0-LALect2

начальника начальником.

Теорема 1. Каждая транспозиция меняет четность числа инверсий в перестановке (т.е., если число инверсий было четным, оно станет нечетным, и наоборот, если оно было нечетным, оно станет четным).

Чтобы доказать это утверждение, нам надо посмотреть, что происходит при транспозиции с инверсиями в паре ( (i), (j)) и во всех парах ( (i), (k)) и ( (k), (j)), где i < k < j (для определенности мы считаем, что i < j). Ясно, что в паре ( (i), (j)) число инверсий меняется на 1, если (i) < (j) и эта пара не являлась инверсией, то после транспозицией большее число будет предшествовать меньшему. Обратно, если до транспозиции была инверсия, то после транспозиции она исчезает. В то же время в двух парах ( (i), (k)) и ( (k), (j)) четность общего числа инверсий не изменится. Чтобы убедиться в этом, надо рассмотреть все шесть вариантов (i) < (k) < (j), (i) < (j) < (k), (j) < (i) < (k),(j) < (k) < (i), (k) < (i) < (j), (k) < (j) < (i). Мы рассмотрим лишь первый вариант, а все остальные рекомендуем проверить вам. Также рекомендуется проверить утверждение на конкретном примере, например, на первом примере перестановки.

Итак, в случае (i) < (k) < (j) до транспозиции пары ( (i), (k)) и ( (k), (j)) не давали ни одной инверсии, а после транспозиции обе пары дают инверсию. Было ноль инверсий, стало две, но оба эти числе являются четными.

Определение 3. Матрицей m n называется набор m n чисел, расположенный в виде таблицы:

В отличие от матрицы определитель порядка n n число, но записывается почти как матрица.

Определение 4. Определитель

n-го порядка вычисляется по следующему правилу:

11

данным произведением, определяется числом инверсий в перестановке: если число инверсий четно, то ставится знак +, если число инверсий

образом:

Иногда используются двойные и даже тройные суммы, например,

23

XX

ij2 = 1 12 + 1 + 1 22 + 1 32 + 2 12 + 2 22 + 2 32 = 42:

i=1 j=1

12

Пример определителя третьго порядка. Мы переписали слагаемые так, чтобы строки шли бы по порядку. В первом слагаемом номера столбцов на содержат инверсию, во втором две инверсии, в третьем тоже две, в четвертом три инверсии, в пятом одна, в третьем одна.

= a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.

Упражнение. Разберите предыдущий пример. Проверьте, как вы поняли определение определителя. Также запишите в виде суммы 24-х слагаемых с разными знаками (которые нужно определить) определитель 4-го порядка

Совет. Обязательно сделайте это упражнение.

Свойства определителя.

0)Если в определителе одна из строк (или один из столбцов) состоит из одних нулей, то определитель равен нулю. (Почему? Посмотрите на определение. Проверьте на примере.)

1)Если одна из строк определителя (пусть это 1-я строка) пред-

ставлена в виде суммы двух строк (т.е. все числа в этой строке равны сумме: aij = a~ij + a~ij), то определитель равен сумме двух определителей, в которых различается лишь 1-я строка:

Это свойство следует из оотношения (1) каждое слагаемое в (1) для левого определителя разлагается в сумму двух слагаемых для двух определителей в правой части равенства, в слагаемых различаются лишь первые множители. Не бойтесь значков a~ и a~ математики любят обозначать близкие понятия похожими буквами.

2)Если в определителе поменять местами две строки (i-ю и j-ю), то получим то же число, но с противоположным знаком. Это свойство следует из теоремы 1.

3)Если в определителе две строки равны, то он равен нулю.

13

4)Если все числа в одной строке умножить на одно и то же число, то и сам определитель умножится на это же число. Свойство очевидно.

5)Если к одной из строк прибавить другую строку, умноженную на какое-то число, то определитель не изменится. Это свойство доказыается комбинацией свойств 1), 3) и 4). А именно,

второе слагаемое здесь равно нулю.

Операция транспонирования определителя означает поворот его вокруг главной диагонали, при этом строки становятся столбцами, а столбцы строками.

6) Транспонирование не меняет значения определителя:

Доказательство довольно тонкое. Все слагаемые в каждом из определителей одни и те же, но надо проверить, что знаки при них тоже те же. А именно, возьмем слагаемое a1 (1)a2 (2) an (n) в левом определителе, в правом определителе имеется то же слагаемое, но множители должны быть переставлены: a (1) ( (1))a (2) ( (2)) a (n) ( (n)), где порядок соответствует порядку множителей во втором определителе: ( (i)) = i для любого i. Теперь нам нужно подсчитать число инверсий в наборе чисел(1); (2); :::; (n) и показать, что четность числа инверсий в этом наборе та же, что и в наборе (1); (2); :::; (n), тогда знак нашего слагаемого в обоих определителях будет один и тот же. Чтобы это доказать, рассмот-

14

четность суммы двух чисел числа инверсий в верхней строке и числа инверсий в нижней строке. Ясно, что у первой перестановки число инверсий в верхней строке равно нулю, а у второй перестановки равно нулю число инверсий во второй строке, поэтому пока мы ничего не изменили. Но далее начнем переставлять числа в первой перестановке одновременно вверху и внизу, меняя вверху местами i и j, мы одновременно меняем местами (i) и (j). Как мы уже видели, после каждой такой двойной транспозиции четность числа инверсий вверху и внизу одновременно изменится, но четность суммы числа инверсий останется прежней. Очевидно, что из первой перестановки можно получить конечным числом таких операций вторую сначала найти (i), равное 1, и поменять местами с (1) (одновременно в верхней строке мы меняем местами i и 1, далее находим (j), равное 2, и т. д. Таким образом, мы придем ко второй перестановке, и докажем, что четность числа инверсий

вобеих перестановках одна и та же.

7)Все, что сказано про строки, верно и для столбцов.

Определители можно также считать по методу Гаусса, но при этом нужно постоянно учитывать, что если мы меняем местами две строки или два столбца, то знак определителя также меняется. С помощью метода Гаусса мы можем свести определитель к треугольному виду

Равенство следует из того, что среди все n! слагаемых определителя лишь одно не равно нулю.

Как сводить вычисление определителя к вычислению определителей меньшего порядка. Используя 1), мы можем записать формулу

15

ит. д. Минус во второй формуле получился из за предварительной перестановки первого и второго столбцов, аналогично рсписывается третий определитель со знаком + (две перестановки третий столбец со вторым, а потом второй с первым), четвертый определитель со знаком минус

ит.д.

Лекция № 4. Определители, алгебраические дополнения и миноры, формула Крамера, матрицы

Теперь мы рассмотрим примеры с определителями, хотя бы на примерах убедимся в справедливости приведенных в предыдущей лекции свойствах определителей, и попробуем разобраться в формуле Крамера, которая позволяет записать с помощью определителей в общем виде решение системы линейных уравнений.

Рассмотрим пример:

1 2 3 4

5 6 7 8

:

9 10 11 12

13 14 15 16

В сумму в (1) входит, например, произведение 2 8 9 15. Почему входит, и с каким знаком? Чтобы ответить на первый вопрос, надо проверить, что в

16

нашем произведении имеются множители из каждой строки и из каждого столбца. Первое утверждение очевидно, так как порядок множителей соответствует порядку строк. Проверим столбцы: из 1-го столбца взято число 9, из 2-го столбца взято число 2, из 3-го столбца взято число 15, из 4-го столбца взято число 8. Теперь определим знак, с которым это произведение входит в сумму (1).

Для этого запишем перестановку, в которой для каждого множителя наверху записан номер строки, а под ним номер столбца:

Подсчитаем число инверсий внизу пары (2; 1), (4; 1), (4; 3). Число инверсий равно трем, то есть нечетно поэтому наше произведение умножается на ( 1)3 = 1, т.е. входит в сумму со знаком ( ). Теперь рассмотрим это же произведение в определителе с переставленными строками (например, 2 и 4):

1 2 3 4

13 14 15 16

:

9 10 11 12

5 6 7 8

Чтобы порядок множителей соответствовал порядку строк в новом определителе, мы переставим местами 2 и 4 множители 2 15 9 8. Снова запишем перестановку, соответствующую этому произведению в новом определителе:

У этой перестановки число инверсий равно двум ((2; 1), (3; 1)), поэтому в новый определитель то же произведение входит со знаком +:( 1)2 = +1.

Сами посмотрите другую перестановку строк, а также проверьте, что знак меняется у другого, выбранного вами самостоятельно, произведения.

Из свойства 2) немедленно следует свойство 3) определитель с двумя одинаковыми строками должен изменить знак при перестановке этих строк, в то же время он не меняется, значит, равен 0 числу, не имеющему знак.

4) свойство очевидно: если все числа в строке (например, во второй) мы умножим на одно и то же число (например, 10), то все произведения

17

в сумме (1) умножатся также на 10. В частности, наше произведение2 8 9 15 превратится в 2 80 9 15.

Немного менее очевиден вывод свойства 5) из свойств 1), потом 4) и 3). Давайте и это свойство проверим на нашем примере, к 4-й строке прибавим 2-ю, умноженную на 10, получим

Теперь перейдем к свойству 6) на том же примере. После транспозиции (строки стали столбцами, а столбцы строками) наш определитель приобрел вид

1 5 9 13

2 6 10 14

;

3 7 11 15

4 8 12 16

а рассмотренное произведение 2 8 9 15 мы расположим согласно порядку новых строк получим 9 2 15 8. Тогда мы получим следующую перестановку столбцов:

В этой перестановке опять три инверсии (3; 1), (3; 2), (4; 2). Таким образом, после транспозиции наше произведение по прежнему имеет знак. Итак, свойство 6) мы считаем верным, а тогда свойства 1)-5) можно применить не только к строкам, но и к столбцам.

Упражнение. Докажите, что

1 2 3 4

5 6 7 8

= 0:

9 10 11 12

13 14 15 16

18

Разложение определителя по строке или столбцу

Теперь мы покажем, как свойство 1) можно использовать для понижения порядка определителя. Предварительно введем два понятия: минором Mij порядка n 1 определителя

порядка n называется определитель, который получается из стиранием i-й строки и j-го столбца. Например, минор M23 нашего определителя имеет вид

1 2 4

9 10 12 :

13 14 16

Алгебраическое дополнение Aij элемента aij определяется соотношением

Aij = ( 1)i+jMij:

(Здесь число Mij мы умножили на число ( 1)i+j.) Оказывается, для любой строки (с номером i) определитель мы можем записать в виде

nn

XX

И это представление мы продемонстрируем на примере нашего определителя 4 4 и i = 1:

1 2 3 4

5 6 7 8

=

9 10 11 12

первую строку как сумму четырех строк:

(1 2 3 4) = (1 0 0 0) + (0 2 0 0) + (0 0 3 0) + (0 0 0 4):

19

По свойству 1) (но для четырех слагаемых) мы имеем представление:

1 2 3 4

5 6 7 8

=

9 10 11 12

1 0 0 0

a1 (1)a2 (2)a3 (3)a4 (4). Но

a12 = a13 = a14 = 0; и лишь a11 = 1 6= 0;

поэтому в сумму (1) для этого определителя входят лишь слагаемые с(1) = 1. Таким образом, первый столбец занят первым множителем, поэтому (2); (3); (4) могут принимать значения лишь 2; 3; 4. Итак, все множители a2 (2), a3 (3), a4 (4) входят в качестве множителей и в слагаемые в формуле (1) для определителя

6 7 8

10 11 12 :

14 15 16

Разумеется, номера столбцов в каждом множителе каждого слагаемого на 1 уменьшается (2 переходит в 1, 3 переходит в 2, 4 переходит в 3), но инверсии при таком сдвиге остаются прежними. Таким образом, знак перед множителем a2 (2)a3 (3)a4 (4) в формуле (1) для определите-

6 7 8

ля 10 11 12 тот же, что и перед множителем a11a2 (2)a3 (3)a4 (4) в

14 15 16

20