MAIN

Вопрос 32

Теорема. Конкатенация регулярных языков - регулярна.

Доказательство. Пусть у нас есть 2 языка: L1; L2 2 Reg, L = L1L2. Äîêà-

æåì, ÷òî L 2 Reg. L1 = L(A1), L2 = L(A2).

Преобразуем A1; A2 в конечные недетерминированные автоматы A01; A02 - источники. Они будут иметь следующий вид:

S1

Объединив источники, получим автомат, который и будет реализовывать язык L. Докажем корректность этого автомата.

1. w 2 L = L1L2

w = uv; u 2 L1; v 2 L2

0 0

S (u) = (S0; u)

Значит существует правильный вариант обработки - w - принято.

2.w < L = L1L2

w = uv; u 2 L1; v < L2 w = uv; u < L1; v 2 L2

Значит любой вариант обработки - отвергающий.

41

Вопрос 33

Теорема. Если язык L 2 Reg, то и итерация L 2 Reg.

Доказательство. L = Si 0 Li

L0 = feg; Li = L; : : : ; L

| {z }

i

Существует конечный детерминированный автомат A : L = L(A). Со-

здадим из него конечный недетерминированный автомат B - источник.

B

Прич¼м, следует заметить, что F = fS1; : : : ; Stg для автомата A. Затем следует построить автомат B2 следующего вида:

B Saccept B Saccept

Он будет распознавать язык L2.

Äëÿ w 2 L2; w = uv; u; v 2 L схема распознавания такая:

w = x1x2 : : : xn

1.x1 x2 : : : xn

|{z}| {z }

uv

2.x1x2 x3 : : : xn

|{z}| {z }

: : : u v

n 1. x1 : : : xn 1 xn

| {z }|{z}

uv

42

Всего вариантов разбиения слова w - n 1, и среди них существует хотя бы один вариант, когда u; v 2 L.

8u; v:

u; v < L

Никогда не попадем в F.

u < L; v 2 L

Никогда не попадем в F.

u 2 L; v < L

Также w не принимается.

Расширяя данный случай на большее число подслов, в итоге получаем конечный недетерминированный автомат для L - он будет следующего

âèäà:

Saccept ) S0

B

Поэтому можно сделать вывод, что L 2 Reg. Если слово w = u1u2 : : : ul; l 2; w 2 L

ui 2 L.

w = x1 : : : xn - также есть некоторое число вариантов разбиения на l

43

Какое бы разбиение мы не взяли, w = u1u2 : : : ul ) существует j 2

f1 : : : lguj < L - по аналогичным рассуждениям получим, что в таком слу- чае w - отвергается.

44