0-LALect2

сумму нулю и в результате получим нужную равную нулю линейную комбинацию для чисел a(r+1)1, a(r+1)2,...,a(r+1)r, a(r+1)(r+1):

a(r+1)1A(r+1)1 + a(r+1)2A(r+1)2 + ::: + a(r+1)rA(r+1)r + a(r+1)(r+1)A(r+1)(r+1) = 0:

Заметим, что коэффициенты в этой линейной комбинации алгебраические дополнения A(r+1)i в этой линейной комбинации получаются умножением определителей, расположенных в первых r строках на +1 или

1, A(r+1)(r+1) = ( 1)(r+1)+(r+1)M, и поэтому A(r+1)(r+1) 6= 0. Итак, мы мо-

жем положить i = A(r+1)i для i r и = M. Такими образом, нужную линейную комбинацию мы получили, но пока только для одного числа из r + 1-го столбца, а именно, для числа, которое расположено в r + 1-й строке. Далее мы хотим получить точно такое же соотношение, с теми же коэффициентами, для всех остальных чисел в r + 1-го столбце. Сначала рассмотрим строку с номером j > r+1 и построим минор на пересечении первых r + 1 столбцов, первых r строк и j-й строки (остальные строки и

Этот минор также имеет порядок , поэтому ~ j(r+1) . Опять r + 1 A = = 0

разложим определитель по элементам нижней строки, которая теперь является частью j-й строки нашей большой матрицы. В результате получим разложение

Мы получили равную нулю линейную комбинацию чисел aji, i r = 1, но с коэффициентами алгебраическими дополнениями другой матри-

цы. Эти алгебраические дополнения мы обозначили ~(r+1)i, они по преж-

A

нему находятся на -й строке, но в определителе ~ . Оказывается, эти r +1

алгебраические дополнения определяются опять минорами, которые находятся на первых r строках большой матрицы и поэтому не зависят от

41

Таким образом, для всех j r + 1 мы имеем:

1aj1 + 2aj2 + ::: + rajr + aj(r+1) = 0;

где i = ~(r+1)i (r+1)i для и .

A

M

=

r

i

A

=

Но мы еще не доказали то же представление для строки k r. В этом случае нас подстерегает маленькая неприятность мы не можем подобрать минор порядка r + 1 в нашей матрице (который по условию теоремы равен 0). Но мы можем рассмотреть аналогичный определитель, расположив в r + 1-й строке k-ю строку:

42

Мы видим, что этот определитель равен нулю не как минор порядка r+1, а как определитель, в котором две строки равны нулю с номером k

и с номером , ~ . Опять раскладывая этот определитель по r + 1 = 0

последней строке, мы опять получаем соотношение

И опять наши коэффициенты совпадают с выбранными в начале:

Совет. Возьмите матрицу порядка 4 4 ранга 3 и посчитайте для нее, что получится.

Из теорем 1 и 2 следует, что ранг матрицы равен числу элементов в максимальной линейно независимой системе строк (или столбцов). Причем максимальной линейно независимой системой строк (столбцов) в матрице мы называем такую линейно независимую систему, что добавление к ней еще одной строки (столбца) делает ее уже линейно зависимой. Максимальная система не обязательно единственна: например, в матрице из примера 2

число способов выбора максимальной системы строк три: (1; 0; 0), (0; 1; 1) или (1; 0; 0), (1; 1; 1) или (0; 1; 1), (1; 1; 1), а вот линейно независимая система столбцов единственна (1; 0; 1), (0; 1; 1), так как второй и третий столбцы совпадают.

Обратно, если число элементов максимальной системы линейно независимых строк (или столбцов) равно r, то ранг матрицы равен r. Это утверждение будет доказано позже. Позже будет доказано также утверждение, что при проверке утверждения равенства ранга числу r, после нахождения ненулевого минора порядка r достаточно проверить равенство нулю не всех миноров порядка r + 1, а лишь миноров порядка r + 1, содержащих данный ненулевой минор порядка r. Введем также термин: если один минор получен из другого добавления одной строки и одного столбца из матрицы, то б´ольший минор называется окаймляющими м´еньший минор.

43

n-мерное линейное пространство. Базис. Примеры базисов. Матрица перехода от одного базиса к другому. Определитель матрицы перехода.

Определение 1. Пространство всех n-мерных векторов вида (x1; :::; xn) мы будем обозначать Rn.

Определение 2. Базисом в Rn называется любая максимальная линейно независимая система векторов.

Объяснение. Слово максимальная означает, что эту систему нельзя расширить до линейно независимой системы, добавив в нее новые элементы.

Пример такой системы e1 = (1; 0; :::; 0), e2 = (0; 1; 0; :::; 0),...,en = (0; 0; :::; 0; 1). Обозначения ei. В том, что это базис, предлагаем убедиться самим.

Предложение. Любой n-мерный вектор является линейной комбинацией элементов базиса.

Если это не так для некоторого вектора x, то добавив x к нашему базису, получим новую линейно независимую систему, которая больше базиса.

Пример n+1-мерного пространства пространство всех полиномов n-го порядка P (x) = a0xn + a1xn 1 + ::: + an 1x + an. В качестве базиса можно взять полиномы xn, xn 1,...,x, 1, тогда координаты P будут

(a0; a1; :::; an 1; an).

Теорема 3. Пусть

x(1) = (x(1)1 ; :::; x(1)n ); x(r) = (x(1)1 ; :::; x(1)n )

линейно независимая система векторов, векторы y(1),...,y(s) другая линейно независимая система векторов, но такая, что все векторы y(j) (j s) являются линейными комбинациями векторов x(i) (i r). Тогда s r.

Доказательство опять основано на методе Гаусса, который (как мы видели), можно применять и системам линейных уравнений и к определителям и к системам векторов.

Сначала сформулируем следующий очевидный факт:

Лемма. если дана система векторов z(1),...,z(p) и один из этих векторов заменить на его сумму с другим вектором системы, умноженным на некоторое число, то это не изменит свойства системы быть линейно независимой или быть линейно зависимой.

44

Чтобы облегчить понимание, давайте разберем это промежуточное утверждение на примере трех векторов, a, b, c. Из нее мы получаем новую тройку векторов a, b+ a, c. Допустим, что вторая тройка линейно зависима, тогда существует тройка чисел , , , не все из которых равны нулю (это свойство можно записать так: j j+j j+j j =6 0), такая, что a+(b + a) + c = 0. Тогда для первой тройки мы получаем соотношение ( + )a + b + c = 0. Проверим, что из трех чисел ( + ), , по крайней мере одно не равно нулю. Если = 0, = 0, то по нашему предположению 6= 0. Но в этом случае ( + ) = , то есть также не равно нулю. Итак, из линейной зависимости второй тройки следует линейная зависимость первой тройки.

Верно и обратное, так как первая тройка может быть получена из второй преобразованием того же вида: b = (b + a) a.

Итак, мы вправе применить метод Гаусса для доказательства теоремы. Но применять этот метод мы будем не к матрице, составленной из координат векторов y(j), а к матрице, составленной из коэффициентов, с помощью которых векторы y(j) представляются в виде линейных комбинаций x(i). Запишем линейную комбинацию для произвольного y(j):

Предложенные выше операции с векторами приводят к таким же операциям со строками данной матрицы. Если s > r. то с помощью метода Гаусса мы получим из данной матрицы матрицу вида

45

Последние s r строк в нашей матрице состоят из нулей. Соответственно, из линейно независимой системы y(j) (j s) мы получим систему z(j) (j s), которая согласно нашему предварительному утверждению должна быть линейно независимой, но таковой не является, так как со-

стоит из векторов

z(1) = (1)1 x(1) + (1)2 x(2) + + (1)r x(r), z(2) = (2)2 x(2) + + (2)r x(r),

,...,z(r) = (rr)x(r), 0,...,0.

Следствие 1. Все базисы в Rn состоят из n элементов. Следствие 2. Для вычисления ранга матрицы можно использовать

метод окаймляющих миноров после нахождения минора порядка r, не равного нулю, мы должны проверить лишь все, содержащие этот минор, миноры порядка r + 1, и если все они равны нулю, то ранг матрицы равен r.

Чтобы понять это следствие, надо еще раз посмотреть на доказательство теоремы Кронекера Капелли. При доказательстве линейной зависимости столбцa (или строки) от первых r строк и столбцов, образующих минор M, мы использовали лишь равенство нулю минора порядка r+1, содержащего выбранный в начале доказательства ненулевой минор M порядка r. Допустим теперь, что все-таки где-то в матрице имеется минор порядка s > r, не равный нулю. Тогда столбцы этого минора линейно независимы и являются линейными комбинациями r столбцов минора M, а значит, s r.

Следствие 3. Система линейных уравнений имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы системы.

Действительно, допустим, что ранг матрицы системы

совпадает с рангом расширенной матрицы системы

46

и равн r. Без ограничения общности мы будем считать, что ненулевой минор порядка r расположен в левом верхнем углу. (Если это не так, то мы переставим уравнения системы и добьемся этим, что ненулевой минор будет расположен на первых r строках, а также перенумеруем неизвестные и добьемся этим, что ненулевой минор будет расположен в первых r столбцах.) Итак, согласно теореме Кронекера-Капелли, векторы, состоящие из коэффициентов и свободных членов всех уравнений будут линейными комбинациями первых r таких векторов: (a11; a12; ; a1n; b1), (a21; a22; ; a2n; b2), ..., (ar1; ar2; ; arn; br). Отсюда следует, что любое решение системы из первых r уравнений будет решением всей системы. Если ранг r меньше числа неизвестных n и

то мы можем перенести все неизвестные, начиная с r + 1-го, со своими коэффициентами в правую часть и решать систему относительно неизвестных x1,...,xr, а значения остальных неизвестных считать произвольными. Таким образом, решений будет бесконечно много. Здесь можно использовать правило Крамера, а при маленьких r решать, исключая переменные, по методу Гаусса. Например,

47

Находим ненулевой минор второго порядка на пересечении первой и второй строк и второго и третьего столбцов:

Проверяем, что все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю:

= 1 1 1 = 0:

1 0 1

Итак, ранги обеих матриц матрицы системы и расширенной матрицыравны 2. Поэтому третье и четвертое уравнение являются линейными комбинациями первого и второго, которые нам достаточно решить.

2x1 + x2 = 3 x3 x4 2x1 + x2 = 1 + x3 3x4

x1 = 1 2x4; x2 = 2 x3 + x4:

Замечание. Зачем нужна такая абстракция как пространство Rn? Не лучше ли иметь дело только с системами линейных уравнений, или хотя бы со строками матриц? Думается, что переход от языка линейных уравнений к языку векторов в Rn дает определенные преимущества, дополнительные степени свободы. Обучение умению пользоваться разной терминологии и переходить от одной терминологии к другой развивает абстрактное мышление студентов.

Линейные операторы в Rn. Матрица линейного оператора. Определение. Линейным оператором из пространства Rn в про-

странство Rm называется такое отображение T (чтобы сразу определить на чем действует оператор и куда действует, мы будем писать

T: Rn ! Rm), что

1)T (x + y) = T (x) + T (y) для всех x и y из Rn,

48

2) T ( x) = T (x) для всех вещественных чисел и всех x из Rn. Отметим очевидные свойства T , которые немедленно следуют из

свойств 1) и 2).

a) T (x1 + x2 + ::: + xn) = T (x1) + T (x2) + ::: + T (xn) для любого числа элементов xi из Rn. .

Доказательство методом математической индукции. В основе метода лежит принцип математической индукции, который гласит: если некоторое утверждение формулируется для всех натуральных чисел n, оно верно для n = 1 и из его справедливости для данного n (все это называют предположениями индукции) можно вывести справедливость этого утверждения для n + 1, то это утверждение верно для всех n. Этот принцип можно обосновать следующим образом. Предположим противное, утверждение верно не для всех n. Среди всех n, для которых наше утверждение неверно, выберем самое маленькое n0. Но n0 1 меньше n0, то есть для n = n0 1 утверждение верно. Но из этого следует верность утверждения для n + 1 = (n0 1) + 1 = n0. Мы пришли к противоречию с выбором n0.

Уэтого принципа возможны вариации. Например, a) верно для n = 1

иn = 2. Допустим, что оно верно для любого набора из n векторов. Выведем справедливость для случая n + 1 вектора:

T (x1 + x2 + ::: + xn + xn+1) = T (x1 + x2 + ::: + xn 1 + (xn + xn+1)) =

= T (x1) + T (x2) + ::: + T (xn 1) + T (xn + xn+1):

Но так как согласно 1) T (xn + xn+1) = T (xn) + T (xn+1),

T (x1)+T (x2)+:::+T (xn 1)+T (xn+xn+1) = T (x1)+T (x2)+:::+T (xn 1)+T (xn)+T (xn+1);

что и требовалось.

b) T (0) = 0 можно доказать даже двумя способами: Первый способ: T (0) = T (0 0) = 0 T (0) = 0.

Второй способ: так как 0 = 0 + 0, T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0). Вычитая из обеих частей этого равенства T(0), получаем T (0) = 0. Впрочем обозначения здесь не очень корректные, надо было бы еще более запутать ситуацию и ввести разные обозначения для 0 в Rn (вектор из n нулей) и в Rm (вектор из m нулей).

Линейный оператор переводит линейно зависимую систему в линейно зависимую. Проверим это очевидное утверждение. Используя одновременно свойства 1) и 2), мы получаем

49

T ( x + y) = T (x) + T (y);

отсюда методом математической индукции выводим обобощение

T ( 1x1 + 2x2 + ::: + nxn) = 1T (x1) + 2T (x2) + ::: + nT (xn): ( )

Далее это равенство мы используем не слева направо, а наоборот, справа налево: если

1x1 + 2x2 + ::: + nxn = 0;

то

1T (x1) + 2T (x2) + ::: + nT (xn) = T ( 1x1 + 2x2 + ::: + nxn) = T (0) = 0:

Из формулы (*) следует, что для задания линейного оператора T достаточно определить его на базисе. Если мы берем обычный базис (ei), то по оператору T : Rn ! Rn мы однозначно определяем матрицу, которая, в свою очередь, однозначно определяет базис. А именно, из элементов T (ei) = xi = (xi1; xi2; :::; xin) мы составляем матрицу

Обратно, по этой матрице мы можем однозначно восстановить элементы T (ei), а следовательно, и сам линейный оператор.

Как мы уже знаем, строки этой матрицы линейно независимы тогда и только тогда, когда

По другому можно сказать, что система векторов (xi)(i n) линейно независима тогда и только тогда, когда определитель не равен нулю. В этом случае система (xi)(i n) является базисом и матрица X называется матрицей перехода от базиса (ei) к базису (xi). Напомним также,

50