0-LALect2

Рассмотрим линейный оператор A, матрицу которого в базисе (ei) мы также обозначим A:

(напомним, что A(ei) = (ai1; ai2; ; ain) для всех i n). Теперь мы хотим вычислить матрицу этого же оператора в базисе (xi) (эту матрицу мы обозначим B), то есть

(где A(xi) = (bi1; bi2; ; bin) для всех i n). Здесь доказательства не будет, только объяснение: сначала мы перейдем от базиса (xi) к базису (ei) с помощью матрицы X 1, потом применим оператор A с помощью матрицы A, после этого обратно вернемся к базису (xi) с помощью матрицы X. В результате мы получаем представление

B = XAX 1:

51

Все таки, для желающих во всем разобраться я написал доказательство (но учить это не обязательно). Введем обозначение для матрицы X 1:

По формуле умножения матриц нам нужно получить следующее представление для произвольного элемента матрицы B:

применим к этой линейной комбинации оператор A. Так как линейный оператор, примененный к линейной комбинации, является линейной комбинацией, мы имеем:

n

P

А теперь мы разложим каждый el по базису (xj): el = yljxj: Подста-

j=1

вим это разложение в предыдущую формулу и получим:

Таким образом, коэффициент при элементе xj в разложении A(xi) по

базису (xj) равен bij из равенства (**).

При переходе к новому базису и задаваемым им новым координатам каждая точка нашего пространства остается прежней, но ее координаты меняются. Точно так же линейный оператор остается прежним, но матрица оператора меняются прежней.

Пример. Если вы сидите в среднем ряду, то понятия ’левый ряд’ и ’правый ряд’ у вас и преподавателя противоположны. У вас с преподавателем разные системы координат, но ряды по бокам не остается прежними.

52

В завершение теории линейных операторов мы рассмотрим понятия собственного вектора и собственного значения линейного оператора, но без доказательств.

Собственные векторы и собственные значения

Во многих задачах математического анализа, физики, механики, геометрии (применения к геометрии мы скоро рассмотрим), теории вероятностей, математической статистики и в других областях возникает важная и естественная задача: для каких векторов x и чисел имеет место следующее соотношение:

Одно тривиальное решение мы знаем если x = 0, то равенство (***) справедливо для всех . Но интерес представляют ненулевые решения этого уравнения. Число в этом уравнении называется собственным значением оператора A, вектор x собственным вектором оператора

A. Ввиду линейности оператора A собственный вектор определяется с точностью до множителя если для x равенство (***) справедливо, то оно справедливо и для x, умноженного на любое число, например, на 2, 3, 4, 5 и т. д. Напомним, что единичный линейный оператор E имеет свойство: E(x) = x. Поэтому соотношение (***) можно переписать в следующем виде:

Перепишем это равенство в виде уравнения для координат вектора x, для этого сначала запишем матрицу оператора A E:

Для координат вектора x мы получаем следующую систему уравнений:

>

>

: ann1x1 + an2x2 + + (ann )xn = 0

53

Мы уже знаем, что ненулевое решение этой системы существует лишь если определитель системы равен нулю:

Получающееся уравнение является уравнением n-го порядка и называется характеристическим уравнением для A. Некоторые факты из теории уравнений n-го порядка будут изложены позже.

При записи этого уравнения мы существенно используем матрицу оператора. Но в другом базисе матрица оператора будет уже другой. Отметим в качестве важного и несколько неожиданного факта то, что при этом характеристическое уравнение не изменится.

Доказательство несложно. Напомним, что в новом базисе матрица оператора будет иметь вид B = XAX 1, где X матрица перехода к новому базису. Напомним, что XX 1 = E, а так как для всех n-мерных матриц T справедливо T E = ET = E, то E = XEX 1. Мы будем также использовать свойство определителя произведения матриц: если S и Tматрицы n-го порядка, а определитель матрицы T мы обозначаем jT j, то

jT Sj = jT j jSj;

поэтому jXj jX 1j = jEj = 1. Итак,

jB Ej = jXAX 1 XEX 1j = jX(A E)X 1j = jXj jA Ej jX 1j =

jXj jX 1j jA Ej = jA Ej:

Рассмотрим конкретный пример из геометрии: линейный оператор A : R2 ! R2 задается матрицей

A =

5 2

2 1

Тогда мы получаем уравнение:

5 2

= (5 )(1 ) 4 = 0;

2 1

54

p p

2 6 + 1 = 0; 1;2 = 3 9 1 = 3 2 2:

Таким образом, собственный вектор, соответствующий собственному значению 1, имеет вид:

Аналогично находится собственный вектор x2.

Мы увидим в дальнейшем, что эти векторы определяют направления главных осей эллипса, задаваемого уравнением 5x2 + 4xy + y2 = 1. Итак, мы уже подошли к квадратичным формам, с помощью которых в геометрии задаются уравнения различные фигуры и тела второго порядка на плокости и в пространстве, частными случаями которых являются окружности и сферы.

Квадратичные формы.

Определение. Квадратичной формой от n переменных называется

функция

n n

XX

A(x1; :::; xn) = aijxixj:

i=1 j=1

В этой сумме при i 6= j коэффициент при xixj имеет вид aij + aji, мы можем менять эти два числа, не меняя их сумму, при этом сама квадратичная форма не изменится. Поэтому мы будем всегд считать, что aij = aji. Например, (x + y + z)2 мы записываем как x2 + xy + xz + yx + y2 +yz +zx+zy +z2. Квадратичная форма определяется своей матрицей

(отметим еще раз, что в этой матрице всегда aij = aji).

Квадратичную форму мы можем считать и будем считать определенной на пространстве Rn. Каждому вектору (x1; :::; xn) мы сопоставляем число A(x1; :::; xn). Если в пространстве Rn введен новый базис, координаты в новом базисе мы обозначаем u1; :::; un, то в новом базисе матрица

55

квадратичной формы меняется и она записывается уже в виде

n n

XX

A(x1; :::; xn) = bijuiuj;

i=1 j=1

где B = (bij) матрица квадратичной формы в новом базисе. Переход к новому базису это замена переменных. Процедуру такой замены мы рассмотрим на примерах.

Заметим также (это важно для математической статистики), что квадратичную форму можно записать как произведение матриц:

Определение. Если квадратичная форма задана в виде (*****), мы будем говорить, что она задана в каноническом виде. Число ненулевыхi в (*****) называется рангом квадратичной формы. Разность числа положительных и отрицательных i в (*****) называется сигнатурой квадратичной формы.

Центральной задачей теории квадратичных форм является приведение квадратичных форм к каноническому виду с помощью замены переменных xi на новые переменные xi. Кстати, эта техника полезна для

56

Введем новую переменную u = z + 12 x 2y. Получаем:

A = u2 + 34x2 3y2 + 3xy:

Далее освобождаемся от x:

34x2 + 3xy = 34(x2 + 4xy) = 34[(x + 2y)2 4y2]:

Обозначая v = x + 2y, получаем

A = u2 + 34v2 6y2:

Опять два положительных знака, один отрицательный.

Как приводить к каноническому виду форму без квадратов, например,

A(x; y; z) = xy + xz + yz:

Очень просто, так как коэффициент при xy не равен нулю, мы переходим к новым переменным x = u + v, y = u v. Наша форма принимает вид

A = u2 v2 + 2uz:

Введя новую переменную w = u + z, мы приводим форму к виду

w2 v2 z2:

Ранг равен 3, сигнатура равна 1.

Справедлива следующая теорема, которую доказывать мы не будем:

Теорема. Любая квадратичная форма приводится заменой переменных к каноническому виду. Ранг и сигнатура квадратичной формы в каноническом виде не зависят от способа приведения.

Определение. Рангом и сигнатурой квадратичной формы называются ее ранг и сигнатура после приведения к каноническому виду.

Важное значение имеют определенные квадратичные формы. Определение. Квадратичная форма называется положительно

определенной, если ее значения больше нуля для любого ненулевого вектора (x1; x2; :::; xn). Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если ее значения меньше нуля для любого ненулевого вектора (x1; x2; :::; xn). После приведения квадратичной формы к каноническому виду становится ясно, что сигнатура положительно определенной

58

квадратичной формы равна (+n), а отрицательно определенной квадратичной формы ( n).

Теорема. (Критерий Сильвестра положительности квадратичной формы, без доказательства). Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда

Заметим, что первое неравенство относится к минору первого порядка. Итак, n миноров больше нуля, где i-й минор расположен на пересечении первых i строк и первых i столбцов. Эти миноры называются главными.

Отрицательно определенная квадратичная форма получается из положительно определенной изменением знака, т.е. каждый коэффициент aij заменяется на aij. i-й главный минор для отрицательно определенной квадратичной формы получается из главного минора для положительно квадратичной формы изменением знака всех i строк (или, что то же) изменением знака всех i столбцов. Таким образом, знак определителя тоже меняется i раз и для четного i остается прежним (больше нуля), а для нечетного i меняется (меньше нуля). Итак, для отрицательной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались отрицательный, положительный, отрицательный, положительный и т.д.

Пример. A(x1; x2x3) = x21 + 12 x1x2 + 12 x1x3 + 12 x2x1 +x22 + 12 x2x3 + 12 x3x1 +

12 x3x2 + x23. Главные миноры имеют вид:

Проверьте, что все они больше нуля.

В записанном тексте надо (для положительной оценки) хотя бы выучить почти все определения и уметь записывать их в символьном виде и почти все формулировки. Надо выучить и понять хотя бы одну теорему с доказательством. То есть надо выучить много новых слов. Для пятерки нужно хороше понимание доказательств. Для четверки просто понимание. Я планирую ряд консультаций после праздников, на которых постараюсь помочь понять то, что не понимается.

59

Остальные темы подробно мной записываться не будут, доказательства в них я не планирую. Поэтому придется писать самим, а мне диктовать текст. Материал большой, учить и разбираться в нем нужно уже сейчас.

Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве

Евклидово пространство и квадратичные формы Комплексные числа и многочлены Линейное программирование

60