
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D & " !"
x
x = f (y(n)).
6 4 !&/ & 0 / 6
y(n) = t x = f (t) C x & /
t / & / " y / t = '
! dx = f (t)dt C dy(n−1) = y(n)dx = tf (t)dt &
y(n−1) = tf (t)dt + C1 ≡ ϕ1(t, C1). |
|
||
! / ! |
y(n−2) = ! y |
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|
y = ϕn(t, C1, C2, . . . Cn) ! !" |
|
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|
x = f (t), |
|
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|
y = ϕn(t, C1, C2, . . . , Cn). |
|
|
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|
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@8 88A |
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+ y 2 = 0. |
@8 89A |
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!" x x = ey − y 2 B y t !&/
/ ! & @8 89A x = et − t2 y = t # ! dx = (et − 2t)dt dy = y dx = t(et − 2t)dt &
y = t(et − 2t)dt + C1 = et(t − 1) − 23 t3 + C1.
B 4 & |
|
dy = y dx = et(t − 1) − 3 t3 |
+ C1 (et − 2t)dt |
|
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+ 2t2 − 2t − C1 et + 3 t4 |
− 2C1t dt. |
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dy = e2t(t − 1) − |
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|
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|
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− |
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3 |
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|
2 |
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3 |
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|
t |
4 |
|
|
5 |
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2 |
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|
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|
2 |
4 |
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|
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|
|
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|
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+ 2 |
|
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+ |
15 |
t |
|
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|
+ C2, |
|||
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− |
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|
|
x = ϕ(t), |
||
|
y |
(n) |
= ψ(t), |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
dx = ϕ (t)dt, |
dy(n−1) = y(n)dx = ψ(t)ϕ (t)dt, |
|||
y(n−1) = |
ψ(t)ϕ (t)dt + C1 ≡ ψ1(t, C1). |
|||
& & !&/ 0 /
|
x = ϕ(t), |
|
|
y = ψn(t, C1, C2, . . . , Cn). |
|
9 = 0 &
y 2 − 8y + x2 − 6x + 24 = 0. |
@8 8:A |
B & |
|
(x − 3)2 + (y − 4)2 = 1. |
|
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|
x = cos t + 3, |
|
dx = − sin tdt, |
|
y = sin t + 4. |
|
dy = y dx. |
|
|
|
|
D !1/ dx ! &
dy = −(sin t + 4) sin tdt = −(sin2 t + 4 sin t)dt,
&
y = − (sin2 t + 4 sin t)dt + C1 |
= −2 |
+ |
4 |
|
+ 4 cos t + C1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
sin 2t |
|
|
||
|
−2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4 cos t + C1 sin tdt. |
||
dy = |
4 |
+ 4 cos t + C1 dx = − |
−2 + |
|
4 |
||||||||
|
|
t |
sin 2t |
|
|
|
|
|
|
t |
sin 2t |
|
|
D & ' / |
|
||||||||||||
|
|
|
x = cos t + 3 |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
y = −t cos2 t + sin2 t − sin63 t + 2 cos2 t + C1 cos t + C2.
&
F (x, y(k), y(k+1), . . . , y(n)) = 0 (1 ≤ k < n). |
|
|
||||
0"1 y(k) = z z |
& & |
|||||
|
& 1 (n − k) |
|||||
|
F (x, z, z , . . . , z(n−k)) = 0. |
|
@8 8+A |
|||
E ! @8 8+A & |
& / |
|||||
z = ϕ(x, C1 |
, . . . , Cn−k) ! |
Φ(x, z, C1, . . . , Cn−k) = 0, |
||||
0 " y |
|
|
||||
y(k) = ϕ(x, C |
, . . . , C |
n−k |
) ! |
Φ(x, y(k), C , . . . , C |
n−k |
) = 0. |
1 |
|
|
1 |
|
||
&
: = 0 &
y + |
2y 2 |
= 0. |
@8 8.A |
|
x2 |
||||
|
|
|