0-LALect2

A13 = ( 1)1+3 2 1 = (( 2) 0 1 2) = 2;

2 0

1 0 0

= 0 1 0

0 0 1

31

1 0 0

= 0 1 0

0 0 1

Лекция 6 Еще один способ вычисления обратной матрицы (для матри-

цы A). Чтобы не писать точки вместо пропущенных строк или столбцов, мы расскажем об этом методе на примере матрицы 4 4. Итак,

Рисуем нашу матрицу и рядом единичную матрицу:

Далее начинаем по методу Гаусса делать матрицу A треугольной, а потом диагональной и единичной, но одновременно точно те же операции мы делаем с матрицей справа E. Так как наши матрицы будут постоянно меняться, мы будем говорить (вместо A и E) о левой и правой матрицах.

Что мы сделали мы вычли из второй строки A первую, умноженную на специально подобранное число (так, чтобы a21 a11 = 0), и вычли из второй строки правой матрицы первую, умноженную на то же число, такие же действия мы совершаем с третьей и четвертой строками наших матриц. Таким образом, , , специально подобранные числа, позволяющие занулить в левой матрице все числа в первом столбце, за исключением числа в первой строке. Заметим на будущее, что в терминах умножения матриц наши операции означают умножение матриц A и E

32

Далее продолжаем наши действия с левой матрицей, аккуратно повторяя их с правой матрицей. В результате некоторого числа операций мы получим пару матриц вида

(Заметим, что первая строка слева осталась прежней, но мы ее все равно переобозначили новыми буквами). После чего, начинаем делать левую матрицу диагональной, сначала вычитая четвертую строку, умножая на подобранные числа, из первой, второй и третьей строк, потом новую третью строку из первой и второй, наконец, новую вторую строку из первой. Точно те же операции нужно делать с правой матрцей. В результате получим пару матриц

Наконец, делим строки левой и правой матриц соответственно на c11, c22, c33, c44. В результате получим

Матрица H является обратной матрицей для матрицы A. Почему это так? В результате каждого преобразования мы умножали левую и правую матрицу слева на некоторые матрицы Tk, k 13 (подсчитайте,

33

сколько раз умножали, 13 это не один три, а тринадцать). В результате получили слева и справа

T13 (T12 ( (T1A) )) = (T13T12 T1) A = E;

T13 (T12 ( (T1E) )) = (T13T12 T1) E = H:

Обратите внимание (а можно и не обращать), что мы использовали ассоциативность умножения матриц. Теперь для удобства временно обозначим T = T13T12 T1. Имеем T A = E, но тогда T = A 1, поэтому H = A 1E = A 1. Здесь мы использовали также свойство единичной матрицы.

Ранг матрицы. С системой из m уравнений с n неизвестными

>

>

: am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm

связываются две матрицы, первая из них называется матрицей из коэффициентов системы, а вторая расширенной матрицей системы:

Вторая матрица получается из первой добавлением столбца из свободных членов системы.

Мы займемся теперь более глубоким исследованием вопроса о существовании решения у системы (такую систему мы будем называть совместной). Все оказалось просто, если m = n, и определитель системы не равен нулю. Тогда по правилу Крамера находится решение системы и оно единственно. Также простой кажется ситуация в случае однородной системы тогда по крайней мере одно решение существует. Если число неизвестных больше числа уравнений, то в случае однородной системы решений бесконечно много, вместо некоторых неизвестных мы можем подставить любые числа и каждый раз будем получать решение. Но возникает вопрос какие неизвестные мы можем заменять любыми числами, а какие не можем? А что будет, если число неизвестных больше

34

числа уравнений, но система неоднородна. Обычно в этом случае все хорошо и система совместна, но можно придумать тривиальный пример, для которого решений нет:

8

< x1 = 1 x1 = 2

: x1 + x2 + x3 + x4 = 1

Чтобы ответить на все эти вопросы, приходится ввести новое понятие

ранг матрицы и вычислять ранги матрицы из коэффициентов системыи расширенной матрицы системы.

Определение 1. Выделим в матрице A различные k строк и k столбцов. Определитель, состоящий из элементов на пересечении этих строк и столбцов называется минором k-го порядка матрицы A (в этом определении знак определителя не важен).

Пример. В матрице 4 5 можно выделить 2 строки 6 способами и 2 столбца 10 спообами. Поэтому число миноров 2-го порядка в матрице A равно 60.

Определение 2. Рангом матрицы A называется наибольший порядок ненулевого минора в этой матрице.

Например, возьмем матрицу

Легко увидеть, что какой бы минор порядка выше 1 мы не взяли, в нем будут совпадать все строки, поэтому минор (это определитель) равен 0. Итак, ранг этой матрицы равен 1. Другой пример

Легко видеть, что имеются миноры 2-го порядка, не равные нулю. Поэтому ранг матрицы не меньше 2. В то же время любой минор третьего порядка равен нулю. Действительно, если в нем из одной строки вычесть

35

другую, получится строка из одинаковых чисел. Поэтому мы из 3-й строки вычтем 2-ю, после чего из 2-й строки вычтем 1-ю. Мы преобразуем минор в определитель с двумя одинаковыми строками. Итак, ранг этой матрицы равен 2. Но эти ситуации просты, мы можем охватить одним взглядом все миноры одного порядка и увидеть в них нечто общее. В общей ситуации напрашивается перебор всех вариантов сначала найти ненулевой минор (k 1)-го порядка, после этого перебрать все миноры k-го порядка, если один из миноров не равен нулю, то перебрать уже все миноры (k + 1)-го порядка. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. Ясно, что для больших матриц приходится вычислять большое число определителей. Однако имеются результаты, которые позволяют сократить перебор.

Вопрос. Из какого предыдущего результата следует, что перебрав все миноры (k + 1)-го порядка и убедившись, что все они равны нулю, не надо перебирать миноры (k + 2)-го, (k + 3)-го и выше порядков?

Для того, чтобы получить эти результаты, нужно ввести новые фундаментальные математические понятия.

Найти ранг матрицы

47 4 4 5

Векторы Старое геометрическое понятие вектора как направленного отрезка мы заменим другим. Даже в геометрии мы будем рассматривать систему координат и вектор из точки (0; 0) в точку (x; y) естественно заменить парой чисел (x; y). Обобщая это понятие, мы будем называть вектором размерности n набор чисел x = (x1; x2; : : : ; xn). Вы уже заметили, что (как и в многих книгах) для обозначения векторов мы будем использовать полужирные буквы. Числа x1; x2; : : : ; xn называются координатами вектора x, соответственно, 1-й, 2-й,..., n-й координатами. Векторы считаются равными, если у них совпадают все координаты. Векторы можно умножать на вещественные числа: x = ( x1; x2; : : : ; xn) (здесь греческая буква используется для обозначения любого вещественного числа) и складывать векторы одинаковой размерности: если x = (x1; x2; : : : ; xn), y = (y1; y2; : : : ; yn), то x + y = (x1 +y1; x2 +y2; : : : ; xn +yn), то есть умножение на число и сложение осуществляются покоординатно.

36

Сумма вида 1x(1) + 2x(2) + + kx(k), где i вещественные числа, называется линейной комбинацией k векторов x(1), x(2),...,x(k).

Числа i естественно называть коэффициентами векторов. Заметим, что для нумерации векторов приходится ставить номера вверх (чтобы не путать координатами) и писать в скобках (чтобы не путать со степенями). Правила сложения и умножения на числа те же, что и для чисел. Среди вектров имеется нулевой вектор 0 = (0; 0; :::; 0). Давайте для порядка выпишем эти правила:

1.0 + x = x,

2.x + y = y + x,

3.(x + y) + z = x + (y + z),

4.(x + y) = x + y,

5.( + )x = x + x,

6.( )x = ( x),

7.0x = 0, 1x = x. Кажется, все.

Важнейшим является следующее понятие:

Определение 3. Система из k векторов x(1), x(2),...,x(k) называет-

но независимы. Это определение можно сформулировать и словами векторы называются линейно независимыми, если не существует равной нулю линейной комбинации этих векторов, не все коэффициенты которой равны нулю.

Обратно, если такая линейная комбинация существует, то векторы называются линейно зависимыми.

Замечания.

1.Линейная комбинация линейных комбинаций линейная комбинация.

2.Если вектор a является линейной комбинацией векторов x(1), x(2),...,x(k), то векторы a, x(1), x(2),...,x(k) линейно зависимы. Обрат-

но, если

a + 1x(1) + 2x(2) + ::: + kx(k) = 0; 6= 0;

то a является линейной комбинацией x(1), x(2),...,x(k): a = 1 x(1) 2 x(2) ::: k x(k):

37

3.Любая часть линейно независимой системы векторов сама является линейно независимой.

4.Если система векторов содержит вектор 0, то она линейно зависима. Действительно, мы можем построить равную нулю линейную комбинацию, взяв для вектора 0 коэффициент 1, а для всех остальных векторов коэффициент 0.

Пример 1. Пример независимой системы векторов: (1; 0; 0), (0; 1; 0),

(0; 0; 1).

1(1; 0; 0) + 2(0; 1; 0) + 3(0; 0; 1) = ( 1; 2; 3) 6= 0; hbox i не равно 0:

Пример 2. Пример независимой системы векторов в четырехмерном пространстве: (1; 1; 1; 1), (1; 1; 1; 0), (1; 1; 0; 0), (1; 0; 0; 0).

Пример 3. Пример независимой системы векторов в четырехмерном пространстве: (1; 1; 1; 1), (1; 1; 1; 1), (1; 1; 1; 1), (1; 1; 1; 1).

Пример 4. Пример зависимой системы векторов: (1; 0; 0), (0; 1; 1), (1; 1; 1). Действительно,

(1; 0; 0) + (0; 1; 1) (1; 1; 1) = 0:

Теперь одна из основных теорем:

Теорема 1. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда строки (или столбцы) линейно зависимые векторы.

Объясним эту краткую формулировку: с определителем

38

мы связываем n векторов a1 = (a11; a12; : : : ; a1n), a2 = (a21; a22; : : : ; a2n),

..., an = (an1; an2; : : : ; ann). Допустим, что

1a1 + 2a2 + + nan = 0;

причем не все i равны 0. Чтобы было удобнее писать, будем считать, что1 6= 0. Тогда умножая первую строку определителя на 1, мы не меняем интересующее нас свойство определителя если он был нулем, то и остался нулем, если не был нулем, то и не стал им. После этого начинаем прибавлять к первой строке определителя другие строки, умноженные на соответствующие коэффициенты i вторую строку умножаем на2,..., n-ю на n. Как мы знаем, опредитель при этих операциях не меняется, но поле всего этого у нас в первой строке будут одни нули, поэтому jAj = 0.

Обратно, допустим, что определитель равен 0. С помощью метода Гаусса мы приведем определитель к диагональному виду. Но если определитель равен нулю, то в последней строке должны получиться одни нули. Как это вышло. К последней строке мы прибавляли или вычитали другие строки, умноженные на некоторые коэффициенты, причем сами строки предварительно менялись таким же образом. Таким образом, нуль, получившийся на последней строке это линейная комбинация строк матрицы. Следовательно, строки линейно зависимы.

Аналогичные рассуждения применимы к столбцам.

Дополнительный бесплатный вывод. Строки определителя линейно зависимы тогда и только тогда, когда столбцы определителя линейно зависимы.

Теорема 2 Кронекера Капелли. Допустим, что ранг матрицы m n равен r, то есть минор M r-го порядка не равен нулю, а все миноры r+1 порядка равны нулю. Рассмотрим r строк, на которых расположен минор M. Тогда все остальные строки являются линейными комбинациями этих r строк. Рассмотрим r столбцов, на которых расположен минор M. Тогда все остальные столбцы являются линейными комбинациями этих r столбцов.

Заметим, что r min(m; n).

Так как при вычислении ранга матрицы мы всегда можем ее транспонировать, то достаточно доказать одно из этих утверждений, удобнее (для записи) доказать второе. Будем для определенности считать, что

39

минор M расположен в левом верхнем углу матрицы

Если это не так, мы всегда можем так переставить строки и столбцы, что добиться такого расположения минора M, при этом наша задача останется прежней, и прежним останется ранг матрицы. Рассмотрим столбец с номером k > r и докажем, что он является линейной комбинацией первых столбцов. Как мы уже видели, для этого достаточно существования конечной линейной комбинации столбцов с номерами с 1 до r и столбца с номером k, которая равна нулю, причем коэффициент при k- м столбце не должен быть равен нулю. Должно получиться равенство1ai1 + 2ai2 + ::: + rair + aij = 0, причем коэффициенты j (j r) и не должны зависеть от номера строки i, причем 6= 0. Для удобства мы передвинем k-й столбец на r +1-е место, рядом с остальными столбцами, а j пока будем считать равным r +1. Итак, выбранные строки и столбцы образуют определитель

Для его конструирования мы присоединили к минору M первые r + 1 чисел из r + 1-й строки и r + 1-столбца. Так как этот минор является минором r + 1-го порядка, а ранг матрицы равен r < r + 1, = 0. Казалось бы, вычислять этот определитель не нужно, но мы вычислим его с помощью разложения по r +1-й строке, приравняем получившуюся

40