0-LALect2

Некоторые вопросы линейной алгебры

Подготовил Д.Х. Муштари

Текст, предназначенный для использования 3 группами

вI семестре 2012-13 учебного года. Специальность ’Менеджмент’.

Текст будет дополняться и исправляться в течение семестра.

1

Лекция № 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) m n методом Гаусса.

Здесь мы привели полное название система линейных алгебраических уравнений, но потом слова линейных и алгебраических будем опускать, но подразумевать.

На прошлой лекции мы рассмотрели решения систем 2 и 3 порядка методом Гаусса. Что следует напомнить?

1) Геометрическая интерпретация.

Уравнение 2 порядка с двумя неизвестными легко интерпретируется как прямая на координатной плоскости, неизвестной x1 соответствует координата x, а неизвестной x2 соответствует координата y. (Имея дело

скоординатной плоскостью или пространством, нам удобнее обозначать неизвестные буквами x, y, z, но при увеличении числа неизвестных приходится использовать для неизвестных обозначения x1, x2, x3, x4 и т. д.) Каждая прямая определяется двумя точками. Если уравнение имеет вид a1x1 + a2x2 = b, то легко вычисляются пересечения прямой с осями x-в и y-в, и по этим двум точкам строится прямая. Но если один из коэффициентов a1 или a2 равен нулю, то наша прямая оказывается параллельной соответственно оси x-в или y-в. В этой ситуации прямая строится не по двум точкам, а по одной точке и по направлению. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными изображается как пересечение двух прямых, однако возможна ситуация, когда обе прямые параллельны (тогда решения не существует) или обе прямые совпадают (тогда решений бесконечно много).

Система трех уравнений с тремя неизвестными интерпретируется как три плоскости в трехмерном пространстве, в котором заданы координаты x, y, z. И здесь также возможны три ситуации: a) три плоскости пересекаются в одной точке, тогда решение существует и оно единственно, b1) три плоскости параллельны, тогда решений нет, b2) другой случай, когда нет решений это когда две плоскости пересекаются по прямой, которая паралельна третьей плоскости, тогда решений также нет. Наконец, бесконечное число решений также соответствует двум ситуациям: с1) когда все три плоскости совпадают, и наконец, с2) когда три плоскости пересекаются на одной прямой. Как видите, случай трех уравнений

стремя неизвестными значительно богаче чем случай двух уравнений с двумя неизвестными.

Геометрическая интерпретация позволяет увидеть решение системы двух уравнений на обыном мониторе, а системы трех уравнений на

2

мониторе с 3d. Но мониторы с 4d не существуют, поэтому при решении уравнений из четырех уравнений мы вынуждены отказаться от геометрической наглядной картинки.

Случай a) возникает, если определитель системы не равен нулю. Если определитель системы равен нулю, то мы имеем один из случаев

b1), b2), с1), с2).

Пример 1.

8

< x1 + 2x2 + 3x3 = 8 x1 + x2 + x3 = 2

: 2x1 + 3x2 + 4x3 = 9

Давайте убедимся в том, что мы имеем дело со случаем b2), но убедимся на языке алгебры, а не геометрии. Любое решение уравнений x1 + 2x2 + 3x3 = 8 и x1 + x2 + x3 = 2 является также решением уравнения 2x1 + 3x2 + 4x3 = 10, которое является суммой двух предыдущих уравнений. но левая часть уравнения не может быть одновременно равной 9 и 10, то есть решений нет.

Может быть, мы не так подошли к этой системе, поэтому попробуем рассмотреть первое и третье уравнения: x1 + 2x2 + 3x3 = 8 и 2x1 + 3x2 + 4x3 = 9. Вычитая первое из второго, мы получаем уравнение x1+x2+x3 = 1, которое противоречит второму уравнению системы.

Наконец, если мы вычтем второе уравнение из третьего, то мы получим x1 + 2x2 + 3x3 = 7, что противоречит первому уравнению системы.

Как исправить свободные члены в уравнении примера 1, чтобы решение существовало?

Пример 2.

8

<x1 + 2x2 + 3x3 = 7 x1 + x2 + x3 = 2

: 2x1 + 3x2 + 4x3 = 9

По методу Гаусса вычитаем первое уравнение, умножая на специально подобранные числа, из второго и третьего уравнений, так, чтобы коэффициенты при x1 оказались равными нулю. Получаем:

8

< x1 + 2x2 + 3x3 = 7

x2 2x3 = 5 : x2 2x3 = 5

Таким образом, второе и третье уравнения после вычитания совпадают. Решений этих двух бесконечно много. Точнее, фиксируя любое x3,

3

мы получаем x2 = 5 2x3. Подставляя эти решения в первое уравнение, получаем x1 + 10 4x3 + 3x3 = 7, x1 = x3 3. Таким образом, мы получили бесконечное число решений, так как x3 произвольно. Подставим найденные решения во второе и третье уравнения и проверим: x3 3 + 5 2x3 + x3 = 2, 2x3 6 + 15 6x3 + 4x3 = 9.

К такому "исправлению"в практических задачах прибегать ни в коем случае нельзя: такие действия называются подгонкой данных под правильный ответ.

2) На прошлой лекции мы решали системы с помощью метода Гаусса:

8

<a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

: a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

Напомним, что таким образом мы записываем произвольную систему трех уравнений с тремя неизвестными, числа a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33 называются коэффициентами системы, а числа b1, b2, b3 свободными членами системы. Для каждой конкретной системы уравнений (которая может появиться и задачах экономики) все коээфициенты и свободные члены даны, а неизвестные числа x1, x2, x3 надо найти. В примере 1 a11 = 1, a12 = 2, a13 = 3, a21 = 1, a22 = 1, a23 = 1, a31 = 2, a32 = 3, a33 = 4, b1 = 8, b2 = 2, b3 = 9. Введение общихз обозначений позволяет нам вводить новые понятия не на примерах, а в виде общих формул. Например, введенный в первой лекции определитель системы

задается следующей формулой:

= a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11:

Давайте вычислим определитель системы примера 1:

= 1 1 4 + 1 3 3 + 2 1 2 3 1 2 2 1 4 1 3 1 = 0:

Атеперь напомним метод Гаусса, первый этап которого состоит в том, что мы вычитаем первое уравнение, умноженное на соответствующие множители, из второго и третьего уравнений так, что после вычитания коэффициенты при x1 в преобразованных втором и третьем уравнениях будут равны 0. На втором этапе второе уравнение, умноженное на соответствующий коэффициент, вычитаем из третьего так, что после вычитания коэффициент при x2 в третьем уравнении станет равным 0.

4

После всего этого третье уравнение приводится к виду cx3 = d, поэтому x3 = d=c. Далее подставляем найденное значение x3 во второе уравнение, и так находим x2. Далее подставляют найденные значения x2 и x3 в первое уравнение и находим x1.

А что делать, если после вычитания второй этап невозможен, так как коэффициент при x2 в преобразованном втором уравнении также равен нулю, а вычитание нуля на втором этапе ничего не меняет? Рассмотрим пример:

Пример 3.

8

<x1 + 2x2 + 3x3 = 8 x1 + 2x2 + x3 = 2

: 2x1 + 3x2 + 4x3 = 9

После первого этапа получим следующую систему:

8

< x1 + 2x2 + 3x3 = 82x3 = 6

: x2 2x3 = 7

Тогда уже второе уравнение нам дает x3 = 3, подставляем это значение в первое уравнение и получаем x2 6 = 7, x2 = 1. Наконец, из первого уравнения получаем x1 + 2 + 9 = 8, то есть x1 = 3.

Считаю, что с учетом первой лекции мы достаточно подробно разобрали решение системы трех уравнений с тремя неизвестными. А теперь прыгнем через n = 4 и перейдем к системам n уравнений c n неизвестными, где n любое натуральное число (может быть, как и раньше, n = 1, n = 2, n = 3, но может быть n = 100, n = 1001 и даже n = 999999, впрочем, n = 1000000 также возможно, но вряд ли системы столь большого порядка могут встретиться в экономике, столь большое число факторов невозможно учесть.)

Записать систему уравнений с большим, тем более произвольным, числом неизвестных невозможно, поэтому приходится в такой записи использовать три точки, которые либо заменяют большое число уравнений в системе, либо большое число слагаемых в отдельных уравнениях.

>

>

: am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm

5

Заметим, что здесь число уравнений m может отличаться от числа неизвестных n, но как правило, они берутся равными. Обсудим ситуацию для n = m = 4. Везде n и m надо заменить на 4. Три точки в первой, второй и четвертой строках заменяют соответственно a13x3, a23x3, a43x3, а три точки в пропущенной строке заменяют

a31x1 + a32x2 + a33x3 + a43x4 = b3:

При б´ольших n и m три точки заменяют б´ольшие формулы. Например, при n = m = 5 три точки в третьей строке заменяют уже два уравнения, а при n = m = 100 97 уравнений. Заметим, что для n = 1 и для n = 2 наша запись уже не годится, она слишком большая. При n = m = 3 все точки нужно убрать.

Теперь для системы из m уравнений с n неизвестными введем новые понятия, которые были бы полезны также и для m = n = 2 или m = n = 3.

Определение 1. Система линейных уравнений называется совместной, если у нее имеется хотя бы одно решение (x1,..., xn). При этом она называется определенной, если решение единственно, и неопределенной, если решений бесконечно много. (Заметим, что неопределенная система не может иметь конечное число решений, так как из любых двух различных решений (x1 = y1,..., xn = yn) и (x1 = z1,..., xn = zn) можно сделать бесконечно много решений (x1 = y1 + (1 )z1,..., xn = yn + (1 )zn)). Здесь греческая буква ’лямбда’ пробегает все действительные числа.

Проверим: если

ai1y1 + ::: + ainyn = bi; ai1z1 + ::: + ainzn = bi;

то

ai1[ y1 + (1 )z1] + ::: + ain[ yn + (1 )zn] =

= [ai1y1 + ::: + ainyn] + (1 )[ai1z1 + ::: + ainzn] = bi + (1 )bi = bi:

Определение 2. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений m n называются:

a)перестановка строк (i-я строка переносится в j-строку, одновременно j-я строка переносится в i-строку),

b)умножение строки на некоторое число , не равное нулю (заметим, что это означает умножение всех коэффициентов и свободного члена строки на одно и то же , такое называется константой),

6

c) прибавление к i-строке j-строки.

Следующие преобразования выглядят странно и приведены здесь лишь для точности, они тоже возможны:

d)добавление еще одной строки, равной i строке,

e)если две строки совпадают, то одну из них можно убрать.

Заметим, что используя последовательно операции b), c) снова b), мы получаем операцию прибавления к i-строке j-строки, умноженной на константу.

Системы линейных уравнений, которые получаются друг из друга элементарными преобразованиями, называются равносильными или (это более привычно для математиков) эквивалентными. Легко видеть, что две равносильные системы имеют одни и те же решения или одновременно не имеют решений. Второе утверждение следует из первого, а первое утверждение достаточно проверить для преобразований b) и с).

Действительно, если

ai1x1 + ai2x2 + + ainxn = bi;

то

ai1x1 + ai2x2 + + ainxn = bi;

если

ai1x1 + ai2x2 + + ainxn = bi; aj1x1 + aj2x2 + + ajnxn = bj;

то

(ai1 + aj1)x1 + (ai2 + aj2)x2 + + (ain + ajn)xn = bi + bj; aj1x1 + aj2x2 + + ajnxn = bj:

Обратное преобразование также является элементарным: к i-строке мы прибавляем j-строку, умноженную на 1. Таким образом, если одна система эквивалентна второй, то и вторая система эквивалентна первой. Легко видеть также, что если одна система эквивалентна второй, а вторая третьей, то первая система эквивалентна третьей.

Все преобразования в методе Гаусса являются элементарными, поэтому они не меняют решений. При применении метода Гаусса здесь возможны коллизии, рассмотренные нам в примере 2. Например, во второй строке после вычитания первой, умноженной на константу, новый коэффициент при x2 может оказаться равным нулю. Тогда перестановкой строк нужно избавиться от этой трудности.

7

Оказываются, обратно, если две системы имеют одинаковое решение, то они являются эквивалентными. Мы записали здесь формулировку теоремы, которую докажем лишь для определенной системы (т.е., имеющей лишь одно решение):

x1 = c1; x2 = c2; :::; xn = cn:

Действительно, с помощью метода Гаусса, мы можем придти к эквивалентной системе, которую называется треугольной:

>

>

>

:

Кстати, en = cn. Здесь мы сделали ситуация более ясной, для чего еще разделили каждое уравнение на коэффициент при неизвестном на диагонали. Далее мы действуем как в методе Гаусса, но снизу вверх из всех уравнений вычитаем последнее, умноженное соответственно на d(n 1)n,

..., d2n, d1n. В результате во всех уравнениях, за исключением последнего, исчезнет слагаемое с неизвестным xn, а предпоследнее уравнение приобретет вид xn 1 = cn 1. Продолжая дальше применять элементарные преобразования, мы увидим, что начальная система эквивалентна системе

8

> x1 = c1

>

<x2 = c2

>

>

: xn = cn

Обратными преобразованиями мы можем получить из этой системы (т.е. решения) первоначальную систему. Если какая-то другая система имеет то же решение, точно также мы получить ее из решения с помощью элементарных операций. Таким образом, если две системы имеют одно и то же единственное решение, они эквивалентны одной и той же системе– решению, следовательно, они эквивалентны между собой.

Определение 3. Однородной системой линейных уравнений называется система, в которой все свободные члены равны нулю. Все остальные системы называются неоднородными.

8

>

>

: amn1x1 + am2x2 + + amnxn = 0

Такая система всегда совместна, так как всегда существует решение

x1 = x2 = ::: = xn = 0:

Если число уравнений в однородной системе меньше числа неизвестных, то решений у однородной системы бесконечно много. Действительно, методом Гаусса мы можем исключить все неизвестные, кроме последних. Поэтому в конце применения метода Гаусса у нас мы получим вместо треугольника трапецию высоты k m. Последние n k неизвестных с ихними коэффицентами можно перенести в левую часть уравнений, где они составят свободные члены уравнений, причем при любых значениях этих n k неизвестных для первых k неизвестных мы имеем совместную систему.

Лекция № 3. Определители порядка n n.

Определение 1. Расстановка чисел от 1 до n в некотором порядке называется перестановкой множества 1; 2; :::; n.

Примеры перестановок в случае n = 5 и n = 4: (2; 5; 3; 1; 4),

(1; 2; 3; 4; 5), (5; 4; 3; 2; 1), (3; 1; 2; 5; 4), (2; 3; 1; 4), (1; 2; 3; 4), (4; 3; 2; 1),

(3; 1; 2; 4). Набор чисел (2; 5; 2; 1; 4) перестановкой не является, так как

внем число 2 фигурирует дважды, а число 3 отсутствует. В математической литературе используется более точное обозначение перестановки,

ввиде двух строк (такая запись называется матрицей). А именно, восемь приведенных выше перестановок записываются как

В этой записи в верхней строке записываются номера места для чисел, а под каждым номером число, которое в перестановке находится на

9

соответствующем месте. Нам будет полезно понять, что число всех перестановок множества чисел 1; 2; :::; n равно произведению всех чисел от 1 до n n! = 1 2 ::: n. Действительно, число перестановок двух чисел

можно сделать три переставновки чисел 1; 2; 3, добавив 3 на первое, вто-

перестановок 1; 2; 3 равно 6 = 1 2 . Рассуждая точно так же, из каждой перестановки чисел 1; 2; 3 можно сделать четыре перестановки чисел 1; 2; 3; 4. Таким образом, число перестановок 1; 2; 3; 4 равно 4 6 = 4 3 2 1. Точно так же мы решаем задачу для произвольного n. Мы будем использовать следующее обозначение для перестановки из n чисел (которую мы обозначаем греческой буквой ):

i < j, но (i) > (j).

Например, в первом примере инверсиями являются пары (2; 1), (5; 3), (5; 1), (5; 4), (3; 1), всего инверсий 5. Во втором примере инверсий нет, в третьем все пары дают инверсии, а всего их 10. В четвертом примере число инверсий равно 3 (укажите их). Для нас важно не само количество инверсий, а четность этого числа четно оно или нечетно.

операция, при которой число (i) на i-м месте в нижней строке переносится на j-место, в свою очередь, (j) переносится на i-м место. Может быть понятнее сказать, что числа (i) и (j) меняются местами. Транспозиция перемена места. Она произойдет, если вы как менеджер начальника отдела сделаете заместителем начальника, а заместителя

10